2022版人教A版高中数学必修第一册--第五章 三角函数(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2021广东广州广雅中学高一上期末)sin(-1380°)的值为( )A.-12 B.12 C.-32 D.322.(2021安徽师范大学附属中学高一上期末)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,顶点在坐标原点,其终边上的一点P到原点的距离为2,若α=π4,则点P的坐标为( )A.(1,2) B.(2,1)C.(2,2) D.(1,1)3.(2021湖南永州高一上期末)扇形的半径为1,圆心角为2,则扇形的面积为( )A.1 B.2 C.3 D.44.(2021天津六校高一上期末联考)设α∈R,则“α=π3+2kπ,k∈Z”是“cosα=12”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.(2021江苏扬州高一上期末)设函数f(x)=sin2x-5π6,将其图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)为偶函数,则φ的最小值是( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π66.(2021福建南平高一上期末)我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”,0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字,我们称为黄金分割.“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,华先生认为底与腰之比为黄金分割比5-125-12≈0.618的黄金三角形(即顶角为36°的等腰三角形)是“最美三角形”.如图,在黄金△ABC中,黄金分割比为BCAC.试根据以上信息,计算sin18°=( )A.5-12 B.5-14C.5+14 D.3-527.(2021湖北第五届高考测评高一上期末)已知函数f(x)=sinx-π6,若方程f(x)=45的解为x1,x2(0
0,函数f(x)=2sinωx+π6在π2,5π6上单调递减,则实数ω的取值范围是( )A.(0,1] B.12,85C.23,56 D.23,85二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2021山东泰安高一上期末)若α为第二象限角,则下列结论一定正确的是( )A.sinα>cosα B.sinα>tanαC.sinα+cosα>0 D.cosα+tanα>010.(2021山东烟台高一上期末)下列说法正确的有( )A.经过30分钟,钟
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的分针转过-2π弧度B.若sinθ>0,cosθ<0,则θ为第二象限角C.若sinθ+cosθ>1,则θ为第一象限角D.函数f(x)=sin|x|是周期为π的偶函数11.(2021山东济宁高一上期末)已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=-15,则下列结论正确的是( )A.θ∈π2,π B.cosθ=-35C.tanθ=-34 D.sinθ-cosθ=7512.(2021山东菏泽高一上期末)设函数f(x)=sin2x+π4+cos2x+π4,则下列关于函数f(x)的说法中正确的是( )A.函数f(x)是偶函数B.函数f(x)在0,π2上单调递减C.函数f(x)的最大值为2D.函数f(x)的图象关于点π4,0对称三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021安徽淮南高一上期末)已知α为第二象限角,sinα=45,则tan2α= . 14.(2021四川成都蓉城名校联盟高一上期末)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f-π12= . 15.(2021北京东城高一上期末)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,它的终边与单位圆交于第一象限内的点Pm,1213,则tanα= .保持角α始边的位置不变,将其终边按逆时针方向旋转π2得到角β,则cosβ= . 16.(2021福建厦门高一上期末)2020年是苏颂诞辰1000周年.苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟.水运仪象台的原动轮叫枢轮,是一个直径约3.4米的水轮,它转一圈需要30分钟.如图,当点P从枢轮最高处按逆时针方向随枢轮开始转动时,退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处.此时打开退水壶出水口,壶内水位以每分钟0.017米的速度下降,将枢轮转动视为匀速圆周运动,则点P至少经过 分钟进入水中.计算结果取整数,参考数据:cosπ15≈0.98,cos2π15≈0.91,cosπ5≈0.81 四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021天津东丽高一上期末)已知sin(π+α)=-45,α∈π2,π,求:(1)sinπ2+α+2cos(π-α)sinπ2-α+sin(-α)的值;(2)tan15π4-α的值.18.(12分)(2021吉林高一上期末)已知函数f(x)=3sinx2cosx2+cos2x2+12.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)将函数y=f(x)的图象上的各点 ,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合. 请在①、②两个条件中选择一个,补在(2)中的横线上,并加以解答.①向左平移3π2个单位长度,再保持纵坐标不变,横坐标缩短到原来的一半;②纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的一半,再向右平移π4个单位长度.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)(2021海南高一上期末)已知函数f(x)=sin2x-3(cos2x-sin2x).(1)求fπ6;(2)求f(x)的最小正周期和单调递增区间.20.(12分)(2021江苏南京高一上期末)如图,弹簧挂着的小球做上下振动,它在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h=Asinωt+π4确定,其中A>0,ω>0,t∈[0,+∞).在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1s,且最高点与最低点间的距离为10cm.(1)求小球相对于平衡位置的高度h(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系式;(2)若小球在t0s内经过最高点的次数恰为50,求t0的取值范围.21.(12分)(2021河北唐山高一上期末)如图,在Rt△ACB中,斜边AB=2,BC=1,在以AB为直径的半圆上有一点D(不与端点重合),∠BAD=θ,设△ABD的面积为S1,△ACD的面积为S2.(1)若S1=S2,求θ;(2)令S=S1-S2,求S的最大值及此时的θ.22.(12分)(2021河南郑州高一上期末)设有三个乡镇,分别位于一个矩形MNPQ的两个顶点M,N及PQ的中点S处,MN=103km,NP=53km,现要在该矩形区域内(含边界),且与M,N等距离的一点O处设一个宣讲站,记O点到三个乡镇的距离之和为L(km).(1)设∠OMN=x(rad),试将L表示为x的函数并写出其定义域;(2)试利用(1)中的函数关系式确定宣讲站O的位置,使宣讲站O到三个乡镇的距离之和L(km)最小.
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
全解全析1.D sin(-1380°)=sin(-1440°+60°)=sin(-4×360°+60°)=sin60°=32.故选D.2.D 设P(x,y),由三角函数的定义得sinα=sinπ4=y2=22,cosα=cosπ4=x2=22,则x=1,y=1.∴点P的坐标为(1,1).故选D.3.A 由扇形的半径为1,圆心角为2,可得扇形的弧长为2,所以扇形的面积为12×2×1=1,故选A.4.A 当α=π3+2kπ,k∈Z时,cosα=12;当cosα=12时,α=2kπ±π3,k∈Z,故“α=π3+2kπ,k∈Z”是“cosα=12”的充分不必要条件,故选A.5.A 将函数f(x)=sin2x-5π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)=sin2x+2φ-5π6的图象.若g(x)为偶函数,则2φ-5π6=kπ+π2,k∈Z,则φ=kπ2+2π3,k∈Z,又φ>0,所以令k=-1,可得φ的最小值为π6,故选A.6.B 在△ABC中,设D是BC的中点,连接AD.依题意得BCAC=2DCAC=5-12,所以DCAC=5-14,又∠BAC=36°,所以∠DAC=18°,从而sin18°=DCAC=5-14.故选B.7.A 令x-π6=π2+kπ,k∈Z,得x=2π3+kπ,k∈Z,故函数f(x)=sinx-π6的图象的对称轴方程为x=2π3+kπ,k∈Z,令f(x)=45,得x=x1或x=x2,00,∴由π2≤x≤5π6,得π2ω+π6≤ωx+π6≤5π6ω+π6,又∵函数f(x)=2sinωx+π6在π2,5π6上单调递减,∴12×2πω≥5π6-π2,∴0<ω≤3①.易得π2ω+π6≥π2+2kπ,且5π6ω+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得ω≥23+4k,且ω≤85+125k,k∈Z,即4k+23≤ω≤85+12k5,k∈Z,结合①可得k=0,即23≤ω≤85.故选D.9.AB 因为α为第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,tanα<0,所以A、B正确,D不正确;当α∈π2,3π4时,sinα+cosα>0,当α∈3π4,π时,sinα+cosα<0,所以C不一定正确.故选AB.10.BC 对于A,经过30分钟,钟表的分针转过-π弧度,不是-2π弧度,所以A错误;对于B,由sinθ>0,cosθ<0,可知θ为第二象限角,所以B正确;对于C,sinθ+cosθ>1⇒sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ>1⇒2sinθcosθ>0,又sinθ+cosθ=1>0,所以sinθ>0,cosθ>0,即θ为第一象限角,所以C正确;对于D,函数f(x)=sin|x|是偶函数,但不以π为周期,如fπ2=1,fπ+π2=-1,fπ2≠fπ+π2,所以D错误.故选BC.ACD 因为θ∈(0,π),所以sinθ>0,又sinθ+cosθ=-15<0,所以cosθ<0,所以θ∈π2,π,故A正确;又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=125,所以sinθcosθ=-1225,所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=4925,因为sinθ>0,cosθ<0,所以sinθ-cosθ=75,故D正确;由sinθ+cosθ=-15,sinθ-cosθ=75,可得sinθ=35,cosθ=-45,所以tanθ=-34,故B错误,C正确.故选ACD.12.ABD ∵函数f(x)=sin2x+π4+cos2x+π4=2sin2x+π4+π4=2sin2x+π2=2cos2x,∴f(x)=2cos2x,其定义域为R,∵f(-x)=2cos(-2x)=2cos2x=f(x),∴函数f(x)为偶函数,故A正确;令2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z),解得kπ≤x≤π2+kπ(k∈Z),可得函数f(x)在0,π2上单调递减,故B正确;易得f(x)的最大值是2,故C错误;令2x=kπ+π2,k∈Z,解得x=kπ2+π4,k∈Z,可得当k=0时,其图象关于点π4,0对称,故D正确.故选ABD.13.答案 247解析 ∵α为第二象限角,且sinα=45,∴cosα=-1-sin2α=-35,∴tanα=sinαcosα=-43.∴tan2α=2tanα1-tan2α=-831-169=247.故答案为247.14.答案 12解析 根据函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象,可得12·2πω=π3+π6,∴ω=2.由五点法作图,可得2×π3+φ=π,∴φ=π3,∴f(x)=sin2x+π3,∴f-π12=sinπ6=12,故答案为12.15.答案 125;-1213解析 因为角α以Ox为始边,它的终边与单位圆交于第一象限内的点Pm,1213,所以m=1-12132=513,则tanα=1213513=125.保持角α始边的位置不变,将其终边按逆时针方向旋转π2得到角β,则cosβ=cosα+π2=-sinα=-1213.故答案为125;-1213.16.答案 13解析 以枢轮中心为原点,以平行于水面的方向为x轴建立坐标系(图略).则经过x分钟后P点纵坐标y1=1.7sinπ2+π15x=1.7cosπ15x,水面纵坐标y2=-1.19-0.017x,P点进入水中,则1.7cosπ15x<-1.19-0.17x,即cosπ15x<-0.7-0.01x.作出y=cosπ15x和y=-0.7-0.01x的图象(图略),易知在[10,15]上两函数图象存在一个交点,令h(x)=cosπ15x+0.7+0.01,因为h(12)>0,h(13)<0,所以点P至少经过13分钟进入水中.17.解析 ∵sin(π+α)=-sinα=-45,α∈π2,π,∴sinα=45,cosα=-1-sin2α=-35,(2分)从而tanα=sinαcosα=45-35=-43,(3分)(1)sinπ2+α+2cos(π-α)sinπ2-α+sin(-α)=cosα-2cosαcosα-sinα=-cosαcosα-sinα=-37.(5分)(2)tan15π4-α=tan4π-π4-α=tan-π4-α=-tanπ4+α(7分)=-tanπ4+tanα1-tanπ4tanα=17.(10分)18.解析 (1)f(x)=3sinx2cosx2+cos2x2+12=32sinx+1+cosx2+12(2分)=sinx+π6+1,(4分)可得函数f(x)的最小正周期为2π.(6分)(2)若选择①,依题意可得g(x)=-cos2x+π6+1,(8分)令2x+π6=2kπ+π,,k∈Z,解得x=kπ+5π12,k∈Z,此时函数g(x)取得最大值2,即g(x)max=2,(10分)函数g(x)取得最大值时,x的取值集合为x|x=kπ+5π12,k∈Z.(12分)若选择②,依题意可得g(x)=-cos2x+π6+1,(8分)令2x+π6=2kπ+π,k∈Z,解得x=kπ+5π12,k∈Z,(10分)此时函数g(x)取得最大值2,即g(x)max=2,函数g(x)取得最大值时,x的取值集合为x|x=kπ+5π12,k∈Z.(12分)19.解析 (1)∵f(x)=sin2x-3(cos2x-sin2x)=sin2x-3cos2x(2分)=2sin2x-π3,(4分)∴fπ6=2sin0=0.(6分)(2)由(1)知f(x)=2sin2x-π3,故f(x)的最小正周期T=2π2=π,(8分)令-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,(10分)解得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间为-π12+kπ,5π12+kπ,k∈Z.(12分)20.解析 (1)因为小球振动过程中的最高点与最低点的距离为10cm,所以A=102=5.(2分)因为在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1s,所以周期为2s,所以T=2=2πω,所以ω=π.(5分)所以h=5sinπt+π4,t∈[0,+∞).(6分)(2)由题意,当t=14时,小球第一次到达最高点,以后每隔一个周期都会到达一次最高点,(8分)因为小球在t0s内经过最高点的次数恰为50,所以14+49T≤t0<14+50T.(10分)因为T=2,所以9814≤t<10014,所以t0的取值范围为9814,10014.(12分)21.解析 因为在Rt△ACB中,斜边AB=2,BC=1,(1分)所以AC=3,∠BAC=π6,∠ABC=π3.因为D为以AB为直径的半圆上一点,所以∠ADB=π2,(2分)在Rt△ADB中,AD=2cosθ,BD=2sinθ,θ∈0,π2,如图,作CF⊥AD于点F,则CF=3sinθ+π6,S1=12×AD×BD=12×2cosθ×2sinθ=sin2θ,(3分)S2=12×AD×CF=12×2cosθ×3sinθ+π6=3cosθsinθ+π6.(4分)(1)若S1=S2,则sin2θ=3cosθsinθ+π6,因为cosθ≠0,所以2sinθ=3sinθ+π6,(5分)所以2sinθ=32sinθ+32cosθ,整理可得12sinθ=32cosθ,可得tanθ=3,又θ∈0,π2,所以θ=π3.(6分)(2)S=sin2θ-3cosθsinθ+π6=sin2θ-3cosθ32sinθ+12cosθ=sin2θ-34sin2θ-34(1+cos2θ)=14sin2θ-34cos2θ-34=12sin2θ-π3-34,(8分)因为0<θ<π2,所以-π3<2θ-π3<2π3,(10分)所以当2θ-π3=π2,即θ=5π12时,S取得最大值,为12-34.(12分)22.解析 (1)过O作OT⊥MN,垂足为T,图略,则T为MN的中点,T,O,S三点共线,∴MT=12MN=53,(2分)∴OM=ON=53cosx,OT=53tanx,OS=53-OT=53-53tanx,(4分)∴L=OM+ON+OS=103cosx+53-53tanx0≤x≤π4.(6分)(2)由(1)知,L=103cosx+53-53tanx=53(2-sinx)cosx+530≤x≤π4.(8分)令t=2-sinxcosx0≤x≤π4,则tcosx+sinx=2,∴t2+1sin(x+φ)=2(tanφ=t),由sin(x+φ)=2t2+1≤1,得t≥3或t≤-3,易知t>0,∴t≥3.(10分)易知当t取最小值时,L最小,∴当t=3时,φ=π3,x=π6∈0,π4,L取得最小值,即宣讲站O的位置满足x=π6,NO=MO=10km,OS=(53-5)km时,可使得其到三个乡镇的距离之和最小.(12分)
浙公网安备 33021202002483