【北清复交】自主招生华约数学试题解析T

华约试题解析一、选择题15(1)设复数z满足|z|<1且||z则|z|=()z24321ABCD543251解：由得|zz|21||，已经转化为一个实数的方程。解得|z|=2（舍去），。22(2)在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2。则异面直线DM与AN所成角的余弦为()1111ABCD36812[分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。zPMDNCOyABx解法一：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。如图建立坐112112标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，)，则MN(,,),(,,)，222222312132DMAN1DM(,,),AN(,,)。设所成的角为θ，则cos。222222DMAN6解法二：如图，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为得高为。平移DM与1/8PMDNQCABAN在一起。即M移到N，D移到CD的中点Q。于是QN=DM=AN。而PA=PB=AB=2，所以QN=AN1=3，而AQ=5，容易算出等腰ΔAQN的顶角cosANQ。6解法三：也可以平移AN与DM在一起。即A移到M，N移到PN的中点Q。以下略。(3)过点(-1,1)的直线l与曲线相切，且(-1,1)不是切点，则直线l的斜率为()A2B1C1D2此题有误，原题丢了，待重新找找。2(4)若ABAB，则cos22cos的最小值和最大值分别为()333133312A1,B,C1,1D,122222222[分析]首先尽可能化简结论中的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式cos22ABcos，沿着两个方向：①降次：把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。1cos2AB1cos21解：cos22ABABcos1(cos2cos2)22211cos(ABABAB)cos()1cos()，可见答案是B2[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱。我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔOO1O2边O1O2上一点C，OO1、OO2延长线上分别一点A、B，使得O1A=O1C，2/8O2B=O2C。解法一：连接OO12，C在上，则OO1O2OO2O1，11OACOCAOOO，OBCOCBOOO，故11212222211OCAOCB()OOOOOO，12221221()OCAOCB，sincos。1222解法二：对于选择填空题，可以用特例法，即可以添加条件或取一些特殊值，在本题中假设两个小圆的半径相等，则OOOOOO，122121OCAOCBOOO，122412，。(6)已知异面直线a，b成60°角。A为空间一点则过A与a，b都成45°角的平面()A有且只有一个B有且只有两个C有且只有三个D有且只有四个[分析]已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了。因为涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系。于是原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间中过交点与a，b都成45°角的直线。答案是4个。3131(7)已知向量a(0,1),b(,),c(,),xaybzc(1,1)则x2y2z2的最小2222值为()43A1BCD232解：由xaybzc(1,1)得333yz1(yz)1222，　yzyzxx11222()()yz22yz由于x2y2z2x2，可以用换元法的思想，看成关于x，y+z，y-z三个22yz变量，变形3，代入yz2(x1)3/82824x22(x1)23x24x3(x)2，答案B3333(8)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦，O为坐标原点，且OFA135，C为抛物线准线与x轴的交点，则ACB的正切值为()424222A22BCD533解法一：焦点F（1，0），C（-1，0），AB方程y=x–1，与抛物线方程y2=4x联立，解得AB2222)，2222)，于是222222kkCACBkkCA=，CB=-，tanACB22，答案A2222221kkCACB解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD中，∠BAD=45°，EF∥DA，EF=2，AF=AD，BF=BC，求∠AEB。GDAEFCBDEGF2tanAEFtanEAD。类似的，有ADAF22tanBEFtanEBC，AEBAEFBEF2AEF，2tanAEBtan2AEF22，答案A4/8DFBD解：SSzS，SS(1x)S，BDFDEBDEBDEBDEABABEABEAESSyS，于是S(1x)yzS2(1。将x)yzABEACABCABCBDFABCx1yzx11，变形为yzx，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须yz，于21116是S(1x)(x1)2，解这个一元函数的极值问题，x时取极大值。BDF2327(10)将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（）A存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形B存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形C存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形D任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形解：我们先 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形。如图，假设ΔABC是锐角三角形，我们证明另一个三角形ΔDEF(不妨设在AC的另一边)的(其中的边EF有可能与AC重合)的∠D一定是钝角。事实上，∠D≥∠ADC，而四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC=180°-∠B，所以∠D为钝角。这样就排除了B，C。AEBDFC下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形。ABDC假设ΔABC中∠B是钝角，在AC的另一侧一定还有其他顶点，我们就找在AC的另一侧的相邻(指有公共边AC)ΔACD，则∠D=180°-∠B是锐角，这时如果或是钝角，我们用同样的方法继续找下去，则最后可以找到一个锐角三角形。所以答案是D。二、解答题5/8tanABtan解：（I）tanCABtan()，整理得tanABtan1tanABCABCtantantantantan（II）由已知3tanACABCtantantantan，与（I）比较知tanBB3，=。又311224sin2ACsin24，，2sinACB2sin2sinsin23sin2ACsin233sin(ACAC)cos()13，而sin(ACB)sin，cos2(ACAC)cos2()321cos2(ACB)cos2，代入得2cos2(ACAC)13cos()，21AC64cos2(ACAC)3cos()10，cos(AC)1，，cos1，424（12）已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）。质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。（I）若b=3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值；（II）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？解：不妨设水杯高为1。（I）这时，水杯质量：水的质量=2：3。水杯的重心位置（我们用位置指到水杯底面的距离）1123117为，水的重心位置为，所以装入半杯水的水杯的重心位置为24242320(II)当装入水后的水杯的重心最低时，重心恰好位于水面上。设装x克水。这时，水杯质量：水的1xaxxxx质量=a：x。水杯的重心位置为，水的重心位置为，水面位置为，于是22b，2bbaxb解得xa2aba21x21（13）已知函数f(x)，f(1)1，f()。令x，xf()x。axb23112nn(I)求数列{}xn的通项公式；6/81(II)证明xxx。12n12e122x解：由f(1)1，f()得ab1，f(x)213x12482n1(I)先求出x，x，x，x，猜想x。用数学归纳法证明。当n=1显12233549n21n12k12x2k然成立；假设显然成立，即，则k，得证。n=kxkk1xkk1f()xk21xk1211(II)我们证明2e。事实上，x1x2xn11111。我们注意到2(1)(1)(1n)x1x2xn1242n12a(1a)22，，12na(1a)，于是112n12112n112n2(1n)2(1n)2(1n)2ex1x2xn1222xy22（14）已知双曲线C:1(a0,b0),F,F分别为C的左右焦点。P为C右支上一点，且使ab2212FPF=,又FPF的面积为33a2。12312（I）求C的离心率e；(II)设A为C的左顶点，Q为第一象限内C上的任意一点，问是否存在常数λ（λ>0）,使得QF22AQAF恒成立。若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。PFExP2aF2F12c2解：如图，利用双曲线的定义，将原题转化为：在ΔPF1F2中，2cFPF=，F的PF面积为33，E为aPF1上一点，PE=PF2，EF1=2a，F1F2=2c，求。12312a3设PE=PF2=EF2=x，FF2=x，27/8113SPFFF(x2a)x33a2，x224ax12a0，xa2。F12PF212222cΔEF1F2为等腰三角形，EFF，于是2ca23，e3。123a(II)（15）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率。（I）求p1，p2，p3，p4；(II)探究数列{pn}的递推公式，并给出证明；(III)讨论数列{pn}的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。8/8