PAGEPAGE13综合测评(满分:100分;时间:90分钟)一、单项选择
题
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(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.直线x+3y-1=0的倾斜角为( )A.π3B.π6C.2π3D.5π62.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,C上的点到左焦点F1的距离的最大值为6,过F1的直线交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,则椭圆C的方程为( )A.x216+y212=1B.x216+y24=1C.x212+y24=1D.x24+y22=13.若两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为( )A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)4.已知☉O1:x2+y2-ax=0(a>0)截直线x-y=0所得线段的长度是22,则☉O1与☉O2:(x-4)2+(y-2)2=1的位置关系是( )A.内切B.相离C.外切D.相交5.已知点P为抛物线y=12x2上的动点,点P在x轴上的射影为M,点A的坐标是6,172,则|PA|+|PM|的最小值是( )A.8B.192C.10D.2126.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为( )A.2x-4y-3=0B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=07.已知抛物线C:y2=8x,圆F:(x-2)2+y2=4(点F为其圆心),直线l:y=k(x-2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1,M2,M3,M4四点,则下列各式结果为定值的是( )A.|M1M3|·|M2M4|B.|FM1|·|FM4|C.|M1M2|·|M3M4|D.|FM1|·|M1M2|8.如图,已知F1,F2是椭圆T:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆T上一点,且不与x轴重合,过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线,垂足为Q,则点Q在 上运动.( ) A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是( )A.A1C1∥平面CEFB.B1D⊥平面CEFC.CE=12DA+DD1-DCD.点D与点B1到平面CEF的距离相等10.已知F1、F2是双曲线C:y24-x22=1的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的是( )A.双曲线C的渐近线方程为y=±2xB.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为±2D.△MF1F2的面积为2311.如图,直线l1,l2相交于点O,点P是平面内的任意一点,若x,y分别
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示点P到l1,l2的距离,则称(x,y)为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是( )A.距离坐标为(0,0)的点有1个B.距离坐标为(0,1)的点有2个C.距离坐标为(1,2)的点有4个D.距离坐标为(x,x)的点在一条直线上12.在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=r12和C2:(x-2)2+y2=r22,其中常数r1,r2为正数,满足r1+r2<4,一个动圆P与两圆都相切,则动圆圆心的轨迹可以是( )A.椭圆B.双曲线C.直线D.抛物线三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将
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填在题中横线上)13.若双曲线3x2-y2=m的虚轴长为2,则实数m的值为 . 14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离d的最小值等于 . 15.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点分别为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 . 16.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=4,PA=2,D为AB的中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.当E在AC上时,AE= ,点E的轨迹的长度为 .(本题第一空2分,第二空3分) 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l的斜率为-34,且直线l经过直线kx-y+2k+5=0所过的定点P.(1)求直线l的方程;(2)若直线m平行于直线l,且点P到直线m的距离为3,求直线m的方程.18.(本小题满分12分)已知☉C:x2+y2=16.(1)设点Q(x,y)为☉C上的一个动点,求4x+3y的范围;(2)直线l过点P(3,4),且与☉C交于A、B两点,若|AB|=27,求直线l的方程.19.(本小题满分12分)如图,直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求二面角B-AC-E的正弦值;(3)求点D到平面ACE的距离.20.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=2py(0
b>0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=32,O为坐标原点,圆O:x2+y2=45与直线AB相切.(1)求椭圆E的
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方程;(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1·k2是不是定值?证明你的结论.答案全解全析一、单项选择题1.D 由直线x+3y-1=0得其斜率为k=-33,设直线的倾斜角为θ(θ∈[0,π)),则tanθ=-33,所以θ=5π6,所以直线的倾斜角为5π6,故选D.2.A 设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).依题意得,a+c=6,且4a=16,∴a=4,c=2,∴b2=a2-c2=16-4=12,故选A.3.A 设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则n·AB=0,n·AC=0,即x+2y+3z=0,3x+2y+z=0,令x=-1,则y=2,z=-1,n=(-1,2,-1);令x=1,则y=-2,z=1,则n=(1,-2,1).故选A.4.D ☉O1的标准方程为x-a22+y2=a24(a>0),圆心到直线x-y=0的距离d=a22=a24-(2)2,得a=4,∴O1(2,0),又O2(4,2),∴☉O1与☉O2的圆心距为22,且2-1<22<2+1,即两个圆相交.故选D.5.B 依题意可知,抛物线y=12x2即抛物线x2=2y,焦点为F0,12,准线方程为y=-12,依题意只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可,由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点的距离,此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可,显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小为|FA|,由两点间距离公式得|FA|=62+172-122=10,那么|PA|+|PM|的最小值为|FA|-12=192,故选B.6.D 因为B(-1,0),C(0,2),所以线段BC的中点的坐标为-12,1,线段BC所在直线的斜率kBC=2,则线段BC的垂直平分线的方程为y-1=-12x+12,即2x+4y-3=0,因为AB=AC,所以△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,所以△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.7.C 设M1,M2,M3,M4四点的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,由题意知y2=8x的焦点坐标与圆F的圆心(2,0)相同,准线l0:x=-2.由定义得|M1F|=x1+2,又∵|M1F|=|M1M2|+2,∴|M1M2|=x1,同理,|M3M4|=x4,将y=k(x-2)代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,∴x1x4=4,∴|M1M2|·|M3M4|=4,故选C.8.B 延长F2Q与F1P交于点M,连接OQ.因为PQ是∠F1PF2的外角的平分线所在直线,且PQ⊥F2M,所以在△PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=12|F1M|=12(|PF1|+|PF2|).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点Q在以原点为圆心,a为半径的圆上运动.二、多项选择题9.AC 建立空间直角坐标系,如图所示,设AB=2,平面CEF的法向量为n=(x,y,z).∵E,F分别是A1D1,C1D1的中点,∴EF∥A1C1,又EF⊂平面CEF,A1C1⊄平面CEF,∴A1C1∥平面CEF,故选项A正确;易知C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2),B1(2,2,2),D(0,0,0),∴DB1=(2,2,2),EF=(-1,1,0),CF=(0,-1,2),∴n·EF=0,n·CF=0,即-x+y=0,-y+2z=0,令x=2,则y=2,z=1,∴n=(2,2,1),∵DB1=(2,2,2),∴DB1与n不平行,∴B1D不垂直于平面CEF,故选项B错误;CE=CD+DD1+D1E=CD+DD1+12D1A1=12DA+DD1-DC,故选项C正确;DC=(0,2,0),设点D到平面CEF的距离为d1,则d1=|DC·n||n|=44+4+1=43,B1C=(-2,0,-2),设B1到平面CEF的距离为d2,则d2=|B1C·n||n|=|-4+0-2|3=2≠43,故选项D错误.故选AC.10.ACD 由双曲线方程y24-x22=1知a=2,b=2,焦点在y轴上,渐近线方程为y=±abx=±2x,A正确;c=a2+b2=6,以F1F2为直径的圆的方程是x2+y2=6,B错误;由x2+y2=6,y=2x得x=2,y=2或x=-2,y=-2,由对称性知点M的横坐标是±2,C正确;S△MF1F2=12|F1F2||xM|=12×26×2=23,D正确.故选ACD.11.ABC 对于A,若距离坐标为(0,0),即P到两条直线的距离都为0,P为两直线的交点,即距离坐标为(0,0)的点只有1个,A正确;对于B,若距离坐标为(0,1),即P到直线l1的距离为0,到直线l2的距离为1,P在直线l1上,到直线l2的距离为1,符合条件的点有2个,B正确;对于C,若距离坐标为(1,2),即P到直线l1的距离为1,到直线l2的距离为2,有4个符合条件的点,即与直线l1相距为2的两条平行线和与直线l2相距为1的两条平行线的交点,C正确;对于D,若距离坐标为(x,x),即P到两条直线的距离相等,则距离坐标为(x,x)的点在2条相互垂直的直线上,D错误.故选ABC.12.BC 由题意得,圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2,所以|C1C2|=4,设动圆P的半径为r.当r1+r2<4时,两圆相离,动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切,一个外切.①若均内切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r-r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,当r1≠r2时,点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,当r1=r2时,点P在线段C1C2的垂直平分线上.②若均外切,则|PC1|=r+r1,|PC2|=r+r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,则点P的轨迹与①相同.③若一个外切,一个内切,不妨设与圆C1内切,与圆C2外切,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r+r2,|PC2|-|PC1|=r1+r2.同理,当与圆C2内切,与圆C1外切时,|PC1|-|PC2|=r1+r2.此时点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,与①中双曲线不一样.故选BC.三、填空题13.答案 -3或1解析 因为双曲线3x2-y2=m的虚轴长为2,①当m>0时,双曲线方程可化为x2m3-y2m=1,有m=1,得m=1;②当m<0时,双曲线方程可以化为y2-m-x2-m3=1,有-m3=1,得m=-3.故实数m的值为-3或1.14.答案 5解析 由y=2x,x+y=3解得x=1,y=2,把点(1,2)代入mx+ny+5=0,可得m+2n+5=0,于是m=-5-2n,因此点(m,n)到原点的距离d=m2+n2=(-5-2n)2+n2=5(n+2)2+5≥5,当且仅当n=-2,m=-1时取等号,故点(m,n)到原点的距离d的最小值等于5.15.答案 2解析 由题意不妨设|AB|=3,则|BC|=2.设AB,CD的中点分别为M,N,则在Rt△BMN中,|MN|=2c=2,故|BN|=|BM|2+|MN|2=322+22=52.由双曲线的定义可得2a=|BN|-|BM|=52-32=1,所以双曲线E的离心率e=ca=2.16.答案 2;255解析 建立空间直角坐标系,如图所示.设CB=2m,则P(0,0,2),C(0,4,0),D(m,2,0).当E在AC上时,设E(0,t,0)(0≤t≤4),则DE=(-m,t-2,0),又PC=(0,4,-2),所以由PC⊥DE,可得PC·DE=0,即4(t-2)=0,解得t=2,因此AE=2,此时E为AC的中点,可得E(0,2,0).当E为AC的中点时,作EE'⊥PC于点E',连接DE',由PC⊥DE,PC⊥EE',DE∩EE'=E,得PC⊥平面DEE',所以点E在△PAC内的轨迹为线段EE',因此求出EE'的长度即可.设PE'=λPC=(0,4λ,-2λ),则E'(0,4λ,2-2λ),所以EE'=(0,4λ-2,2-2λ),由EE'⊥PC得,4(4λ-2)-2(2-2λ)=0,解得λ=35,所以E'0,125,45,所以|EE'|=125-22+452=255.四、解答题17.解析 (1)kx-y+2k+5=0整理得k(x+2)+(5-y)=0,所以直线kx-y+2k+5=0过定点P(-2,5),(2分)因此l:y-5=-34(x+2),即3x+4y-14=0.(5分)(2)设直线m的方程为y=-34x+b,b≠72,则3=34×(-2)+5-b916+1,解得b=-14或b=294.(8分)所以直线m的方程为y=-34x-14或y=-34x+294.(10分)18.解析 (1)设4x+3y=t,则直线4x+3y=t与☉C有公共点,(2分)所以圆心到直线的距离d≤4,(4分)即|t|42+32≤4,解得-20≤t≤20.所以4x+3y的范围为[-20,20].(6分)(2)当直线l垂直于x轴时,直线方程为x=3,l与圆的两个交点坐标为(3,7),(3,-7),这两点的距离为27,满足题意;(8分)当直线l不垂直于x轴时,设其方程为y-4=k(x-3),即kx-y-3k+4=0,设圆心到此直线的距离为d(d>0),则27=216-d2,解得d=3,(10分)即|-3k+4|k2+1=3,解得k=724,此时直线方程为7x-24y+75=0.综上所述,所求直线方程为7x-24y+75=0或x=3.(12分)19.解析 (1)证明:因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE.(1分)因为二面角D-AB-E为直二面角,且CB⊥AB,所以CB⊥平面ABE.所以CB⊥AE.(2分)又BF∩CB=B,所以AE⊥平面BCE.(3分)(2)以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.(4分)因为AE⊥面BCE,BE⊂面BCE,所以AE⊥BE.在Rt△AEB中,AB=2,O为AB的中点,所以OE=1.所以A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),则AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),则AE·n=0,AC·n=0,即x+y=0,2y+2z=0,解得y=-x,z=x,令x=1,得n=(1,-1,1)是平面AEC的一个法向量.(7分)又平面BAC的一个法向量为m=(1,0,0),cos=m·n|m||n|=13=33.所以二面角B-AC-E的正弦值为63.(9分)(3)因为AD∥z轴,AD=2,所以AD=(0,0,2),(10分)所以点D到平面ACE的距离d=|AD·n||n|=23=233.(12分)20.解析 (1)将M(2,y0)代入x2=2py(0|=-12×1+1×12×32=26.∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为26.(8分)(3)设PFPB=λ(0<λ<1),PF=λPB=λ(2,-1,-2)=(2λ,-λ,-2λ),AF=AP+PF=(2λ,-λ,-2λ+2),(10分)∵AF∥平面PCD,∴AF·n=0,即-λ-2λ+2=0⇒λ=23.(12分)选择②.(1)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD.∵PA=AD=CD=2,∴PD=22.∵PC=23,CD2+PD2=PC2,得CD⊥PD.(2分)∵PA∩PD=P,∴CD⊥平面PAD,则CD⊥AD.∵BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BC∥AD,又AD≠BC,∴四边形ABCD是直角梯形.(4分)(2)同选择①.(3)同选择①.22.解析 (1)直线AB的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,由圆O与直线AB相切,得aba2+b2=45,即a2b2a2+b2=45,①(2分)设椭圆的半焦距为c,则e=ca=32,∴b2a2=1-e2=14,②(4分)由①②得a2=4,b2=1.故椭圆的标准方程为x24+y2=1.(5分)(2)k1·k2=14,为定值.证明过程如下:由(1)得直线AB的方程为y=-12x+1,故可设直线DC的方程为y=-12x+m,显然m≠±1.(7分)设C(x1,y1),D(x2,y2).联立x24+y2=1,y=-12x+m,消去y,得x2-2mx+2m2-2=0,则Δ=8-4m2>0,解得-2
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