间接平差

会计学间接平差第1页/共61页第一章绪论第二章误差理论基础第三章平差数学模型与最小二乘原理第四章间接平差第五章条件平差第六章附有参数的条件平差第七章附有约束条件的间接平差第八章参数加权平差和分组平差第九章参数的区间估计与假设检验第十章平差实例内容提要第2页/共61页第4章间接平差§4.1间接平差原理§4.2平差结果的统计性质§4.3公式汇编和示例§4.4误差椭圆§4.5模型误差与法方程系数矩阵的性质§4.6法方程的制约性第3页/共61页§4-1间接平差原理间接平差是通过选定t个独立参数，将每个观测量分别表达成这个t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测量的平差值，并评定精度。第4页/共61页§4-1间接平差原理第三章已简述了间接平差法建立函数模型和随机模型的方法，即其函数模型为:随机模型为:函数模型表达了估值与观测值改正数V之间的函数关系，我们通常称为误差方程式。由于误差方程个数n待求量X和V前总数为n+t，因此具有无穷多组解，但可按最小二乘原理，在平差准则下求得其解。下面导出间接平差的计算公式。第5页/共61页一、间接平差的基础方程及解设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵，必要观测数为t，选定t个数立量为参数X，其估量为X=观测值L与改正数V之和L=L+V，称为观测平差值。按具体平差问题，列出n个差值方程为：（1）§4-1间接平差原理第6页/共61页（2）§4-1间接平差原理第7页/共61页则平方值方程的矩阵形式为:令式中为参数的近似值，于是得误差方程为:（5）（3）（4）§4-1间接平差原理第8页/共61页按最小二乘原理，上式的必须满足的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得：转置后得以上所得式中的待求量是n个V和，而方程个数也是n+t个，有唯一解，称（5）、（7）两式为间接平差的基础方程。（6）（7）§4-1间接平差原理第9页/共61页解此基础方程，一般是将（5）式代入（7）式，以便先消V，得（8）令：上式可简写成式中系数阵满秩，上式称为间接平差的法方程。解之，得§4-1间接平差原理第10页/共61页将求出的代入误差方程，即可求得改正数V，从而平差结果为:法方程式的纯量形为§4-1间接平差原理第11页/共61页二、间接平差求平差值的计算步骤1．根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；2．将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非数性要将其线性化，列出误差方程;3．由误差方程系数B和自由项l组成法方程，法方程个数等于参数的个数t；4．解算法方程，求出参数，计算参数的平差值；5．由误差方程计算V，求出观测量平差值。§4-1间接平差原理第12页/共61页间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，但它们是在相同的最小二乘原理下进行的，所以两法的平差结果总是相同的，这是因为在满足条件下V是唯一确定的，故平差值不因方法不同而异。单位权方差的估值，计算式是除以其自由度，即：三、精度评定1、单位权中误差的计算§4-1间接平差原理第13页/共61页计算VTPV，可将误差方程代入后计算，即顾及式BTPV=0考虑，得三、精度评定1、单位权中误差的计算§4-1间接平差原理中误差为第14页/共61页在间接平差中，基本向量为。已知QLL=Q。由于是由近似值计算的函数值，故对于讨论精度将不产生影响。此外，按定义知，故，因此下面在与有关的协因数阵中，均将下面推求各基本向量的自协因数阵和两两向量间的互协因数阵。设，则Z的协因数阵为式中对角线上子矩阵，就是各基本向量的自协因数阵，非对角线上为两向量的互协因数阵。§4-1间接平差原理2、协因数阵第15页/共61页现分别推求如下。上述各量的关系式已知为§4-1间接平差原理第16页/共61页由前三个式子，按协因数传播律很容易得出：§4-1间接平差原理第17页/共61页再计算有关的协因阵，得三、平差值函数的中误差§4-1间接平差原理第18页/共61页§4-2误差方程按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差方程。为此，要确定平差总是中参数的个数，参数的选择以及误差方程的建立等。一、确定待定参数的个数在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测数t，而且要求这t个参数必须是独立的。这样才有可能将每个观测量表达成这个t个参数的函数，而这种类型的函数式正是间接平差函数模型的基本形式。就水准网而言，如果网中有高程已知的水准点，则t 就等于待定点的个数；若无已知点，则等于全部点数减一，因为这一点的高程可以任意给定，以作为全网高程的基准，这并不影响网点高程之间的相对关系。第19页/共61页§4-2误差方程二、参数的选取在水准网中，即可以选取待定点高程作为参数，也可选取点间的高差作为参数，在图中A、B、C是已知坐标的三角点，D是待定点。为求D点坐标，观测了6个水平角。此例，必要观测数为t=2，通常选取D点的纵横坐标值为参数，这样的参数总是独立的。此外，也可选取两个独立观测量为参数，例如，选取第20页/共61页§4-2误差方程等，它们都是函数独立的。但不能选取因为。综上所述，采用间接平差，应该选定刚好t个而又函数独立的一组量作为参数。至于应选择其中哪些量作为参数，则应按实际需要和是否便于计算而定。三、误差模型的非线性函数关系可对非线性平差值方程线性化，将第21页/共61页§4-2误差方程按泰勒公式展开得式中为相应的函数的近似值，自由项为观测值减去其近似值。由此得：第22页/共61页§4-2误差方程需要指出，线性化的误差方程是个近似式，因为它略去了的、二次上的各项。当很小时，略去高次项是不会影响计算精度的。如果由于某种原因不能求得较为准确的参数近似值，即都很大，这样，平差值之间仍然会存在不符值。此时，就要把第一次平差结果作为参数的近似值再进行一次平差。下面结合测角和测边两种情况，来讲相应误差方程的线性化问题。第23页/共61页§4-2误差方程五、测方向三角网误差方程的建立测向网中选择待定点的坐标平差值为参数时，误差方程的线性化问题。先介绍坐标改正数与坐标方位角改正数之间的关系式。如图，j、k是两个待定点，它们的近似坐标为。根据这些近似坐标可以计算两点间的近似坐标方位角和近似边长。第24页/共61页§4-2误差方程设这两点的近似坐标的改正数为即由近似坐标改正数引起的近似坐标方位角的改正数为即现求坐标改正数与坐标方位角改正数之间的线性关系。第25页/共61页§4-2误差方程据图可以写出：将上式右端按台劳公式展开，得等式中右边第一项就是由近似坐标算得的近似坐标方位角，对照（4-24）式可知式中第26页/共61页§4-2误差方程同理可得将上列结果代入上式，并顾及全式的单位得或写成第27页/共61页§4-2误差方程上式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系式，称为坐标方位角改正数方程。其中角度以秒为单位。平差计算时，可按不同的情况灵活运用上式。例如（1）若某边的两端均为待定点，则坐标改正数与坐标方位角改正数间的关系式就上式式。此时，与前的系数的绝对值相等；前的系数的绝对值也相等。（2）若测站点j为已知点，则，得若照准点k为已知点，则，得（3）若某边的两个端点均为已知点，则得第28页/共61页§4-2误差方程（4）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，它们与坐标改正数的关系式也一样。这是因为对照下式，顾及得第29页/共61页§4-2误差方程六、测边网误差方程的建立现在来讨论，在测边网平差中，选择待定点的坐标为参数时的误差方程的线性化问题。先讨论一般情况。在图中，测得待定点间的边长Li，设待定点的坐标平差值为参数，令可写出的平差值方程为按台劳公式展开，得第30页/共61页§4-2误差方程式中再令则可得测边的误差方程为式中右边前4项之和是由坐标改正数引起的边长改正数。式就是测边坐标平差误差方程的一般形式，它是在假设两端都是待定点的情况下导出的。具体计算时，可按不同情况灵活运用。第31页/共61页§4-2误差方程（1）若某边的两端均为待定点，则上式就是该观的边的误差方程。式中与的系数的绝对值相等，系数的绝对值也相等。常数项等于该边的观测值减其近似值。（2）若j为已知点，则，得若k为已知点，则，得若j、k均为已知点，则该边为固定边（不观测）故对该边不需要列误差方程。（3）某边的误差方程，按jk向列立或按jk向列立的结果相同。第32页/共61页§4-4误差椭圆平面控制点的点位是通过一组观测值求得的，由于观测值总是带有随机误差，因此求得的点位通常不是其真位置。随着观测值取值的不同，实际求得的点将是分布于待定点真位置周围的一组平面上的随机点。一、点位误差在平面控制测量中，点的位置由一对平面直角坐标来确定。设A为已知点，其位置无误差；P为待定点的真位置，坐标为，为平差后的位置，坐标为，设：则由此坐标差产生了点位误差第33页/共61页§4-4误差椭圆一、点位误差由平差结果的统计性质知，参数的估值为真值的无偏估计，即有：根据方差定义及坐标差计算公式，可得坐标估值的方差的计算公式：第34页/共61页§4-4误差椭圆一、点位误差对两边取数学期望，有：上式左边即为P点的点位方差，记为，则有：上式表明P点的点位方差等于P点在纵横坐标方向上的方差之和。第35页/共61页§4-4误差椭圆一、点位误差现在将P点的点位误差投影到AP方向和垂直于AP的方向，得纵向误差和横向误差，此时，有：类似于点位方差的表达，可写出：式中和分别为纵向方差和横向方差。一般称：为P点的点位均方差，和称为P点坐标值的均方差。第36页/共61页§4-4误差椭圆一、点位误差式中，为单位权均方差，和为、坐标的权倒数。假设有p个待定点，则未知数的权逆阵为：其中主对角线上的元素为待定点坐标的权倒数：第37页/共61页§4-4误差椭圆一、点位误差对于任意一点，其权逆阵为：不管采用什么平差方法，应用协因数传播定律总可求得第38页/共61页§4-4误差椭圆二、点位误差的最大值和最小值及其方向现考察P点在任意方向上的点位方差。在任意方向上的投影为点，则点位方差在方向上的投影值为：则的点位方差为：展开后为：第39页/共61页§4-4误差椭圆二、点位误差的最大值和最小值及其方向上式即为P点在给定方向上的点位方差。并可见在某个方向上，必有一对方差可取得最大值和最小值，并可证明，这两个值即为权逆阵的两个特征值，可求得其分别为：将上两式平方再求和：P点上任意两个相互垂直方向均方差的平方和均相等，且等于P点的点位均方差。第40页/共61页§4-4误差椭圆二、点位误差的最大值和最小值及其方向和分别表示P点在和方向上的权倒数，其意义是在方向上点位误差具有最大值，在方向上点位误差具有最小值。实际上和分别为特征值对应的两个方向角。根据特征方程可求得：两个方向之差为90度。第41页/共61页§4-4误差椭圆三、误差椭圆由公式：计算得到的是任意方向上的点位均方差，方向是由纵坐标起算的，以不同的方向和为极坐标点的轨迹构成一个闭合的曲线，该曲线称为点位误差曲线，其形状如图所示：显然，任意方向上的向径OP即为该方向上的点位中误差。点位误差曲线表示的是点位误差的分布情况，但不是一条典型曲线，作图也不方便。实用中常以点位误差椭圆代替点位误差曲线。第42页/共61页§4-4误差椭圆三、误差椭圆点位误差椭圆是由长轴方向均方差E，短轴方向均方差F及长轴方向构成的，这三个量称为误差椭圆参数。点位误差椭圆的作用是在该椭圆上可图解出任意方向的点位误差。其方法是：自椭圆作该方向的正交切线，为切点，为垂点，则：第43页/共61页§4-4误差椭圆四、相对误差椭圆为了研究两点坐标间的相对精度，可以利用两点间的相对误差椭圆。设1、2两点间的平差坐标差为：写成矩阵形式：应用协因数传播定律可得权逆阵为：第44页/共61页§4-4误差椭圆式中：四、相对误差椭圆用、、分别代替上式中的、和可得出相应的相对误差椭圆参数：第45页/共61页§4-4误差椭圆四、相对误差椭圆由和可构成相对误差椭圆。第46页/共61页§4-4误差椭圆五、点位落入误差椭圆内的概率二维正态分布的联合分布密度为：式中和为待定点坐标、的数学期望，是它们的相关系数。、和分别为它们的均方差和协方差。函数的形状如图所示：其形状如山岗，在点处达到最高峰。第47页/共61页§4-4误差椭圆用垂直于面XOY的平面截此曲面，得到类似于正态分布的曲线；用平行于面XOY的平面截此曲面，将截线投影到平面上，得到一组同心的椭圆，这些椭圆的中心是，由于同一椭圆上的点，其数值相等，即：五、点位落入误差椭圆内的概率常数由二维正态分布的密度函数可知，要满足上式，只要使函数的指数部分等于常数即可，因此，有：第48页/共61页§4-4误差椭圆同一椭圆上所有的点，其分布密度均相同，因此，这些椭圆称为等密度椭圆；当分布密度不同时，得到一组分布密度不同的椭圆，这组同心椭圆反映了待定点位分布的情况，因此也称为误差椭圆。五、点位落入误差椭圆内的概率若将坐标原点移到椭圆中心，则有：或者：第49页/共61页§4-4误差椭圆有解析几何的知识可知，当有方程时，为了消除方程中的一次项，使其变成 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化的形式，在图形上需将坐标旋转一个角度，旋转角度的大小由下式确定：五、点位落入误差椭圆内的概率对比的系数，顾及：第50页/共61页§4-4误差椭圆对比五、点位落入误差椭圆内的概率和可见这里的旋转角度就是确定点位中误差取得最大值和最小值的角度。换句话说，只要坐标轴和E、F方向重合，即可化为标准化形式：当K取不同值时即得一组同心的误差椭圆，当K等于1时的误差椭圆称为标准误差椭圆。第51页/共61页§4-4误差椭圆下面讨论点位落入误差椭圆内的概率。五、点位落入误差椭圆内的概率经上述化简后，二维正态分布的密度函数可化为：点位落入误差椭圆内的概率为：第52页/共61页§4-4误差椭圆作变量代换：五、点位落入误差椭圆内的概率代入有：可见，上式是以为半径的圆的方程，因此，待定点落入误差椭圆内的概率相当于落入该圆内的概率，所以有：第53页/共61页§4-4误差椭圆再令：则五、点位落入误差椭圆内的概率代入有：一旦给予K不同的取值，就得到不同的概率。第54页/共61页第4章间接平差§4.1间接平差原理§4.2平差结果的统计性质§4.3公式汇编和示例§4.4误差椭圆§4.5模型误差与法方程系数矩阵的性质§4.6法方程的制约性第55页/共61页§4-1间接平差原理间接平差是通过选定t个独立参数，将每个观测量分别表达成这个t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测量的平差值，并评定精度。第56页/共61页按最小二乘原理，上式的必须满足的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得：转置后得以上所得式中的待求量是n个V和，而方程个数也是n+t个，有唯一解，称（5）、（7）两式为间接平差的基础方程。（6）（7）§4-1间接平差原理第57页/共61页§4-2误差方程据图可以写出：将上式右端按台劳公式展开，得等式中右边第一项就是由近似坐标算得的近似坐标方位角，对照（4-24）式可知式中第58页/共61页§4-4误差椭圆一、点位误差由平差结果的统计性质知，参数的估值为真值的无偏估计，即有：根据方差定义及坐标差计算公式，可得坐标估值的方差的计算公式：第59页/共61页§4-4误差椭圆一、点位误差现在将P点的点位误差投影到AP方向和垂直于AP的方向，得纵向误差和横向误差，此时，有：类似于点位方差的表达，可写出：式中和分别为纵向方差和横向方差。一般称：为P点的点位均方差，和称为P点坐标值的均方差。第60页/共61页§4-4误差椭圆用垂直于面XOY的平面截此曲面，得到类似于正态分布的曲线；用平行于面XOY的平面截此曲面，将截线投影到平面上，得到一组同心的椭圆，这些椭圆的中心是，由于同一椭圆上的点，其数值相等，即：五、点位落入误差椭圆内的概率常数由二维正态分布的密度函数可知，要满足上式，只要使函数的指数部分等于常数即可，因此，有：第61页/共61页