1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第一课时用空间向量研究距离问题一、点到直线的距离1.向量的数量积2.投影向量复习回顾3.空间两点之间的距离复习引入思考：我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等.如何用空间向量解决这些距离问题呢？AQPul探究一点到直线的距离公式的向量表示例1在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离.一、点到直线的距离解连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，O1(0,0,2)，C(0,3,0)，【悟】向量法求点线距的一般步骤一、点到直线的距离解 如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，一、点到直线的距离【练1】如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,若已知AB＝3,AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离.则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)，思考：如何求两条平行直线之间的距离？转化为点到直线的距离.点到直线的距离公式的向量表示二、点到平面的距离与直线到平面的距离nα探究二AP如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，求点P到平面α的距离.QlABCDA1B1C1D1EF例6如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离.ABCDA1B1C1D1EFxzy（1）取直线AC1的单位方向向量为点B到直线AC1的距离为分析：建系求点求出向量套用公式例6如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离.ABCDA1B1C1D1EFxzy例6如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离.【悟】向量法求点面距离的步骤二、点到平面的距离与直线到平面的距离(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离.ABCDA1B1C1D1EFxzy例6如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.直线和平面间的距离：如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.l两个平行平面之间的距离如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.(3)求平面B1FC到平面AEC1的距离.1、直线l外一点P到直线l的距离2、平面α外一点到平面α的距离3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”课堂小结课本35页第2题如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.(1)求点A1到直线B1F的距离；(2)求直线FC1到直线AE的距离；(3)求点A1到平面AB1E的距离；(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.解:课本35页第3题三、异面直线间的距离b/三、异面直线间的距离两条异面直线a,b,作b′//b,且b′∩a=O,b′与确定一个平面ɑ，b//平面ɑ，则直线b到平面ɑ的距离就是两条异面直线a,b间的距离。异面直线间的距离法（一）baO转化为点到平面的距离.例5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，O是AC1与A1C的交点，求异面直线A1B1与BO间的距离.AO解（法一）连结BC1,建立如图所示的空间直角坐标系，设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，1)，三、异面直线间的距离O
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