小学奥数几何五大模型(等高模型)复习过程

此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流三角形等高模型与鸟头模型模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是，当三角形的底和高同时1发生变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的则三角形面积与原来3的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图Si:S2a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图SAacdSAbcd；反之，如果SAacdSabcd,则可知直线AB平行于CD.④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.FBDC［例2］如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?A【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。【解析】⑴如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：GBDECBDC⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考：BDC点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。于是：三角形ABD的面积12高26高三角形ABC的面积（124）高28高三角形ADC的面积4高22高4所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的一倍;3三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。【巩固】（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米。A【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分另以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从ABC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面ABEFDC【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326（平方厘米）。AA【例3】如右图,积是ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米,平方厘米。【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米。【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20,宽是12,则它内部阴影部分的面积是。【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为-2012120。2【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积。【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。连接BH、CH。.AEEB,••SAAEHSABEH•同理，$△BFHS>ACFH,SVCGH=SVDGH,11••Sw-S^方形abcd—5628（平方厘米）.22【巩固】图中的E、F、G分别是正方形分的面积是。ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12,那么阴影部DGC【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等。因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144,阴影部分的面积就是48。H为AD边上任意一点，问阴影部分面积【例5】长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点,是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC,如下图:CHB、22SBHFSDHG即SEHBSDHG而SEHBSBHFSDHG所以阴影部分的面积是:解法二：特殊点法。找1一(SAHBSCHB2SCHD)Sg影SEBF,SEBF1sSDHC，21一362BEBF时影18Sebf184.513.5H的特殊点，把H点与D点重合,而SABCDSAHBSCHBSCHD3618；1(2AB)1(2BC)1一364.5。8那么图形就可变成右图:这样阴影部分的面积就是DEF的面积,SM影SabcdSAEDSBEFSCFD36根据鸟头定理,11136-222则有:1122363613.5。【例6】长方形ABCD的面积为36,E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是（法1）特殊点法。由于H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图）那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形ABCD一，，1一1~〜，一一、，面积的-和-，所以阴影部分面积为长方形84113ABCD面积的———848，为363813.5。（法2）寻找可利用的条件，连接BH、如右上图。一口-1-可信：SEHB—SAHB、2SFHB—SCHB、2SDHG即SEHBSBHFSDHG1一(SAHBSCHB2SCHD)-S21236而SABCDSAHBSCHBSCHD36,18；而SEHBSBHFSDHGBEBF1(21-AB)(—BC)21-3684.5。所以阴影部分的面积是:Si影18Sebf184.513.5o在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分,分别与P点连接，求阴影部分面积。（法1）特殊点法。由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的P点与A点重合，则阴11一I,、」和‘，所以阴影部46„一一一，211分的面积为6（）4（法2）连接PA、6PC。15平方厘米。ABCD面由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积1之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形4积的-,所以阴影部分的面积为62（641一）15平万厘米。6【例7】12厘米，DE3厘米.求三角形ABC的面积是三角形EBC如右图，E在AD上，AD垂直BC,AD面积的几倍？此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【解析】因为AD垂直于BC,所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，于是：三角形ABC的面积BC122BC6三角形EBC的面积BC32BC1.5所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍.［例8］如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与VBEC等积的三角形一共有哪几个三角形？【巩固】如图，在VABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE,那么与VABE等积的三角形一共有哪几个三角形？3个，VAEC、VBED、VDEC.【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?VABD与VACD,VABC与VDBC,VABO与VDCO.［例9］（第四届“迎春杯”试题的面积是多少？）如图，三角形ABC的面积为1,其中AE3AB,BD2BC,三角形BDE【解析】连接CE,「AE3AB,BE2AB,SVBCE2SVACB又「BD2BC,Svbde2SVBCE4SVABC4.【例10】（2008年四中考题）如右图，ADDB,AEEFFC,已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是平方厘米.【解析】连接CD.根据题意可知，DEF的面积为DAC面积的1,DAC的面积为ABC面积的-,所3211以DEF的面积为ABC面积的一--.而DEF的面积为5平方厘米，所以ABC的面积为3615-30（平万厘米）.6【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长白3倍，EF的长是BF长白3倍.那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？【解析】VABD,VABC等高，所以面积的比为底的比，有SABDBD1,SvabcBC2TOC\o"1-5"\h\z1AE1所以SVABD=1Svabc118090（平万厘米）.同理有SvABE"SvABD19030（平万厘米），2AD3FE3SvafeFES/ABE33022.5（平万厘米）.即二角形AEF的面积是22.5平万厘米.BE4【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB24厘米，BC8厘米，求三角形ZCY的面积.TOC\o"1-5"\h\z11【解析】:丫是BD的中点，Z是DY的中点，，ZY11DB,SVZCY-SVDCB,24111又.「ABCD是长万形，，Svzcy-S/dcb--Syabcd24（平万厘米）.442【巩固】如图，三角形ABC的面积是24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点.求三角形DEF的面积.【解析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24212,三角形ADE又是三角形ADC面积的一半1226.三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积623.只供学习与交流【巩固】如图，在三角形ABC中，BCEBF的面积是多少平方厘米？8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形【解析】.F是AC的中点-SVABC2SVABF同理Svabf2S/BEF-1•SvBEFSvABC46（平方厘米）.【例11】如图ABCD是个长方形,点E、F和G分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36【例12]个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.GEFGEF如右图分割后可得，SvefgS矩形DEFC2S巨形ABCD43649（平方单位）.（97迎春杯决赛）如图，长方形ABCD的面积是1,那么，阴影部分的面积是多少？连接BM,因为M是中点所以M是AD边的中点,△ABM的面积为-又因为42ANN在AB边上，且2ANBN.所以4BDC的面积为11—,又因为4BDC面积为1,所以阴影部分的面积为:1211—12512如图，大长方形由面积是形组合而成.求阴影部分的面积.12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方则1,AB【解析】如图，将大长方形的长的长度设为121236CD24所以MN1…，-,阴影部分面积为12(12243648)12244835(cm2).【例13]如图,三角形ABC中，DC2BD3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC只供学习与交流只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除的面积是多少？【解析】.CE3AE,•.AC4AE,S^c48^日；又「DC2BD,，BC1.5DC,Svabc15Svadc6Svade120(平方厘米).【例14】（2009年第七届“希望杯"二试六年级）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89,28,26.那么三角形DBE的面积是.【解析】根据题意可知，SADCSADESDCE8928117,所以BD：ADSbdc:Sadc26:1172:9,那么SDBE:SadeBD：AD2:9,一2227故Sdbe89—(901)-20-19-.9999【例15】（第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分.三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米,它们的差是5分米.求梯形ABCD的面积.【解析】如右图，作AB的平行线DE.三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等，三角形DEC的面积就是三角形BDC与三角形ABD的面积差（10平方分米）.从而，可求出梯形高（三角形DEC的高）是:21054（分米），梯形面积是：154230（平方分米）.【例16】图中VAOB的面积为15cm2,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.35cm2.2、155154580(cm).【解析】在VABD中，因为Svaob15cm2,且OB3OD,所以有SvaodSvaob因为VABD和VACD等底等高，所以有SvabdSvacd.从而Svocd15cm2,在VBCD中，Svboc3Svocd45cm2,所以梯形面积:此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流【例17]如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A处，VABD与VABD面积相等，从而VADC面积与原四边形ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形VA'DC.问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A点.具体做法：⑴连接BD;⑵过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.⑶连接AD,则VACD与四边形ABCD等积.【例18](第三届“华杯赛”初赛试题)一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是21cm2.问：长方形的面积是多少平方厘米？【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%,而绿色三角形面积占长方形面积的15%,所以黄色三角形面积占长方形面积的50%15%35%.22已知黄色二角形面积是21cm,所以长方形面积等于2135%60(cm).【例19】O是长方形ABCD内一点，已知积是多少？OBC的面积是5cm2,OAB的面积是_22cm,求OBD的面【例20】由于ABCD是长方形，所以SAOD则SBOCSOABSOBD,所以SOBDO1O右OSBOC—SABCD,而SABD21—,—SABCD,所以2SAODSBOCSABD,2SBOCSOAB523cm.如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH,若分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米?PBD的面积为8平方PGAE的面积差，相当于求平行四边【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差.如右上图，连接CP、AP.由于SBCPSADPSABPSBDPc1cSADP一Sabcd,所以SBCP2SABPS而SBCP-SbCFE2SABP1SABHG2,所以SBCFESaBHG2SBCPSABP2sBDP16（平方分米）.【例21】如右图，正方形ABCD的面积是20,正三角形BPC的面积是15,求阴影BPD的面积.【解析】可得PO//DC,所以SBPOScpoSbpo并连接PO.如下图所示，DPO与CPO面积相等（同底等高），所以有:'PDOSBPD,205,所以SBPD15510.【巩固】并连接PO.如右上图所示,连接AC交BD于O点,1因为SBOCSABCD4BPC的面积是5,求阴影BPD的面积.可得PO//DC,所以DPO与CPO面积相等（同底等高），所以有：SBPOSCPOSBPOSPDOSBPD,1因为SBOC_Sabcd3,所以Sbpd532.4【例22】在长方形ABCD内部有一点O,形成等腰AOB的面积为16,等腰DOC的面积占长方形面积的18%,那么阴影AOC的面积是多少？【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去DOC的面积（长方形面积的18%）,再减去AOD的面积，即可求出AOC的面积.11根据模型可知ScodSaob—Sabcd,所以Sabcd16（—18%）22又AOD与BOC的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半,1形面积的1,4所以AOD的面积等于长方1-所以SAOCSACDSAODSCODSabcd25%Sabcd18%Sabcd22512.53.5.【例23】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD中，E、F分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知ADG的面积为15cm2,而BCG的面积恰好是梯形ABCD面积的工，则梯形ABCD的面积是cm2.20【解析】如果可以求出ABG与CDG的面积之和与梯形ABCD面积的比，那么就可以知道ADG的面积占梯形ABCD面积的多少，从而可以求出梯形ABCD的面积.如图，连接CE、DE.则SAEGSDEG,SBEGSCEG，于是SABGSCDGSCDE.要求CDE与梯形ABCD的面积之比，可以把梯形ABCD绕F点旋转180，变成一个平行四边形.如下图所示：■Be2从中容易看出CDE的面积为梯形ABCD的面积的一半.（也可以根据SbecTOC\o"1-5"\h\zcC1-cC1-1-1SAEDSAFD-SADC，SbecSAED-SABC-SADC一Sabcd得来）2222173那么，根据题意可知ADG的面积占梯形ABCD面积的1--茄，所以梯形ABCD的面积是3215—100cm.20小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半,这是一个很有用的结论.本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G与E重合，则CDE的面积占梯形面积的一半，那么ADG与BCG合起来占一半.【例24]如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 它们的面积相等.【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接BE.（我们通过△ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起.）.•.在平行四边形ABCD中，Saabe—ABAB边上的局，,1-SaABE—Swabcd•21同理，Saabe—Syaegf,••・平行四边形ABCD与AEGF面积相等.2【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG.（我们通过4ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）.1.•.在正万形ABCD中，Saabg-ABAB边上的局，2••.Saabg1SWABCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）2_同理，SaABG-SefGB•，正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形白^宽88106.4（厘米）.【例25]如图，正方形ABCD的边长为6,AE1.5,CF2.长方形EFGH的面积为C【解析】连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，Sxdef661.5622624.54216.5,所以长方形EFGH面积为33.【例26]如图，ABCD为平行四边形,EF平行AC,如果VADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积.【解析】连结AF、CE.SVADESVACE；SVCDFS/ACF；又•「AC与EF平行，SVACESvacf.SVADESVCDF4（平方厘米）.如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若Saade1,求^BEF的面积.本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想.连接AC.【例2例【例28】-AB//CD,••.SaadeSAACE同理AD//BC，-S*AACF又S*AACFS*AABFSAACESAAEF,S\ABF图中两个正方形的边长分别是【解析】如图，有三个正方形的顶点厘米，求阴影部分的面积.SABEFSAAEF,••SAACES*ABEF,即SABEFSAADE6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化.如右图所示，连接FK、GE、BD,则BD//GE//FK,根据几何五大模型中的面积比例模型，可2得SDGESBGE,SKGESFGE,所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB的面积，即为10100平方厘米.【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系.连接AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等.因为三角形AGD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等.根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4428.【巩固】（2008年西城实验考题）如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为.【解析】如图，连接AF，比较ABF与ADF,由于ABAD,FGFE,即ABF与ADF的底与高分别相等，所以ABF与ADF的面积相等，那么阴影部分面积与ABH的面积相等，为6平方厘米.【巩固】正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解析】方法一：三角形BEF的面积BEEF2,梯形EFDC的面积（EFCD）CE2BEEF2三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积1010250（平方厘米）.方法二：连接CF,那么CF平行BD,所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积50（平方厘米）.【巩固】（人大附中考题）已知正方形ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积.（或者说一个等腰直角三角形的斜边【解析】如果注意到DF为一个正方形的对角线）,那么容易想到DF与CI是平行的.所以可以连接CI、CF,如上图.1~由于DF与CI平行，所以DFI的面积与DFC的面积相等.而DFC的面积为104-20,所2以DFI的面积也为20.【例29】（2008年“华杯赛”决赛）右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H,已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积.【解析】连接AC、GF,由于AC与GF平行，可知四边形ACGF构成一个梯形.由于HCG面积为6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的），根据梯形蝴蝶2定理或相似三角形性质，可知FHG的面积为12平方厘米，AHF的面积为6平方厘米，AHC的面积为3平方厘米.那么正方形CGEF的面积为612236平方厘米，所以其边长为6厘米.又AFC的面积为639平方厘米，所以AD9263（厘米），即正方形ABCD的边长为3厘21米.那么，五边形ABGEF的面积为：3693-49.5（平万厘米）.2【例30】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的点，DFFC,并且甲、乙、丙3个三角形面积相等.已知梯形ABCD的面积是32平方厘米.求图中阴影部分的面积.【解析】【例31】因为乙、丙两个三角形面积相等，底DFFC.所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即AE与CD平行，四边形ADCE是平行四边形，阴影部分的面积一，—一一1~,平行四边形ADCE的面积的1,所以2阴影部分的面积乙的面积2.设甲、乙、丙的面积分别为1份，则阴影面积为2份，梯形的面积为5份，从而阴影部分的面积325212.8（平方厘米）.如图，已知长方形ADEF的面积16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,那么三角形ABC的面积是多少？方法一：连接对角线AE..「ADEF是长方形SAEF二SXADEFDBDE.BEDESADBSADEDEDBFCSacfEFSAEFCEFE,SBECDE152816EF52CFEF,SABCSXADEFSADBSACFSCBE13方法二:连接2BF,由图知SAABF1628,所以工BEF16△AEF的一半所以C是EF的中点，因SABCE5,又由SAACF4，恰好是SAbcf522.5,所以16342.56.5【例3例SAABCABCD中,BEEC,CF2FD.求阴影面积与空白面积的比.【解析】方法一：因为BEECCF2FD,所以Saabe—Szg边形ABCD,SaADF-Si边形ABCD•46因为AD2BE,所以AG2GE,汇,11所以SABGE-SaABE—Si边形ABCD312HYPERLINK\l"bookmark57"\o"CurrentDocument"21SaABG_SaABE—S四边形ABCD.36同理可得，因为S»ABCDSaadh11—Sh边形ABCD，SaDHFSh边形ABCD•82411s四边形abcd,所以空白部分的面积211（212124一）Sh边形ABCD8—Sg边形ABCD，3TOC\o"1-5"\h\z~1所以阴影部分的面积是-翅边形abcd.312~_,一1:21:2,所以阴影面积与空白面积的比是1:2.33【例33】（第七届“小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边上的一点，且AE3EC,O为DC与BE的交点.若CEO的面积为a平方厘米，BDO的面积为b平方厘米.且ba是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是平方厘米.SBCD—Sabc2bSBCO,—SABCSBCE41所以一Sabc21-Sabcba2.5（平万厘4米）.所以Sabc2.5410（平方厘米）.【例34】如图，在梯形ABCD中，AD:BE4:3,BE:EC2:3,且BOE的面积比AOD的面积小10平方厘米.梯形ABCD的面积是平方厘米.【解析】根据题意可知AD:BE:EC8:6:9，则S^BD8,SABE-SABDSABE64而SABDSABESAODSBOE10平方厘米，所以-Sabd410,则SABD40平方厘米.又SbcdSABD15…一,所以SBCD81584075平方厘米.所以S弟形ABCDSABDSBCD4075115（平方厘米）.【巩固】（第五届《小数报》数学竞赛初赛）如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE与BD相交于O点.已知三角形2BOE的面积比二角形AOD的面积大4平万米，并且EC士BC.求5梯形ABCD的面积.【例35】【例36】连接AC.根据差不变原理可知三角形角形ACD面积相等，因此也与三角形平方米.ABE的面积比三角形ABD大4平方米，而三角形ABD与三ACE面积相等，从而三角形ABE的面积比三角形ACE的大42EC2BC,所以三角形ACE的面积是三角形ABE的一55HYPERLINK\l"bookmark59"\o"CurrentDocument"221—12（平万米），梯形ABCD的面积为：121—332""22-,从而三角形ABE的面积是328（平方米）.如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是阴影部分的面积是多少？13,35,49.那么图中三角形ABC的面积三角形CDE的面积（133549）长方形面积形ABC的面积三角形CDE的面积阴影部分面积13354997.图中是一个各条边分别为5厘米、上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分阴影部分面积；又因为三角1,、一~1-长方形面积，所以可得:212厘米、13厘米的直角三角形.将它的短直角边对折到斜边（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米?【解析】有ABC为直角，而CEDABC,所以CED也为直角.而CECB5.VADE与VCED同高，所以面积比为底的比，及°逗="=£-5=',设vade的面积为“8"，则VCED的面积为TOC\o"1-5"\h\zSVCedEC55“5”.VCED是由VCDB折叠而成，所以有VCED、VCDB面积相等，VABC是由VADE、VCED、VCDB组成，所以SVABC="8”+“5"+“5”="18”对应为-51230,所以“1”份对应为,那么235119DE的面积为85=131平方厘米.即阴影部分的面积为131平方厘米.【例37]如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？【解析】如下图，连接FCy平方厘米，那么VDBF、VBFG的面积相等，设为.1一、一，VDEF的面积为-y平方厘米.3x平方厘米；VFGC、VDFC的面积相等，设为1SVbcd2x2y1,SVbde=x+-y=l33x'y1②.比较②、①式'②式左边比①式左边多2y-y32x,②式右边比①式右边大5550.252平方厘米.3120.5,有2x0.5,即x0.25,y0.25.而阴影部分面积为【例3例（2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路AE和CF,交叉处为D,张大伯常走这两条小路，他知道DFDCMAD2DE.则两块地ACF和CFB的面积比是【解析】【例3例方法一：连接BD.设4CED的面积为1即4BDF的面积为x△BED的面积xSAADF则根据题上说给出的条件,由DFDC得SABDCS*ABDF,又有AD2DE,SaADCSaADF得x3,所以S/\ACF:SACFB(228ACDE2):(132、4)方法二：连接BD,设SACED1（份），贝USAACD」曰x解得y方法三:S»AABDS*AADF2Sabde2x,2，设SABED而SaabdxSABFDy则有3,所以&acf:Sacfb(22):(4341）1：过F点作FG//BC交AE于G点，由相似得CD:DFED:DG1:1,又因为AD2DE,所以AG:GEAF:FB1:2,所以两块田地ACF和CFB的面积比AF:FB1:2（2008年第一届“学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图，BC45,AC21,ABC被分成9个面积相等的小三角形，那么DIFK【解析】【巩固】【解析】【例40】2由题意可知，BD:BCSBAD：SABC2:9,所以BD—BC10,CDBCBD35;又92DI：DCSdif:Sdfc2:5,所以DI—DC14,同样分析可得FK10,所以5DIFK141024.（2009年清华附中入学测试题）如图，在角并且OAB、ABC、BCD、CDE、根据题意可知,【例41】MON的两边上分别有A、DEF的面积都等于1,则C、E及B、DDCF的面积等于F六个点,OD：DFSOED:Sdef4:1,所以DFE、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQAE5,EB3.求阴影部分的面积.连接CE、DE.由于DQ、CP、ME彼此平行，所以四边形1八一—OD,SDCF41s—SOCDCP、ME彼此平行，若ADCDQP是梯形，且ME与该梯形的两个底平行，那么三角形QME与DEM、三角形PME与CEM的面积分别相等，所以三角形PQM的面积与三角形CDE的面积相等.而三角形CDE的面积根据已知条件很容易求出来.由于ABCD为直角梯形，且ADC11C5753—55—322（2007年人大附中分班考试题的中点，已知甲、乙、丙面积和为5,BC7,AE5,EB3,所以三角形CDE的面积的面积为:17—25.所以三角形PQM的面积为25.2）已知ABC为等边三角形，面积为400,D、E、F分别为三边143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有SABCSfSABNSAMCSAMHN,即400%200200SAMHN,所以SWSAMHN•1又SI影SADFSP&SAMHN,所以%影Sp&SfSADF143—40043.4【例42】（2009年四中入学测试题）如图，已知CD5,DE7,EF15,FG6,线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是.根据题意可知,CF571527;DG715628;所以,SBEF史SCBF27SBEC学SCBF27021oSAEGSADG28SAED—SADG,2821SADG28"SCBF2765;SADG2812-SCBF38；27可得Sadg40.故三角形ADG的面积是40.（第四届希望杯）如图，点D、E、F在线段CG上，已知CDFG4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米?下边部分面积是2厘米，DE67平方厘米,8厘米，EF20厘米，上边部分面积是166平5：1：2所以4AFE的面积是5x、连接AF设^AFG的面积是x,由于FE：FG：ED20：4：8△AED的面积是2x由于上半部分的面积是166平方厘米所以4FEB的面积是（1665xx1666x）平方厘米，因为下半部分的面积是67平方厘米所以4EBC的面积是(672x)平方厘米，因为FE是EC的2倍所以可以列方程为：1666x2(672x)解得x16,△ADG的面积为x5x2x8x816128平方厘米.【例43】(2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的面积是.【解析】如图所示，设AD上的两个点分别为M、N.连接CN.根据面积比例模型，CMF与CNF的面积是相等的，那么CMF与BNF的面积之和，等于CNF与BNF的面积之和，即等于BCN的面积.而BCN的面积为正方形ABCD面积的一半，为2110—50.2又CMF与BNF的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形EFGH的面积，所以阴影部分的面积为：505240.【巩固】如图，正方形的边长为12,阴影部分的面积为60,那么四边形EFGH的面积是【解析】如图所示，设AD上的两个点分别为M、N.连接CN.根据面积比例模型，CMF与CNF的面积是相等的，那么CMF与BNF的面积之和，等于CNF与BNF的面积之和，即等于BCN的面积.而BCN的面积为正方形ABCD面积的一半，为2112-72.2又CMF与BNF的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形EFGH的面积，所以四边形EFGH的面积为：726026.【例44】(2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB8,AD15,四边形EFGO的面积为.【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.1〜一一由于长万形ABCD的面积为158120,所以三角形BOC的面积为120-30,所以三角形AOE和4DOG的面积之和为120—7020;一___11~又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为1202-30,所以四边形EFGO的面积为302010.三角形BFD面积白色部分的面积,60,白色部分的面积等于长方形面605010.另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积三角形AFC面积而三角形AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即积减去阴影部分的面积，即1207050,所以四边形的面积为【巩固】（2008年“华杯赛”初赛）如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米.三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是平方厘米.【解析】因为三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即12平方厘米，又三角形ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则三角形AMO与三角形BNO的面积之和是4.2平方厘米，则四边形PMON的面积三角形ABP面积三角形AMO与三角形BNO的面积之和三角形ABO面积124.261.8（平方厘米）.PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形面积是平方厘米.【解析】因为三角形ABP面积为矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，三角形ABO面积为矩形ABCD1的面积的1,即9平万厘米，又四边形PMON的面积为3平万厘米，所以三角形AMO与三角形BNO4的面积之和是18936平方厘米.又三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为18612（平方厘米）.【巩固】（2008年清华附中考题）如图，长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点，AE2ED,则阴影部分的面积为.【解析】如图，连接OE.TOC\o"1-5"\h\z11根据蝴蝶定理，ON:NDSCOE:SCDE-SCAE:SCDE1：1,所以SOENSOED22OM:MASBOE：SBAE—SBDE：SBAE1：4,所以SOEM一SOEA.25_11____—又SOED——Sg形ABCD3,SOEA2SOED6,所以阴影部分面积为:34【例45]（清华附中分班考试题）如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？【解析】如图，过M、N、P、Q分别作长方形ABCD的各边的平行线.易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米.设MQD、NAM、PBN、QCP的面积之和为S,四边形MNPQxS56的面积等于x,则，解得x32.5（平方厘米）.xS9【例46】（2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛）如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是cm2.【解析】如图所示，分别过阴影四边形EFGH的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形MNPQ,易知长方形MNPQ的面积为414平方厘米.从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于AENH、BFME、CGQF、DHPG四个长方形的面积之和，等于正方形ABCD的面积加上长方形MNPQ的面积，为10104104平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为104252平方厘米，那么阴影四边形EFGH的面积为1005248平方厘米.【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为厘米？12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方【解析】如图所示，分别过阴影四边形EFGH的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形MNPQ,易知长方形MNPQ的面积为428平方厘米.从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于AENH、BFME、CGQF、DHPG四个长方形的面积之和，等于正方形ABCD的面积加上长方形MNPQ的面积，为12128152平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为152276平方厘米，那么阴影四边形EFGH的面积为1447668平方厘米.【巩固】已知正方形的边长为10,EC3,BF2,则S四边形ABCD【解析】如图，作BMAE于M,CNBM于N.则四边形ABCD分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形而中间的小长方形的面积为326,所以ABCD周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等,1010322【例47】如图，三角形AEF的面积是17,DE、BF的长度分别为11、3.求长方形ABCD的面积.【解析】如图，过F作FH//AB,过E作EG//AD,FHEG交于M,连接AM.贝US巨形ABCDS矩形AGMHSg形GBFMS巨形MFCES巨形HMEDAGAH2Samf2semf2sameDEBF2SAEF11321767另解：设三角形ADE、CEF、ABF的面积之和为s,则正方形ABCD的面积为s17.从图中可以看出，三角形ADE、CEF、ABF的面积之和的2倍，等于正方形ABCD的面积与长方【例48】形AGMH的面积之和，即2ss17113,得s50,所以正方形ABCD的面积为501767.（2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛BC30.E、F分别是AB、BC边上的两点，BE是.）如图，长方形ABCD中，AB67,BF49.那么，三角形DEF面积的最小值【解析】由于长方形ABCD的面积是一定的，要使三角形DEF面积最小，就必须使ADE、BEF、CDF的面积之和最大.由于ADE、BEF、CDF都是直角三角形，可以分别过E、F作AD、CD的平行线，可构成三个矩形ADME、CDNF和BEOF,如图所示.容易知道这三个矩形白面积之和等于ADE、BEF、CDF的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形ABCD的面积加上长方形MDNO的面积.所以为使ADE、BEF、CDF的面积之和最大，只需使长方形MDNO的面积最大.长方形MDNO的面积等于其长与宽的积，而其长DMAE,宽DNCF,由题知AECFABBCBEBF67304948,根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所以当AE与CF的差为0,即AE与CF相等时它们的积最大，此时长方形MDNO的面积也最大，所以此时三角形DEF面积最小.当AE与CF相等时，AECF48224,此时三角形DEF的面积为：16730673024242717.(也可根据6730167243024436717得到三角2形DEF的面积)【例49】P是内部任意（2007首届全国资优生思维能力测试）ABCD是边长为12的正方形，如图所示,一点，BLDM4、BKDN5,那么阴影部分的面积是.（法1）特殊点法.由于P是内部任意一点,不妨设P点与A点重合（如上中图），那么阴影部分就是5)4214,ALK的面积为(124)5220,所以AMN和ALK,而AMN的面积为（12阴影部分的面积为142034.（法2）寻找可以利用的条件，连接AP、BP、CP、DP可得右上图所示:口21则有：SPDCSPAB-SaBCD2同理可得:SPADSPBC121272272;而Spdm:SPDCDM:DC4:121:3，即Spdm1一SPDC；3同理：Spbl所以：（SPDM155.一SPAB，SpndSPDA，SPBKSPBC;3121215SPBL)(SpndSPBK)z(SPDCSPAB)(SPDASPBC)312而(SpdmSpbl)(SpndSpbk)-SdNM2S4LK)(SDNMSBLK)；--1,—-SDNMSBLK—4510；2所以阴影部分的面积是：SPNMSPLK1即为：-7233(S5_12c、5，cc、PDCSpab)(SpdaSpbc)127210224302034.(SDNMSBLK)【例50]如图所示,在四边形ABCD中,H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS的面积之比.SBGCSDHCS4.(法1)设SAED连接BD知Ss,-S,2SABFS3ABD-S2ABD,S1-SABD,2S2s.6SBCD,2S2同理S3S4-S2-Sai2ABDBCD•SBCD是S1—SABCD；2S2S3S4SABCD；PQRS;因此四块阴影注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形的面积和就等于四边形PQRS的面积.（法2）特殊值法（只用于填空题、选择题），将四边形画成正方形，很容易得到结果.【巩固】（2008年“希望杯"二试六年级）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于点O,6、S2、S3及S4分别表示四个小四边形的面积.试比较S10与&S4的大小.O点所构成的三角形都被分为面积相如右图，连接AO、BO、CO、DO,则可判断出，每条边与等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于S1S3S2s4.GS3、S2S4这两个不同的组合，所以可知【例51】如图，四边形ABCD中，DE:EF:FC3:2:1,BG:GH:AH3:2:1,AD:BC1:2,已知【拓展】四边形ABCD的面积等于4,则四边形运用三角形面积与底和高的关系解题.连接AC、AE、GC、GE,因为EFHG的面积DE:EF:FC3:2:1，BG:GH:AH3:2:1,所以,ABC中,ACD中,AEG中,CEG中,因为SBCG所以SagceSBCGSaedSAEHSCFGSaedSabcd-s2-s2-s21s2EFG♦-s2SABCBCG1G—SACD2Saed」Sabc2SACD1_co—Sabcd2Sbcg,2又因为SagceSAEHSHEG3S一SHEG234所以Sefgh2——23SCFGSEFG1一SHEG2HEG1—SEFGSEFG2SEFG—SEFGH,2ABCD,通过各边三等分点的相应连线,ABCD的几分之几？分层次来考虑:如图，对于任意四边形EFGH的面积是四边形⑴如下左图,SBMDSABD得到中间四边形EFGH,求四边形所以Smbpd(SabdScbd)2323SBPDSCBDSabcd又因为SdomSpomSmnPSbnP,所以SmnpoSmnpo-Smbpd；2-Sabcd3-Sabcd•3TOC\o"1-5"\h\z12⑵如右上图，已知MJ-BD,OK2BD;所以MJ：BD1:2;33所以ME:EO1:2,即E是三等分点；同理，可知F、G、H都是三等分点；所以再次应用⑴的结论，可知，SEfgh-Smnpo--Sabcd—Sabcd•3339【例52】(2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛)有正三角形ABC,在边AB、BC、CA的正中间分PM和QN、这时，三角形别取点L、M、N,在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R,使LPMQNR,当PM和RL、QN和RL的相交点分别是X、Y、Z时，使XYXL.XYZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几？请写出思考过程.NM、【解析】连接LN、ML,显然，4LMN是正三角形将4LMN放大至如图⑵.图⑴图⑵连MZ,由对称性知,YMYZYXZN.因此,SaxyzSamyzSamnz•同理，Samny所以，SaxyzSalmx—S61Sanlz-公MNL一72Saxyz•-±—SaabcSaabc•428【例53]如图：已知在梯形ABCD中，上底是下底的2,其中F是BC边上任意一点，三角形AME、3角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12.求三角形NDE的面积.【解析】如图，设上底为2a,下底为3a,三角形ABE与三角形ABF的高相差为h.1由于SABFSABESBMFSAME20146,所以—2ah6.即ah6.211又SCDESCDFSDENSCFN-3ah-369,所以Sden12921.22【例54】如图，已知ABCD是梯形,AD//BC,AD:BC1:2,SAOF：SDOE1:3,SBEF24cm2,求AOF的面积.【解析】本题是09年EMC六年级试题，初看之下，ABCD是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四边形ADEF内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为2E、F这两个点的位置不明确.再看