高一数学必修5不等式题型总结

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，平时状况下，均需分类议论，那么怎样议论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按x2项的系数a的符号分类，即a0,a0,a0;例1解不等式：ax2a2x10解析：此题二次项系数含有参数，a224aa240，故只要对二次项系数进行分类议论。解：∵a224aa240解得方程ax2a2x10两根x1a2a24,x2a2a242a2a∴当a0时,解集为x|xa2a24或xa2a242a2a当a0时，不等式为2x10,解集为x|x12当a0时,解集为a2a24xa2a24x|2a2a例2解不等式ax25ax6a0a0解析因为a0，0，因此我们只要议论二次项系数的正负。解a(x25x6)ax2x30当a0时，解集为x|x2或x3；当a0时，解集为x|2x3二、按鉴识式的符号分类，即0,0,0；例3解不等式x2ax40解析此题中因为x2的系数大于0,故只要考虑与根的状况。解：∵a216∴当a4,4即0时，解集为R；当a4即＝0时，解集为xxR且xa；2当a4或a4即0,此时两根分别为x1aa216x2aa216，显然x1x2,2，2xxaa216aa216∴不等式的解集为2或x〈2例4解不等式m21x24x10mR解因m210,(4)24m2143m2，因此当m3，即0时，解集为x|x1；2当3m3，即0时，解集为xx23m2或x〈23m2；m21m21当m3或m3，即0时，解集为R。三、按方程ax2bxc0的根x1,x2的大小来分类，即x1x2,x1x2,x1x2；例5解不等式x2(a1)x10(a0)a1)解析：此不等式可以分解为：xa(x0，故对应的方程必有两解。此题只要议论两根的大小即可。1)a11解：原不等式可化为：xa(x0，令a，可得：a1，∴当a1或0a1时，a，故原不aaa等式的解集为x|ax1；当a1或a1时，a1；a,可得其解集为a当1a0或a1时,a1x|1xa,解集为。aa例6解不等式x25ax6a20，a0解析此不等式5a224a2a20，又不等式可分解为x2a(x3a)0，故只要比较两根2a与3a的大小.解原不等式可化为：x2a(x3a)0，对应方程x2a(x3a)0的两根为x12a,x23a，当af0时，即2ap3a，解集为x|x3a或x2a；当a0时，即2af3a，解集为x|x2a或x3a一元二次不等式参照例题（2）1．(1)解不等式x11（{x|x1,或x0}）2x(2)不等式ax1的解集为{x|x1，或x2}，求a的值.（a1）x122．解以下关于x的不等式：（1）21)10xax(ax（2）0(a，且a3a2)(x2)(x3)当1,或0a时，x1}当时，或(1)a1{x|aaaa,2x3}(1)2{x|x当时，(2)当时，2,或ax3}(2)a12a3{x|x当或时，1当a时，2,或3xa}1,1axa}(3)3{x|x(3)a0{x|（3）ax2a(a1)x10（4）(x2)(ax2)0(1)当a时，1或x1}(1)当a时2x2}0{x|x,0,{x|aa(2)当a时，1}(2)当a时,{x|x2}0{x|x0(3)当0a时，x1}(3)当0a时2,或x2}1{x|1a1,{x|xa(4)当a1时，(4)当a1时,{x|x2}(5)当a时，1x1}(5)当a时,{x|x2或x2}1{x|a1,a（5）ax2x10（6）xx1a(aR)1(1)当a时，114a,或x114a}0{x|x2a2aa1当时，当a时，x1}(2)a1}(1)0{x|a0{x|x当a时，1}1时，114a114a(2)0{x|x(3)当0ax}{x|a142a2a当时，或a1,x}1时，(3)0{x|xa(4)当a43．（1）若不等式(a2)x22(a2)x40对xR恒成立，务实数a的取值范围.（2a2）（2）若不等式2x22mxm1的解集为R，务实数m的取值范围.（1m3）4x26x34．（1）已知A{x|x23x20},B{x|x2(a1)xa0}，①若AB，务实数a的取值范围.；（a2）②若BA，务实数a的取值范围.；（1a2）③若AB为仅含有一个元素的会集，求a的值.（a1）（2）已知A{x|x10}，B{x|x2(a1)xa0},且ABB，务实数a的取值范围.x3（1a3）(3)关于x的不等式|x(a1)2|(a1)2与x23(a1)x2(3a1)0的解集挨次为A与B，22若AB，务实数a的取值范围.（a1,或1a3）（4）设全集UR，会集A{x|xa0},B{x||2x1|3}，若ABR，x1务实数a的取值范围.（2a1）（5）已知全集UR，A{x|x2x60},B{x|x22x80},C{x|x24ax3a20}，若(AB)C，务实数a的取值范围.（1a2）一元二次不等式及其解法1．二次函数的图象及性质:二次函数yax2bxc的图象的对称轴方程是b，极点坐标是b4acb2x2a，．2a4a2．二次函数的解析式的三种形式：f(x)ax2bxc（一般式）；f(x)a(xx1)(xx2)（零点式）；f(x)a(xm)2n（极点式）．3．一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0a0的解集：设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种状况以下表：000yax2bxcyax2bxcyax2bxc二次函数ax2bxca0）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax2bxc0bx1,x2(x1x2)x1a0的根x2无实根2aax2bxc0xxx1或xx2xxb(a0)的解集2aRax2bxc0xx1xx2(a0)的解集4．解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A=ax2bxc>0(或<0)(a；>0)(2)计算鉴识式，解析不等式的解的状况；(3)写出解集．5．议论二次函数yax2bxca0在指定区间p,q上的最值问题：(1)注意对称轴xbp,q的相对地址．一般分为三种状况议论，即：①对称轴b与区间在区间左侧，函数在此区间上拥有单2a2a调性；②对称轴b在区间以内；③对称轴b2a在区间右侧．2a（2）函数yax2bxca0在区间p,q上的单调性．要注意系数a的符号对抛物线张口的影响．6．二次函数的区间根的散布状况一般需从三方面考虑：①鉴识式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对地址．三、典型例题选讲题型1：考察一元二次函数的性质例1函数yx2bxc(x[0,))是单调函数的充要条件是（）A．b0B．b0C．b0D．b0解：∵函数yx2bxc(x[0,))的对称轴为xb，2∴函数yx2bxc(x[0,)）是单调函数-b(0,)b0，b0．应选A．22归纳小结：二次函数的单调区间是(,b]和[b,)，结合张口方向便可得出所需的条件，进而求出b的范围．2a2a例2已知二次函数的对称轴为x2，截x轴上的弦长为4，且过点(0,1)，求函数的解析．解：∵二次函数的对称轴为x2，可设所求函数为f(x)a(x2)2b，∵f(x)截x轴上的弦长为4，∴f(x)过点(22,0)和(22,0)，f(x)又过点(0,1)4ab0a12，，∴b1，解之得2ab2∴f(x)1(x2)22．2归纳小结：求二次函数的解析式一般采纳待定系数法，但要注意依据已知条件选择适合的解析式形式：一般式、零点式和极点式，正确的选择会使解题过程获得简化．题型2：简单不等式的求解问题例3求以下不等式的解集．（1）4x24x10；（2）x22x30解法一：因为0,方程4x24x10的解是x1x21．因此，原不等式的解集是xx1．22解法二：整理，得x22x30．因为0,方程x22x30无实数解，因此不等式x22x30的解集是．进而，原不等式的解集是．归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，依据解一元二次不等式的步骤求解，必需时要画出二次函数的图象进行察看．2例4不等式axbx20的解集为x1x2，求a与b的值．解法一：设ax2bx20的两根为x1、x2，由韦达定理得：x1x2bb12x1x2a2a由题意得a2a∴a1，b1，此时知足a0，b24a(2)0．12解法二：构造解集为x1x2的一元二次不等式：(x1)(x2)0，即x2x20，此不等式与原不等式ax2bx20应为同解不等式，故a1，b1．归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思想题，要使解集为x1x2，不等式ax2bx20需知足条件a0，0，ax2bx20的两根为x1，x22．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．1题型3：含参不等式的求解问题例5解关于x的不等式ax2(a1)x10．证：分以下状况议论(1)当a0时，原不等式变成：x10，∴x1，即不等式的解集为{x|x1}(2)当a0时，原不等式变成：(ax1)(x1)0①①当a0时，①式变成(x1)(x1)0，∴不等式的解为x1或1}；②当aax1．即不等式的解集为{x|x1或x0时，①式变成(x1)(x1)0．②，∵111a，aaa1}；当aaa∴当0a1时，11，此时②的解为1x1．即不等式的解集为{x|1x1时，11，此时②的解为．1时，1a{x|1aaa当a1，即不等式的解集为x1}．aa归纳小结：解此题要注意分类议论思想的运用，重点是要找到分类的标准，就此题来说有三级分类：a0a0aR00a1a0a1aa1分类应做到使所给参数a的会集的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．别的，解此题还要注意在议论a0时，解一元二次不等式ax2(a1)x10应首选做到将二次项系数变成正数再求解．题型4：一元二次不等式的应用例6（1）已知函数fxx1x0x1fx11的解集是（x1x0，则不等式x）A．x|1x21B．x|x1C．x|x21D．x|21x21解：依题意得x10x)或x101x(x1)(1x(x1)x因此x1或x1x1或1x21x21，选C．xR21x21（2）若函数fx2x22axa1的定义域为Ra的取值范围为_______．()=，则解：Q函数f(x)2x22axa1的定义域为R，对全部xR都有2x22axa1恒成立，即x22axa0恒成立，0成立，即4a24a0，1a0，应选A．归纳小结：解一元二次不等式经常与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考察，一般是借助于函数的性质和图象进行转变，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式解析相应一元二次函数的性质，表现“三个二次”之间的亲密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．例7已知函数ysin2xasinxa1的最大值为2，求a的值．42a)21(a2aa解：令tsinx，t[1,1]，∴y(ta2)，对称轴为t，当11，即2a2时，2422ymax1(a2a2)2，得a2或a3（舍去）．当a1，即a2时，函数y(ta)21(a2a2)在[1,1]4224上单调递加，由ymax1a1a12，得a10；当a1，即a2时，函数y(ta)21(a2a2)在423224[1,1]上单调递减，由ymax1a11，得a2a2（舍去）．1042综上可得，a的值为a．2或a3归纳小结：令tsinx，问题就转变成二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间[1,1]的三种地址关系的议论便可求得a的值．此题中要注意a0的条件．例8设不等式x22axa20的解集为M，若是M[1,4]，务实数a的取值范围？a解：M[1,4]有两种状况：其一是M=，此时＜0；其二是M，此时=0或＞0，分三种状况计算的取值范围．设≠f(x)x22axa2，有=(2a)24(a2)=4(a2a2)，当＜0时，－1＜a＜2，M=[1,4]；当=0时，a=－1或2；当a=－1时M={1}[1,4]；当a=2时，m={2}[1,4]当＞0时，a＜－1或a＞2．设方程f(x)0的两根x1，x2，且x1＜x2，那么M=［x1，x2］，M[1,4]1≤x1＜x2≤a30，f(1)0,且f(4)044,且，即1a0187a0，18，∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，18)．a0解得2＜a＜，77a1或a2，一元二次不等式解法应试能力测试1．不等式6x2x20的解集是()A．{x|3x2}B．{x|2x3}C．{x|x3或x2}D．{x|x2或x3}2{x|x22222．设会集M＝{x|0≤x<2}，N2x30}，则有M∩N＝()A．{x|0≤x<1}B．{x|0≤x<2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}3．关于任意实数x，不等式ax22ax(a2)0恒成立，则实数a的取值范围是()A．－1≤a≤0B．－1≤a<0C．－10C．a＝0且b>0D．b＝0且a<01．不等式2x23|x|350的解为_______________．2．使函数yx22x331有意义的x的取值范围是_______________．|x|3．已知A{x|x23x20}，B{x|x2(a1)xa0}，若AB，则a的取值范围是_______________；若AB，则a的取值范围是_______________．4．关于x的不等式ax0(a＋b>0)的解集是_______________．xb1．为使周长为20cm的长方形面积大于15cm2，不大于20cm2，它的短边要取多长？2．解不等式|x22x|1x．23．解关于x的不等式ax22(a1)x40(a>0)．4．k为什么值时，关于x的不等式2x22kxk1对一确实数x恒成立．4x26x3参照答案一、1．D2．B3．C4．C5．A提示：因为A∩B＝{3，4}6．A提示：因B＝{x|x<－1或x>3}，由已知得A＝{x|－1≤x≤4}∴－1，4是x2pxq0的两根，∴p＝－3，q＝－4．7．C8．A，提示：因x2x10的解为，只有a＝0且b≤0时，ax5提示：原不等式化为2|x|23|x|350，∴|x|>52．{x|－32，1≤a≤2，提示：∵A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，∵AB，∴a>24．{x|x<－b或x>a}，提示：原不等式可化为(a－x)(x＋b)<0，即(x－a)(x＋b)>0，∵a＋b>0，∴a>－b，∴x>a或x<－b．三、1．设长方形较短边长为xcm，则其邻边长(10－x)cm，显然00时，不等式化为x|x2|1x，即|x2|1352)(x222解得：x3．原不等式化为(ax－2)(x－2)>0，∵a>0，∴(x2)0，当a＝1时，2，∴(x2)20，22aa2∴{x|x∈R且x≠2}，当a≠1时：若a>1，则22，∴{x|x2或x2}，若0