张爱民《自动控制原理》课后习题

1．1解：（1）机器人踢足球：开环系统输入量：足球位置输出量：机器人的动作（2）人的体温控制系统：闭环系统输入量：正常的体温输出量：经调节后的体温（3）微波炉做饭：开环系统：输入量：设定的加热时间输出量：实际加热的时间（4）空调制冷：闭环系统输入量：设定的温度输出量：实际的温度1．2解：开环系统：优点：结构简单，成本低廉；增益较大；对输入信号的变化响应灵敏；只要被控对象稳定，系统就能稳定工作。缺点：控制精度低，抗扰动能力弱闭环控制优点：控制精度高，有效抑制了被反馈包围的前向通道的扰动对系统输出量的影响；利用负反馈减小系统误差，减小被控对象参数对输出量的影响。缺点：结构复杂，降低了开环系统的增益，且需考虑稳定性问题。1.3解：自动控制系统分两种类型：开环控制系统和闭环控制系统。开环控制系统的特点是：控制器与被控对象之间只有顺向作用而无反向联系，系统的被控变量对控制作用没有任何影响。系统的控制精度完全取决于所用元器件的精度和特性调整的准确度。只要被控对象稳定，系统就能稳定地工作。闭环控制系统的特点：（1）闭环控制系统是利用负反馈的作用来减小系统误差的（2）闭环控制系统能够有效地抑制被反馈通道保卫的前向通道中各种扰动对系统输出量的影响。（3）闭环控制系统可以减小被控对象的参数变化对输出量的影响。1.4解输入量：给定毫伏信号被控量：炉温被控对象：加热器（电炉）控制器：电压放大器和功率放大器系统原理方块图如下所示：工作原理：在正常情况下，炉温等于期望值时，热电偶的输出电压等于给定电压，此时偏差信号为零，电动机不动，调压器的滑动触点停留在某个合适的位置上。此时，炉子散失的热量正好等于从加热器获取的热量，形成稳定的热平衡状态，温度保持恒定。当炉温由于某种原因突然下降时，热电偶的输出电压下降，与给定电压比较后形成正偏差信号，该偏差信号经过电压放大器、功率放大器放大后，作为电动机的控制电压加到电动机上，电动机带动滑线变阻器的触头使输出电压升高，则炉温回升，直至达到期望值。当炉温高于期望值时，调节过程相反。1.5解不正确。引入反馈后，形成闭环控制系统，输出信号被反馈到系统输入端，与参考输入比较后形成偏差信号，控制器再按照偏差信号的大小对被控对象进行控制。在这个过程中，由于控制系统的惯性，可能引起超调，造成系统的等幅振荡或增幅振荡，使系统变得不稳定。所以引入反馈之后回带来系统稳定性的问题。1.6解：对自动控制系统的基本要求是：稳定性、快速性和准确性。增大系统增益使得闭环控制系统的调整时间减小，提高系统的快速性。2.1解对质量m的受力分析如下图所示：由牛顿第二定律得：22()()dztdytkztfmdtdt同时()()()ztytxt综合上述两式得其微分方程为222()()()()dztdztdxtmfkztmdtdtdt2设输入量输出量及其各阶导数的初始值均为零，对上式进行拉氏变换得式22()()()()msZsfsZskZsmsXs故其传递函数为22()()()ZsmsGsXsmsfsk2.2解受力分析得：对于M有：Mgsin=ML22dtdF=Mgcos对于m有：Fsin-xk2-xk2=m22dtxd整理后得：22dtd=Lgsin22dtxd=mMgcossin-mkx削去的系统的微分方程：x+mkx-mML=0对上式做拉普拉斯变换后整理得系统的传递函数为:G(s)=)()(sXs=22MLskms2.3解（a）电气系统（b）机械系统证：（a）由电路可得：221221211121221111()()111()()11oiRRRuCSCSCSuRRRRCSCSCSCSRCSRCS111121212112221212112212()()RRCCSRCRCSRRCCSRCRCRCS11则其微分方程为：2212121122121212112222()(ooioidudududu)iRRCCRCRCRCuRRCCRCRCudtdtdtdt(b)取A、B两点进行受力分析，列出方程得：221()(()iooiodxxdxxfkxxfdtdt)（1）1()odxx1fkxdt（2）由（1）式、（2）式得2222ioiodxdx1ffkxkxdtdtkx（3）得11(1)(3)kf2212111221121212211222()()ooioidxdxdxdxifffkfkfkkkxfffkfkkdtdtdtdtkx经比较，电气系统（a）与机械系统（b）的微分方程具有相同的形式，故两个系统为相似系统。2.4解传递函数212121212111oUcscUiccccLssLcscs微分方程2121212()ooiduccuccLcudt2.5解由电路得：21111iuuRRCSRCS（1）34ouuRR（2）综合（1）、（2）式，消去变量u，可得其传递函数为：1242413()oiuRRRCSRRGsuRR进而得其微分方程为2424313iioduRRCRRuuRdtRR2.6解对系统中各个部分建立相应的微分方程如下：u=Ri+Lccccdtdicu12=u=k1i=Ri+Lqcqqqdtdiqu34=u=(Ra+Rd)id+(La+Ld)ddtdidu=Rdid+LdadtdidTm22dtd+dtd=k1ua对上面各式拉氏变换并整理得到：)(s)Ts(1)()()sL+R()()()sL(L+)R(R)()(sL+R)()(sL+R1)(m1aadada2qq1ccsUkssIsUsIksIsIksIsUsIadaqdcqcc对上式削去中间变量得到系统的传递函数为：G（s）=)()(sUsc)sL+)(RsL+)s](RL(L+)R[(Rs)Ts(1)sL+R(ccqqdadamaa221kk2.7解1i2icubeLkxkfER由图示及题中条件得：11221022202()()()()()()()()()()()()()2()cccbbetRitutdutititcdtditutetLdtdxetkdtFkitdxtdxtFkxtfMdtdt对上式进行拉式变换得：1122102220()()()()()()()()()()()()2()()(CCCbbESRISUSISISCSUSUSESLSISESkSXSFkISFkXSfSXSMSXS)则通过消去中间变量得传递函数如下：2222211()()()2kXSGSESRCLSLSRMSfSkkRCkSkS2.8解由题意得：121222()()()()()()()()()()()()()ioefefffomfttkutditkutitRLdtNttNMtkitdtdtJfMdtdtt其中为磁控式电动机转矩系数，令初始条件为零，作拉氏变换得：mk12122()()()()()()()()()()()()()ioeeffffomfSSkUSkUSISRLISSNSSNMSkISJSSfSSMS解得：12221221()()()()()omimfSkkkNGSSkkkNNJSfSLSRf2.9解由图示得电路的微分方程如下：1C2Ru1R+1i2iiuou+_+_2Cii112112222()()()[()()]()()()()()iooututitRiiidututcidtitRutdutcitdtt作拉氏变换得：112112222()()()()()()()()()()()()()iooUSUSISRISISISCSUSUSISISRUSCSUSIS则初始方块图如下：2CS11R()ius2R11CS()ous由梅森公式得其传递函数如下：22212121121()US()()1OiCRSGSUSCCRRSCRSCRS2.10解行简化得：对方块图进1G2G3G4G1H2H()Ns()Ys()Rs1G2G3G1H()Ns()Ys()Rs14GG22HG3G1H()Ns()Ys()Rs14GG22HG12GG122HHG()Ys()Rs14GG123GGG223HGG1221HHG()Ns112HGG()Ys()Rs1221HHG223()1NsHGG11211HGG12314GGGGG23211HGG()Ys1221HHG14123112223(1)(1)GGGGGHGGHGG122223()(1)1NsHHGHGG223()1NsHGG()Rs由梅森公式得1412322311212314121241122231121231412124()11()()(11GGGGGRSHGGHGGGGGGGHHGGGHGGNSYSHGGHGGGGGGGHHGGG式)（1）当()NS为零时可得传递函数为：141232231121231412124()1GGGGGGSHGGHGGGGGGGHHGGG（2）由（1式）得当0时，输出Y（S）不受干扰N（S）的影响。1121HGG2.11解（a）（1）方块图化简如下所示：()Rs()Ys1G2G2H1H()Rs()Ys1G2G1H12HH()Rs()Ys12HH12111GGHG从而可得其传递函数为：12111212()1GGGSGHGGHH(2)其信号流图如下所示：()Ys()Rs1G2G1H2H11系统信号流图中共有2个回路。增益分别为11LGH12121LGGHH22)，无两两不接触回路。所以信号的特征式。111(GH121GGHH系统有1条前向通路，增益为11PGG2，回路均与此前向通路接触，故，从而可得其传递函数为111112111212()1PGGGSGHGGHH（b）（1）方块图化简如下所示：()Rs()Ys1G2G2H1H()Rs()Ys1G2G12HH2H12HH12221GGHG()Rs()Ys从而可得其传递函数为：12221212()1GGGSGHGGHH（2）其信号流图如下所示：()Ys1G2G1H2H11()Rs与a原理相同可得其传递函数为：1112221212()1PGGGSGHGGHH（c）（1）方块图化简如下所示：()Rs()Ys1G2G3G3H2H1H()Rs()Ys1G2G3G3H1H212HGG()Ys()Rs1231133(1)(1)GGGHGHG213HGG从而可得其传递函数为：1231122331313()1GGGGSHGHGHGHHGG（2）其信号流图如下所示：()Rs()Ys1G2G3G2H1H3H与a原理相同可得其传递函数为：123111122331313()1GGGPGSHGHGHGHHGG2.12解速度控制系统的方框图为：该系统的微分方程为''imggidudTKKuKdtdt'ccM当cM=0时，传递函数为''1ggiMKsKUTS2．13解：例2.4.1中的方块图如下所示：SCRR111121RLSSC212R)(2SU)(SUi)(1SU)(SUO)(2SU其对应的信号流图为：)(SUi)(SUO1G2G3G2H1H1其中1G21RLSSCG22123RGSCRRH1111112H由梅森公式得：2211131211)()()(HGGHGGGGGSUSUSGIO=)11)(1(1)1)(1(21112222SCSCRRRLSRSCRLS=1)()(1)(2221112222113211221122121SCRCRCRSLCRCCRLSCCRSCRCRSCCRR2.14解()Rs()Ys1G2G3G4G5G1H2H3H()Ps系统对应的信号流图如下所示：1G2G3G4G5G()Rs2H3H()Ys1H1()Ps由梅森公式得123415121232123431533412135212123212343()1(1)()()(11GGGGGGRSGGHGGHGGGGHGGHGGGGHGGHPSYSGGHGGHGGGGH式)（1）当为零时可得传递函数为：()NS12341512123212343153()()()1GGGGGGYSGSRSGGHGGHGGGGHGGH（2）由（1式）得当时，输出Y（S）不受干扰P（S）的影响，此时可得34121352(1)0GGGGHGGH412152)GGGHGH(12.15解()Rs1k11()Gs2()Gs2()Hs1()Hs3()Hs11s()Ys系统信号流图有4个回路，增益如下：131()()LHSGS2212()()()LHSGSGS3112()()()LHSGSGS412()()kLGSGSS无两两不接触回路，系统有1个前向通路，其增益为112()()kPGSGSS。所有回路均与接触，所以。从而可得其传递函数为：1P1111()()()PYSGSRS121231212112()()()()[1()()()()()()()()]kGSGSkGSGSSHSGSHSGSGSHSGSGS2.17解(a)方块图为：21S)(SYS3)(SU其传递函数为：11)2(31)2(321)()()(SSSSSSSUSYSG其信号流图为：)(SU)(SY11S11x1x11其状态方程为：uxx111xy（b）csacsa1U2U1Y2Y+-+-由框图得其传递函数为：22221221)()()(UCaSCUCaSCaSY22212222)()()(UCaSCaSUCaSCY故可得其状态方程为：)(02221caxxa2111220011xUUx1212,xyacccx1222,xyacccx综合得：)(02221caxx2121101021UUxxa2221caccacyy21xxcc（c）)(SU41s32sss13x2x1x)(SY由方块图得信号流图：)(SY)(SU1s1s1s1x1x2x2x3x3x故321125xxxx32223xxxUxx33413yxx其状态方程为：Uxxxxxx100400230125321321y=1231,0,1xxx2．19解：状态空间的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式为：121104310Uxxx210,10xxy（1）得其信号流图为：UY1s1s2x2x1x1x故其传递函数为：341034110)(2212SSSSSsG(2)用矩阵法得出的传递函数为：3410104310,10)1()(211SSSSSSBASIsG2．21解：（1）其传递函数：)(3)2()2(33)(3)2()2()()(22321232SUkSakaSkaSkkSkSSUkSakaSkaSkskaSSY故可得信号流图：2x2x1x1x+)(1SU)(2SU)(SY11k3k1111s1s1s1s1s1s11-3k-(2a+ak)-(a+k+2)3x3x1x1x2x2x3x3x-3k-(2a+ak)-(a+k+2)1a-kk3k++故可得：21xx32xx)()()2()2(3213213sUsUxkaxakakxx32131321)1()2(43)(xkxkakxkxkxxxkakxy故其状态方程为：)(100)(100)2()2(310001021321321SUSUxxxkaakakxxx3211,2,4xxxkkaky（2）用矩阵法得：1()(1)GSSIAB4,2,1kakk1000100000010003(2)(2)1SSSkaakak3.1答：该系统不存在，任何一阶系统的单位阶跃响应都不能超过1。3.2解：假设系统的初始条件为零，则系统的传递函数为()10()()0.51YssRss（1）单位脉冲响应输入信号为单位脉冲信号()()rtt，其拉氏变换为()1Rs，则系统的输出为10()0.51Yss则系统的单位脉冲响应函数为：2()20,0tytet（2）单位阶跃响应输入信号为单位阶跃信号，其拉氏变换为()1()rtt1()Rss则系统的输入为10()(0.51)Ysss则系统的单位阶跃响应函数为：2()1010,0tytet（3）单位斜坡响应输入信号为单位斜坡信号，其拉氏变换为()rtt21()Rss则系统的输出为210()(0.51)Ysss则系统的单位斜坡响应函数为：2()105(1),0tyttet3.3解：（1）输入信号的拉氏变换为211()Rsss，输出为2111()0.80.85Yssss则系统的闭环传递函数为：()5()()5YssRss开环传递函数为：5()Gss（2）系统的单位阶跃响应为：5()()()(5)YssRsss，则0.2T系统的上升时间为：2.1970.4394rtT调整时间为：0.8,20.6,5st超调量不存在。3.4解证明：当初始条件为零时，有()1()1YssRsTs单位阶跃输入信号为1()Rss所以，系统的输出为1111()()()11ssYsRsTsTsssTs1T1()[()]1tTTytLYseT根据定义，（1）当[3ln]sTtTT(0.693ln)dTtTT所以(2)求（即一y（t）从0.10.9时所需的时间）rt当22()10.9[ln()ln0.1]tTTTytetTTT时，有当11()10.1[ln()ln0.9]tTTTytetTTT时，有则210.9ln2.20.1rtttTT（3）求调整时间st假设误差宽度=5，则有()10.95stTsTyteT解得[3ln]sTtTT3.5解：由方框图，可以求得系统的闭环传递函数为：100()100ss（1）若0.1，则系统闭环传递函数为：100()10ss则T=0.1，调整时间0.4,20.3,5st（2）时间常数1100T，若要求0.1sts，则0.4,20.3,5（3）反馈系数使得系统的时间常数减小了，从而使系统的调整时间也减小，但却使得系统的闭环增益也减小了。3.6解：系统的闭环传递函数为：2()16()1()41kkGssGsss6，则4,0.5n单位阶跃响应，系统的输出为：2116()416Yssss系统的响应函数为：223()1sin(2360),03tytett单位脉冲响应，系统的输出为：216()416Ysss系统的响应函数为：283()sin(23)3tytet3．7解：（1）2120()12120sss得：12010.95n60.5512020.3431pnt40.66730.5nsnt5221%100%12.7%e（2）228116()38.44862.816sssss得：164n0.3520.841pnt42.85732.143nsnt5221%100%30.9%e3.8解：系统的传递函数2()()()YsksRssasbk,,2nabkbk由图可知tp=0.3，，()2.5y2.72.5%100%8%2.5，22120.31%100%8%11()lim()lim()2.5ntsotpekyytssasbksb解得，b=0.4，a=16.8，k=451.13.9解：（1）引入速度反馈前：122212100()5100kksTsskkss，10,0.25n21%100%44.45%e，41.6,......231.2,......5nnstss引入速度反馈后：1222212100(),10,0.5(1)10100nvkksTskskkss21100%16.13%vve40.8,........230.6,........5vnvnts（2）临界阻尼时，1v，解得63.10略3.11解：由系统框图可得系统传递函数为：)1()(1)1()()(2121TssKSKTssKsKs=)()1()(1212sKKTsssKK=100102)20(5sss221010)20(100sss=201与标准型进行对比可得：10n5.0z=20arctannnz21=6r=zn=0.25l=222nnzz=103故：%1002%21)(22err=11.0%T=s557.01)3(277.01)4(szllszllnnnn3.12解：)(s121481223sss=)1)(1)(6(12jsjss系统有三个极点：P=-12,1jP=-63由于：]REAL[PP213、=6>5所以系统的主导极点为：P=-1j22(22)(1))(s6sss=2(22ss2)所以：2n2/1故：%100%21e=4.3%TS=533244ssnn3.13解：（1）01222197234ssss劳斯阵列如下：4321011812722010412071700001041200sssss第一列全为正数，稳定特征根全在左半平面（2）0356322345sssss54322013260()3.50673032124.5006730ssssss5300760765.242132第一列符号变化两次，故有两个特征根在右半平面，系统不稳定（3）012141035234ssss432105101314100120315.08001200sssss2000有两个根在右半平面，系统不稳定（4）03042734sss43210103742063007003000sssss有两根在右半平面，系统不稳定（5）01222181362345sssss5432101132261812102006120000ssssss1s出现全零行，则用系数构造辅助方程：2s2612s。对其求导，得：12。则：0s210612012001200sss系统有两个共轭虚根，系统临界稳定（6）54327642856sssss0054321016874256000ssssss3s出现全零行，则用系数构造辅助方程：4s4274256ss。对其求导，得：，两边同除以28得3840ss28330ss。则3210132156010035600ssss000系统有两个共轭虚根，系统临界稳定3.14解（1）特征方程为43222sssk劳斯阵列如下4s12k3s202s2k1s-k0sk由劳斯稳定判据，无论k取何值，系统都是不稳定的（2）特征方程为432817(10)4sssksk，由劳斯稳定判据知系统稳定的k值范围为0<k<1263．15解：G(s)=ksssssk)256)(4)(2()2(2特征方程：02001986912234kssss劳斯阵列如下：432016920012198052.520607995120052.520000sksskkssk要使系统稳定：200＋k>0且799512052.5k得出：－200<k<666.25当k=666.25时，系统临界稳定，系统响应持续振荡，频率)(ty872.2516.54/52.5nrads3.16解没加速度反馈之前，系统的特征方程为323731sss0，可以看出系统是稳定的。加了速度反馈后，系统的特征方程为323(73)(3)1sss0利用劳斯稳定判据可知，只有当>1083(-1.6)时系统是稳定的。综合可知，加入速度反馈后使系统的稳定性变差，只有当取合适的值才能使系统稳定。3．17解：skkdp)2(1ss)(sR)(sY传递函数：pdpdksksksks)2()(2特征方程：011.2)2(22sskskspd令，则特征方程为1zs20.10.10zz1的稳定裕度。系统特征方程系数不全为正，可知系统不稳定，故系统没有3.18解系统是型系统，所以当输入为单位1（t），t，22t时，稳态误差为0，1/k,.当输入为时，稳态误差为21()/2ttt.3．19证明：由)(s的系统开环传递函数：)(1)()(SSSG)](1[1)(2SGSSE故111011000110()111lim()limlim1()nnmnnmssnnsssnnasasasabsbsbesEssGSSasasasa00111100112121110)()()(limasasasasbabasbsbsasasannnnmmnnnns要想使sse=0，只有使11ba00ba3.20解（1）当R(s)=0时，42320013134(1).()..()1()(1)limlimsssskDssesEsskkskkkkkksss，()/LTsDs22134(1)().1((1)kDssYskskkksss)稳态误差42320013134(1).()..()1()(1)limlimsssskDssesEsskkskkkkkksss（2）当,LR(s)=1/s,T()0s0)1()(11.1.lim)(lim432100ssskkkkssssEessss3．21解：)(SY2G1G)(sR)(sH)(sN（a）恒值调节系统)(sE)(SY2G1G)(sR)(sH)(sN-+-3G（b）加入积分环节)(SY2G1G)(sR)(sH)(sN---4G)(sE（c）采用前馈控制由劳斯判据得该系统的稳定：200012()()0.5(0.051)1lim()lim()lim1()()()(0.21)(0.051)40820.01220.01sssssGSHSsesEssNSGSGSHSss(1)当串入积分环节sksG)(3后：2000123()()0.5(0.051)lim()lim()lim01()()()()(0.051)(0.21)40ssnsssGSHSssesEssNSGSGSGSHSsssk其特征方程为：040001002523ksss由劳斯判据得：0<k<85（2）当采用符合前反馈时：1424000211()()()()0.5(0.051)401lim()lim()lim1()()()(0.051)(0.21)40ssnsssGSGSGSHSsGesEssGsGsHsSss要使ssne=0，只有使40.0510.5(0.051)/4080sGs3.22解（1）)1())1(11)1(11())()(.(23113122131200limlimkkkAsTskksTksTskksAssEsEseeesnrsssnssrss（2）)1())1(11)1(1)1)(1(1())()(.(21311312213121200limlimkkkkkAsTskksTksTskksTssskksAssEsEseeeddsnrsssnssrss所以，当=0，211kkkd121kkkd时，=0。sse3．23证明：一个型系统的开环传递函数可写为：0()()kkGsGss的形式：则：01110000()111limlimlim()1()1()sssssRssesEssaaakGssssGss＝0)(lim)()111(lim011100121010skGssasasaskGssasasassos3.24程序：wn=1;zeta=[0,0.3,0.7,1,2];figure(1);holdon;fori=zetanum=wn^2den=[1,2*i*wn,wn^2]step(num,den)end运行结果：4.2解：（1）渐近线与实轴的夹角为：,,33渐近线与实轴的交点为：1212233jj（2）离开复极点的出射角为：()(pkkjkj)pzpp1212,12pjpj，1(arctan2)26.62p，02126.6pp（3）闭环特征方程为：，其劳斯阵列为3225gsssk03s152s2gk1s102gk0sgk令行为0，得1sgk=10，得两个虚根为5j4.3G(s)=k32)2(2ssskg,k0g零极点分布图：根轨迹图：(1)令N(s)=s+2,D(s)=s2+2s+3代入N’(s)D(s)-N(s)D’(s)=0得：s0142ss1-0.27,s-3.732实轴上根轨迹区间是：（-，-2所以，s=-2-3=-3.73为会合点（舍去s=-3.73）会合点处的根轨迹增益：K=-gd)(')('sNsDds=5.46(2)1p=180+(-P1+Z1)-(-P1+P)=180+54.7-90=144.72由对称性可知2p=-1p=-144.7(3)方法一：利用圆的数学表达式根轨迹方程为1+G(s)=0，即：sk0)23()2(2ggKsK所以：s=248)2(2gggKKK(*)设s=x+jy，由(*)可得：4482222gggKKyKx由上式得：(x+2)+y=322所以，不在负实轴上的根轨迹是圆周上的一部分。方法二：利用根轨迹的相角条件设s=x+jy根据根轨迹的相角条件：mjniijkkpszs11,2,1,0,)12()()(得到：tan12xy-[(tan112xy)+(tan112xy)]=化简得：(x+2)+y=322所以，不在负实轴上的根轨迹是圆周上的一部分。4.4解：（1）系统的开环极点为，开环零点为-1，由规则知实轴上的根轨迹区域为2j(1,)（2）令N(s)=s+1,D(s)=245ss则由，得''()()()()0NsDsNSDs2210ss，解得12(),1舍2所以，根轨迹与实轴的交点为12（3）复极点：2j出射角为：45°，-45°4.5G(s)=k)6)(3)(1(sssKg,-gK由G(s)得出系统的三个开环极点为：ks1=-1,s=-3,s=-623I当时，根据180等相角根轨迹规则，有：gK0(1)实轴上的根轨迹区域为：（-,-6][-3,-1](2)渐近线与实轴的交点：-=mnZPii=03631=310角度为：=mnk)12(=2k60-1k1800k60(3)分离点：N(s)=1,D(s)=(s+1)(s+3)(s+6)代入N’(s)D(s)-N(s)D’(s)=0得：3s027202ss1-1.88,s-4.792因为：实轴上的根轨迹区域为：（-,-6][-3,-1]所以，s1=-1.88是分离点（舍去s=-4.79）(4)分离点处的根轨迹增益值为：Kgd=)()(sNsDds=4.06II当时，根据0等相角根轨迹规则，有：0gK(1)实轴上的根轨迹区域为：[-6,-3][-1,+)(2)渐近线与实轴的交点：-=mnZPii=03631=310角度为：=mnk2=2k120-1k1200k0(3)分离点：N(s)=1,D(s)=(s+1)(s+3)(s+6)代入N’(s)D(s)-N(s)D’(s)=0得：3s027202ss1-1.88,s-4.792因为：实轴上的根轨迹区域为：[-6,-3][-1,+)所以，s1=-4.79是分离点(舍去s=-1.88)(4)分离点处的根轨迹增益值为：Kgd=)()(sNsDds=-8.214.7解：1.2()(1)gkkGsss0gk（1）开环极点为0，-1，-1（2）渐近线有三条，倾角60，180，-60，与实轴的交点-2/3（3）实轴上的分离点为-1/3（4）出射角180，0，-180（5）与虚轴交点j0gk（1）实轴上的根轨迹为(1,)（2）渐近线倾角为120，-120，0，与实轴的交点-2/3（3）分离点为-1/3（4）出射角0，0，1802.2()(22)(2gkkGssss)0gk（1）极点：-2，-1+j，-1-j（2）渐近线倾角：60，180，-60；与实轴的交点：-4/3（3）根轨迹与虚轴的交点为：6j（4）出射角：45，180，-450gk（1）实轴上的根轨迹区为(2,)（2）渐近线倾角为120，0，-120；与实轴的交点为：-4/3（3）出射角为135，0，-1353.(5)()(1)(4)gkksGssss0gk时（1）极点0，-1，-4，零点-5，交点0（2）渐近线倾角90，-90（3）分离点-0.5（4）出射角180，0，1800gk（1）实轴上的根轨迹为(,5)(4,1)(0,)（2）渐近线倾角0，，与实轴的交点为0（3）出射角0，180，0（4）分离会合点-3.26，-6.264.22(48()(4)gkkssGsss)0gk（1）极点0，0，-4，零点-2-2j，-2-2j（2）渐近线1条，倾角180°（3）出射角90°，-90°，180°，入射角-45，450gk（1）实轴上的跟轨迹区域为4,（2）分离（会合）点：0，-2.4163(3)出射角0，180，0，入射角35,445.22(2.5)()(22)(45gkksGsssss)0gk0gk（1）极点1j，2j，零点-2.5（2）渐近线倾角60，180，60，交点-7/6（3）分离会合点-3（4）出射角60，-60，143，-143，入射角180与虚轴的交点2.5j0gk（1）实轴上的根轨迹为2.5,（2）渐近线为0，120，-120（3）分离点为-1.13（4）出射角为120，-120，36.87，-36.87，入射角0（5）与虚轴交于0点6.2(1)()(1)(416)gkksGsssss0gk（1）极点0，-1，223j，零点-1（2）渐近线60，180，-60，交点-4/3（3）出射角30，-30，180（4）与虚轴的交点4j，00gk（1）实轴上的根轨迹区域为0,(2)渐近线倾角为0，120，-120，交点-4/3（3）出射角为0，210，-210入射角0（4）与虚轴交点为04.9令)2(assas=-1则：s(2s+1)=a(s-1)所以：11)s(2s1)-a(s-整理得：1)21s(s1)-(s2a-(a)0令K’=g2a-(K’为等效根轨迹增益)g所以，等效开环传递函数为：G’(s)=)21s(s1)-(s'gK，0'gK(1)等效开环零点：-ze=1等效开环极点：-pe1=0,-pe2=21(2)实轴上的根轨迹区域为：[21,-0][1,+)(3)渐近线：-=mnZPii=23角度为：=0(4)分离点和会合点：N(s)=s-1,D(s)=)21s(s代入N’(s)D(s)-N(s)D’(s)=0得：s1=262,s2=262所以，s1=262是会合点，s=2262是分离点。(5)与虚轴的交点及其增益：将s=j代入：1)21(jj1)-(jK'g得出：2221K'1g所以根轨迹与虚轴交于s=22j，此时的等效根轨迹增益为21K'g，即a=1又因为a，根据根轨迹的定义及其与稳定性的关系，可得：使系统处于稳定的参数a的范围为：00a14.13（1）已知系统的开环传递函数为：2(4)()22gkkssGsss默认0gk1.该系统根轨迹有两条，起点分别是1j，1j，终点分别为-4，0。2.实轴上的根轨迹：4,0。3.分离会合点：()(4)Nsss2()22Dsss由得''()()()()0NsDsNsDs224ss0解得：115s（舍去）215s为根轨迹的分离会合点。4.入射角为0和180出射角1243op2243op系统根轨迹如下所示：（2）方法一：闭环特征方程式为：2(1)(24)20ggksks由特征根相同得：2(24)8(1)0ggkk得：1,2154gk1154gk满足要求。方法二：将21s5代入2(1)(24)20ggksks可求得：1,2154gk其中：1150.314gk，满足要求（3）两个相同的特征根即为其分离会合点为，可得其相同的特征根为：15s＝-1.24（4）当系统有两个相同的特征根时系统为临界阻尼系统，其调整时间为：32.42st543.23st24.14解单位反馈系统得开环函数为(2)()(1)(4)gkksGssss0gk故系统开环极点分别为0,-1,-4，开环零点为-2。设阻尼角为时，该系统的超调量060cotcot60%100%100%16.3%oee设阻尼角为时系统闭环极点为0603j，由相角条件知：00333arctan(120arctanarctan)180241解得1333snt，5444snt，2将1sj3代入幅值条件(2)1(1)(4)gkssss得6gk从而可得lim()32gkkksGs4.17（1）开环传递函数(2)()(1)gkksGsss开环零点是12z则它在实轴上的根轨迹为(,2]和[1,0]令()2Nss()(1)Dsss由式()()()()0dDsdNsNsDsdsds即2(2)(21)(1)420ssssss解得：1220.5858s2223.4142s均为分离（会合）点（2）该闭环函数得特征方程为2(1)(2)(1)20ggssksskskg解得2(1)(1)82gggkksk又有根其实部为-2，即(1)/22gk3gk将3gk代入上式得22sj即该系统得根轨迹增益为3，两复根为22j4.18/(2)(2)()(3)(3)ggkksksGsssss/0ggkk（1）1.系统根轨迹有2支，起点分别为0,-3；终点分别为2和无穷远处。2.实轴上根轨迹为3,0、2,3.分离会合点：()2Nss()(3)Dsss由得''()()()()0NsDsNsDs246ss0解得21s0均满足要求。4.与虚轴交点：将sj代入特征方程式：2(3)20ggsksk得：解得：220(3)0ggkk3gk6根轨迹如下所示：（2）由相角条件：0101010arctan(arctanarctan)0421所以21sj03不在根轨迹上。（3）系统稳定时，根轨迹在左半平面，可知当0gk时，系统稳定。4.19解(1)()(1)(4)0gKgKSGSSSS开环极点1230,1,4PPP开环零点11Z实轴上的根轨迹[-4,-1]U[0,1]渐近线倾角2131k与实轴交点1出射角1234000000pppp求分离汇合点S=0.41132()()()()0340NsDsNsDsSSS与虚轴的交点32332SSSSjw令0求得62gKSj2S在j利用幅值条件(1)(4)261SSSKSSj则增益K的稳定范围为（）6（3）方法(一)过原点且与根轨迹相切的直线为wktank由matlab求得切点为-0.668j2.96077.30.22方法（二）设根轨迹上一点A()w，满足相角条件arctanarctan(arctaarctan)14wwwwn)(1则A点的阻尼角为tanw代入上式两边求导得32(1)tan(1)求导得3226340解得10.658230.929()3.27舍去（舍去）则tan4.4777.4cos0.218最大阻尼小数4.20解1.系统根轨迹有3支，起点分别为0,-1，-5；终止于无穷远处。2.实轴上根轨迹为,5、1,03.渐近线(21),3knm112nmijijpznm4.分离会合点：()1Ns()(1)(5)Dssss由得''()()()()0NsDsNsDs23125ss0解得1623s1为分离会合点。2623s1舍去。5.与虚轴交点：将sj代入特征方程式：3265gsssk0得：解得：325060gk30gk5根轨迹如下所示：（1）由得阻尼角046.36，当46.36cot%100%5%e时，所以可以通过选择gK,满足最大超调%5%的要求。（2）33snt由根轨迹可知st的最小值为min36.350.472st。所以怎样选择gk都无法满足要求。（3）lim()5gkkksGs由上面可知系统临界稳定增益为30gk，从而可得k最大值为6。因此也不能通过选择gk使10vk5.1解：系统的闭环传递函数为：1()2Gss，频率特性为：1()2Gjj其中21()()4AGj，()()arctan()2Gj（1）系统稳态输出为：2()sin[()]sin(2)44sscAXtt系统稳态误差为：231()sin2sin(2)sin2cos24444ssssertctttt（2）系统的输入为：()sin(30)2cos(245)sin(30)2sin(245)rttttt系统的稳态输出为：52sin(3.44)sin252ssctt系统的稳态误差为：52()sin(30)2cos(245)sin(3.44)sin252ssssertctttt5.2解：对系统单位阶跃响应49()11.80.8,0tthtet在零初始状态下进行拉氏变换：11.80.836()49(4)(Csssssss9)由于系统的输入信号为阶跃信号1()Rss故系统的传递函数为()36()()(4)(9)CssRsss所以，系统的幅频特性为2236()()(16)(81)Aj相频特性为()()arctanarctan49j5.3解：系统的闭环传递函数为：222()2nnnGsss系统的频率特性位：222()2nnnGjj其中222222()()()4nnnAGj，222()arctannn则2222222(1)2,(1)arctan14(1)4nnnnnA，解得0.22,1.24n5.4（1）15010()1(21)(5)(21)(1)5Gsssss典型环节为12311()10,(),()12115GsGsGsss基准点：K=10，20lg20KdB环节转折频率转折后斜率累积斜率10121s0.5-20-201115s5-20-40（3）2340(1)()(21)(0.21)(0.051)ssGsssss