西工大—高数答案—曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分第一节第一类曲线积分1.设xOy平面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为(x,y),用对弧长的曲线积分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示：TOC\o"1-5"\h\z(1)这曲线弧L的长度S;(2)这曲线弧L的质量M;(3)这曲线弧L的重心坐标：x___;y___;(4)这曲线弧L对x轴,y轴及原点的转动惯量Ix;Iy;I0.解(1)Sds;L(2)ML(x,y)ds;Lx(x,y)dsLy(x,y)ds(3)xL,yL,L(x,y)dsL(x,y)ds(4)IxLy2(x,y)ds,IyLx2(x,y)ds,I0L(x2y2)(x,y)ds222.(1)设L为椭圆xy1,其周长为a,求L(3x24y2)ds.(2)设L为圆周x2y264,求Lx2y2ds.22xy22解(1)L：1,即3x24y212,43从而(3x24y2)ds=12ds=12ds=12a.22(2)L：xy64,从而x2y2ds=8ds=8ds=82π8=128π.LLL,(2,0),(0,1)为顶点的三角形图10.1223.计算L(x2y2)ds,其中L是以(0,0)解如图10.1所示,L1：y0,x从02,L2：x0,y从01,L3：x22y,y从01,ds1(dx)dy5dy.dy从而2y2)ds+(x2y2)dsL(x2y2)ds=L(x2y2)ds+L(x211=0x2dx0y2dy50[(22y2)y2]dy22L32x.02π.计算出dsd,于是cos)2sin2d2πcos02=23350(48y5y)dy=335.334.计算Lx2y2ds,其中L为曲线x2y2x1cos,解1L的参数方程为L：xy1sicnos,,π2u4cosudu=82cosudu=8.200ππ22解2在极坐标系下,L:r2cos,.计算出dsr2r2d=2d,于22是x2y2ds=22cos2d=82cosd=8.25.求空间曲线xetcost,yetsint,zet(0t)的弧长.解dsx2(t)y2(t)z2(t)dt=e2t(costsint)2e2t(costsint)2e2tdt=3etdt,从而s3etdt3.06.有一铁丝成半圆形xacost,yasint,0t,其上每一点处的密度等于该点的纵坐标,求铁丝的质量.解ds(dx)2(dy)2dt=(asint)2(acost)2dt=adt.π2π2mLds=Lyds=0asintadt=a20sintdt=2a2.7.计算L(x2y2z)ds,其中L为球面x2y2za2与平面xyz0的交线.解由于x=dt=2π.y2za2与xyz0对x,y,z都具有轮换对称性,故x2ds=y2ds=z2ds,xds=yds=zds.LLLLLL于是Lx2ds=13(Lx2dsLy2dsLz2ds)2222aL(x2y2z2)ds=3Lds=a2πa=2πa333其中ds为圆周x2y2z2a2xyz0的周长,显然平面xyz0过球面x2y2z2a2的球心O(0,0,0),所以L为该球面上的大圆,即半径为a,故周长为2a.又因为L(yz)ds=LydsLzds=0,所以222L(x2y2z)ds=323a.第二节第二类曲线积分1.计算(xy)d2x(x2y)dy,其中L为圆周x2y2a2(按逆时针方向绕行)Lxy解L:xacost,yasint,t由0到2π,从而(xy)dx(xy)dyI=L22Lxy2图10.2=[(costsint)(sint)(costsint)cost]dt解I=L(2ay)dxxdy2={[2aa(1cost)]a(1cost)a(tsint)asint}dt22=a2tsintdt=2πa2.0224.计算L[1(xyy2)sinx]dx[(x2xy)siny]dy,其中L为上半椭圆22x2xyy21(y0),从点(1,0)到点(1,0)的一段弧.解由x2xyy21可得xyy21x2,x2xy1y2,代入积分式,得22[1(xyy2)sinx]dx[(x2xy)siny]dy=[1(1x2)sinx]dx(1y2)sinydy202=[1(1x2)sinx]dx(1y2)sinydy=2.2225.计算x2dxy2dyz2dz,其中是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.解的点向式方程为：x1y1z1,从而得参数方程为123x1t,y12t,z13t,t由0到1.1222I=0[(1t)22(12t)23(13t)2]dt13=13(1t)31(12t)331(13t)331=32.图10.36.计算dxdyydz,其中为有向闭折线ABCA,这里的A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).解如图10.3,AB:x1y,z0,y由0到1.1dxdyydz=2dy=2;AB0BC:y1z,x0,z由0到1;13BCdxdyydz=0(2z)dz=32;CA:z1x,y0,x由0到1;1dxdyydz=dx=1,CA031故I=()dxdyydz=21=.ABBCCA227.有一质量为m的质点,除受重力的作用外,还受到一个大小等于该质点到原点的距离,π方向指向原点的力f的作用,设该质点沿螺旋线L:xcost,ysint,zt从点A(0,1,π)移动到点B(1,0,0)移动到点,求重力与力f的合力所作的功.解依据题意,力f=xiyjzk,故质点所受的合力Ffmgkxiyj(zmg)kππ在螺旋线L上,起点A对应于t,终点B对应于t0,即t:0.22因此,力F所作的功Wxdxydy(zmg)dz0=π[cost(sint)sintcost(tmg)]dt2π2mg.π22π=02(tmg)dt=8第三节格林公式1.设xOy平面上闭曲线L所围成的闭区域为D,将给定的二重积分与其相应的曲线积分用线连接起来.(1)dxdyD(2)2dxdyD(3)dxdyD1c)xdyydx(b)1xdxxdya)xdyydx围成图形的面积32.利用曲线积分计算星形线xacos3t,yasin3t所xacost解如图10.4，因为3t由0到2.xasin3t从而1S=d=xdyydx2L2π32320[acost3asintcostasint(3acostsint)]dta20sin2tcos2tdt=38a20sin22tdt=3a282π1cos4t32dt=πa.283.证明(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy只与L的起始点有关,而与所取路径无关,并计算积分(3,4)2322(1,2)(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy.(1,2)P6xy2y3,Q6x2y3xy2,P12xy3y2Q,所以积分与路径无关x(3,4)2322(1,2)(6xy2y3)dx(6x2y3xy2)dy342232=(24x8)dx(54y9y2)dy=[12x8x]1[27y343y3]42或者=80156236.(3,4)2322(1,2()6xy2y3)dx(6x2y3x2y)dy(3,4)2232(6xy2dx6x2ydy)(y3dx3xy2dy)(1,2)((13,2,4))d(3x2y2xy3)=[3x2y2xy3]((31,,42))=236.xx4.计算Iex(1cosy)dxex(sinyy)dy,解如图10.5所示,由格林公式其中L为从O(0,0)到A(,0)的正弦曲线ysinx.图10.5I=ex(1cosy)dxex(sinyy)dyxx=(LAOAO)ex(1cosy)dxex(sinyy)dyxπsinx=(yex)dxdy0=0exdx0ydyπ0exdx14πx1πxππ1πecos2xdx=(e1)(e1)=(e1).04205其中0excos2xdx=0cos2xdex=excos2x|0π0exdcos2xππ=e120exsin2xdx=eπ120sin2xdexπ=eπ12exsin2x|0π2exdsin2xπ=eπ140excos2xdx.πx1π移项解之,得excos2xdx(eπ1).05注意本题易犯两个错误：(1)I=(LAOAO)ex(1cosy)dxex(sinyy)dy=(yex)dxdy.D产生错误的原因是,没有注意格林公式使用时的条件：QP()dxdyLPdxQdy,DxyL其中C是D的取正向的边界曲线.而本题的闭曲线LAO是D的取负向的边界曲线,所以QP二重积分(QP)dxdy前面必须添加负号.Dxyπ(2)计算定积分excos2xdx是连续两次使用部分积分法后移项解出来的.对此积分有0些同学束手无策,有些则在连续使用分布积分法udvuvvdu时,每次选取函数u(x),不注意必须是同类函数(如选三角函数作为u(x)就一直选三角函数,如选ex作为u(x)就一直选ex),结果就出现了恒等式udvudv,即前进一步又倒退一步,致使积不出来5.已知(x)连续,且(0)(1)0,A(0,0),B(1,1),计算IAMB[(y)exy]dx[(y)ex1]dy其中AMB是以AB线段为直径的上半圆周.解如图10.6所示IAMB[(y)exy]dx[(y)ex1]dy=[AMBBABA][(y)exy]dx[(y)ex1]dy=dxdyAB[(y)exy]dx[(y)ex1]dyDπ1x=0[((x)(x))ex(x1)]dx40π1x1x1=(x)exdx(x)exdx(x1)dx4000π1x1x3=π(x)exdxexd(x)002π311=π3(x)exdxex(x)|10(x)exdx本题需注意两点：(1)同上题一样,使用格林公式时要注意边界曲线的方向,本题因是负向,故二重积分前必须添上负号;11(2)因(x)是抽象函数,不可能直接将(x)exdx(x)exdx积出来,请不要先急00111于积分,先用分布积分法将(x)exdx表示为exd(x)ex(x)|10(x)exdx,则两,从中项抽象函数的定积分就抵消了,问题就可得到解决,因此在解题过程中一定要善于思考发现解题技巧.6.证明(xy)dx(xy)dy在右半平面(x0)内为某一函数u(x,y)的全微分,并求x2y2出一个这样的函数u(x,y).xy解P22,Qxyx2y2yPy22xyx2,由于y(x2y2)2,所以x(xy)dx(xy)dyx2y2为某一函数u(x,y)的全微分.取定点M0(1,0),对于右半平面上任一点M(x,y),令u(x,y)=(1,0)(x,y)(xy)dx(xy)dyx2y2xx0dxx20yxx2yy2dyx1=11xdx2x2dyxyyyx2y2dyy122=lnxarctanln(xy)lnxx2=arctanxy21ln(x2y2).332227.已知曲线积分(1y3)dx(9xx3)dy,其中L为圆周(xa)2y2a2(a0),L取逆时针方向,求a的值,使得对应曲线积分的值最大.33222解显然P1y3,Q9xx3在区域D:(xa)2y2a2内有一阶连续的偏导数,由格林公式QPI(a)=PdxQdy=()dxdy=(93xLDxyD2223y2)dxdy=9dxdy3(x2y2)dxdy=9πa232d2acos3r3dr=9πa2324a4cos4d=9a224a402cos4d2=9πa224a431π=9πa29πa4.4222I(a)18πa(1a2),令I(a)0,解得a1(依题意设a0，故将a0和a1舍去),因为a1是I(a)在(0,)内唯一的驻点,且I(a)18π54π=36π0,故I(a)在a1处取得最大值,因此a1,即当积分路径为(x1)2y21时,对应曲线积分的值最大.8.求Lydx(x1)dy22(x1)2y2,其中1)L为圆周x2y22y0的正向;(2)L为椭圆4x2y28x0的正向.解令P(x,y)22(x1)2y2,Q(x,y)(x1)22(x1)2y222,则当(x1)2y20时,有1)L:x2y22y0,即x2(y1)21,此时(1,0)D,(如图10.7(a)所示)图10.7(a)图10.7(b)ydx(x1)dy0.2)L:4x2y222y8x0,即(x1)241,此时(1,0)D,以(1,0)为圆心,以充分小的0为半径作圆周x1cosC:,由0到2,取逆时针方向(如图10.7(b)所示).ysin记L和C所围成的闭区域为D1,对复连通区域D1应用格林公式,得LCy(dxx1()x21y)d2y0,从而ydx(x1)dyydx(x1)dyI=L(x1)2y2=C(x1)2y22πsin(sin)coscos=02d2π=02d=2π.注意(2)中由于点(1,0)位于L所围成的闭区域D内,需用复连通域上的格林公式,以避开(1,0)点,考虑到被积函数的分母为(x1)2y2,故取圆周Cx1cos,有同学不ysin考虑“洞”,即点(1,0),直接用格林公式,得到Ly(dxx1()x21y)d2y0是错误的.9.求I[exsinyb(xy)]dx(excosyax)dy,其中a、b为正常数,L为从点A(2a,0)沿曲线y2axx2到点O(0,0)的弧.解添加从点O(0,0)沿y0到点A(2a,0)的有向直线段L1,则[exsinyb(xy)]dx(excosyax)dy[exsinyb(xy)]dx(excosyax)dy=[(excosya)(excosyb)]dxdyDL12abxdx02aπ2=(ba)dxdybdx=(ba)a202D2b2(2a)2π2π3=(2)a2ba3.22由于QP,由格林公式,22xyL(x1)2y2第四节第一类曲面积分1.设有一分布着质量的曲面,在点（x,y,z）处它的面密度为（x,y,z）.用曲面积分表示：TOC\o"1-5"\h\z（1）这曲面的面积A=;（2）这曲面的质量M=;（3）这曲面的重心坐标为x=,y=,z=;（4）这曲面对于x轴,y轴,z轴及原点的转动惯量Ix=__,Iy=__,Iz=,I0=.1)A=dS.2）M=(x,y,z)dS.z(x,y,z)dS,z=(x,y,z)dSIy=(x2z2)(x,y,z)dS,x(x,y,z)dSy(x,y,z)dS3)x=,y=(x,y,z)dS(x,y,z)dS4)Ix=(y2z2)(x,y,z)dS,Iz=(x2y2)(x,y,z)dS,I0=(x2y2z2)(x,y,z)dS.y）dS,其中为平面3y4z1在第一卦限中的部分.解如图10.8所示，:2x3yz1,z4xz2z261dS1(xz)2(zy)2dxdy=361dxdy,4xyz在积分曲面上,被积函数z2xy=4()4,32342,zy图10.8Dxy:0y332x0x2从而461(z2xy)dS=4dxdy4613dxdy=4613=461.TOC\o"1-5"\h\zDxy33.计算(x2y2)dS,其中是锥面zx2y2及平面z1所围成的区域的整个边界曲面.解如图10.9所示,1:zx2y2,zxzyxx2y2yx2y2dS1(z)2(z)2dxdy=2dxdy,Dxy:x2y21.xy222:z1,dSdxdy,Dxy:x2y21,(x2y2)dS=(x2y2)dS(x2y2)dS122π122π12=0d0ρ22ρdρ0d0ρ2ρdρ=22π01ρ3dρ2π01ρ3dρ=π(21).4.计算I=(xyyzzx)dS,其中为锥面zx2y2被柱面x2y22ax所截成的部分(a0).解因为积分曲面关于zOx坐标面(即y0平面)对称,xyyzy(xz)是关于y的奇函数,所以I=y(xz)dSzxdS＝0zxdS此外,在上,zx2y2,dS2dxdy,且在xOy面上的投影为Dxy:x2y22ax,因此I＝zxdS＝xx2y2dS＝2xx2y2dxdyDxy＝82a44526424＝a15＝22πd0r3cosdr＝82a402cos5d2225.计算dS,其中为抛物面z2(x2y2)在xOy面上方的部分.解如图10.10所示,22zzz2(x2y2),2x,2y,xy图10.10dS1(z)2(z)2dxdy=14x24y2dxdy,xy22Dxy:x2y22,dS=14x24y2dxdy=d14ρ2ρdρDxy122221=2π0(14ρ2)2d(14ρ2)08π223213=(14ρ2)3|02=π.336.计算(xyz)dS,其中为球面x2y2z2a2上zh(0ha)的部分.a222xydxdy,解在xOy面上的投影为圆域：Dxy:x2y2a2h2,故(xyz)dS=(xya2x2y2)2a22dxdyDxyaxy由积分区域的对称性可得：aax222dxdy=0，y222dxdy=0,Dxya2x2y2Dxya2x2y2又积分区域Dxy的面积为π(ah),故(xyz)dS=adxdy=πa(a2h2).Dxy2222227.求柱面x2y2ax0在球面x2y2z2a2内部的部分的表面积(a0).解由对称性,所求面积A为其位于第一卦限部分面积的4倍,即A4dS,其中曲面为yaxx2,求得面积元素dS1yx2yz2dxdz=a2axx2dxdz,zaxf(x,y,z)=(xx2y2由z2a2xy,消去y,得za2ax,由此得在zOx坐标面上的投影为x2y2axDxz:0za2ax,0xa,因此,曲面的面积A4dS=42dxdzDxz2axx228.设S为椭球面xyz2122的上半部分,点P(x,y,z)S,π为S在点P处的切平面,f(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面的距离,求dSSf(x,y,z)解设(X,Y,Z)为上任意一点,则π的方程为x2Xy2YzZ1,从而知1z2)2221x2y222,有x=21x2y222y2221x2y22222xydxdy,2y1dS=(4Sf(x,y,z)4D22xy)dxdy2π220d0(4ρ2)ρdρ2πdS=1(z)2(z)2dxdy=2xy21x222从而3π.2第五节第二类曲面积分1.当是xOy面内的一个闭区域D时,f(x,y,z)dS与二重积分的关系为(1)f(x,y,z)dS=dxdy,(2)R(x,y,z)dS=dxdy.DD解(1)f(x,y,0),(2)R(x,y,0).注意因第一类曲面积分与所给曲面的侧无关,所以(1)中应填f(x,y,0);而第二类曲面积分与曲面的侧有关,所以(2)中应填R(x,y,0),有个别同学常疏忽这一点,只填R(x,y,0),这是不对的.2.计算x2dydzy2dzdxz2dxdy,其中为半球面za2x2y2的上侧.解记1:xa2y2z2,取前侧,2:xa2y2z2取后侧,1与2在yoz面的投影区域相同,记为Dyz.222xdydz=xdydz+xdydz12222222=(ayz)dydz(ayz)dydz=0.DyzDyz同理而从而y2dzdx=0,z2dxdy=(a2x2y2a222xy)dxdy=2a220d0(a2ρ2)ρdρ=4πa2I=x2dydzy2dzdxz2dxdy=x2dydz+y2dzdx+z2dxdy44πaπa=0+0+=.22注意常见的错误是：x2dydz=x2dydz+x2dydz=2(a2y2z2)dydz12Dyz或y2dzdx=2(a2x2z2)dzdx.Dzx,应根据积分曲面的侧选产生错误的原因是忽视了将第二类曲面积分化为二重积分时择二重积分前的正、负号f(x,y,z)dxdy=f[x,y,z(x,y)]dxdy,Dxyg(x,y,z)dydz=g[x(y,z),y,z]dydz,DyzR(x,y,z)dzdx=R[x,y(z,x),z]dzdx.Dzx将第二类曲面积分化为二重积分时,究竟什么时候二重积分前面写正号,什么时候写负号,这与所给曲面的侧有关.切记：上侧取正,下侧取负;前侧取正,后侧取负右侧取正,左侧取负3.计算xzdxdy,其中是平面x0,y0,z0,xyz1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解如图10.11所示,1234,其中1,2,3,4各自对应于四面体的一个表面,可表示为1:z0下侧;2:y0左侧;3:x0后侧;4:xyz1上侧.由于1在z0平面上,故在1上的曲面积分为0;同理,在2,3上的曲面积分也都为0,所以,所求积分xzdxdy=xzdxdy4由4得方程得z1xy,4在xoy面上的投影域为Dxy:0y1x,0x1,于是xzdxdy=xzdxdy=x(1xy)dxdy44n=(cos,cos,cos)=1(2x)2(2y)2(2z)2(2x,2y,2z)=R1(x,y,z).由两类曲面积分的关系,可得xdydzydzdxzdxdy=(xcosycoszcos)dS222=[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)y]dzdx[f(x,y,z)z]dxdy=[(fx)cos(2fy)cos(fz)cos]dS111=[(fx)3(2fy)(3)(fz)3]dS2=(x2y2z2)dS=R2dS=R=R=RdS几何意义R4πR2=4πR3.5.计算I=f(x)dydzg(y)dzdxh(z)dxdy,其中f,g,h为连续函数,为平行六面体:0xa,0yb,0zc表面的外侧.解h(z)dxdy=h(c)dxdyh(0)dxdy=ab[h(c)h(0)],DxyDxyg(y)dzdx=g(b)dzdxg(0)dzdx=ac[g(b)g(0)],DxzDxzf(x)dydz=f(a)dydzf(0)dydz=bc[f(a)f(0)],DyzDyz从而I=abc[f(a)f(0)g(b)g(0)h(c)h(0)].abc注意本题易犯的错误是利用高斯公式来解,题目中仅告诉我们,f,g,h为连续函数,又如何对f,g,h求导呢?6.计算[f(x,y,z)x]dydz[2f(x,y,z)y]dzdx[f(x,y,z)z]dxdy,其中f(x,y,z)为连续函数,是平面xyz1在第四卦限部分的上侧.解平面xyz1的法线向量为n={1,1,1},方向余弦为cos1,coscos(xyz)dS=31134z)v=2(aaa)a3=3a4.dS=13Dxy1(xz)222(yz)2dxdyDxy1(1)212dxdy=dxdy=1.DxyD2第六节高斯公式通量与散度2221.设计(x2yz)dydz(y2zx)dzdx(z2xy)dxdy,其中为平面x0,y0,z0,xa,ya,za所围成的立体的表面的外侧.解由高斯公式,22I=(xyz)dydz(yzx)dzdx(zxy)dxdy=(2x2y2z)dv=2(xyz)dv设该正方体的形心坐标为(x,y,z),则xyzaxdv而xdv所以xdvxv,从而I=2(xyxdvvydvzdv,y,zydvyv,zdvzv,.(xyz)dvvv2.计算4xzdydzy2dzdx2yzdxdy,其中是球面x2y2z2a2外侧的上半部分(a0).解补充平面1:z0(x2y2a2)取下侧,22aρ4dρ=πa.2I=()4xzdydzy2dzdx2yzdxdy=(4z2y2y)dv0112πaa22a=4zdv=40d0ρdρ0zdz=8πρ注意易犯的错误是2(1)I=4xzdydzy2dzdx2yzdxdy=(4z2y2y)dv=4zdv=⋯产生错误的原因是,没有注意到仅是球面的上半部分,并非封闭曲面,不能直接用高斯公式.尽管本题中沿曲面1的积分：4xzdydzy2dzdx2yzdxdy0,致使题目答案1未受任何影响,但对不封闭的曲面直接用高斯公式,显然是不对的.(2)有同学在补充平面1:z0(x2y2a2)时,不写取什么侧,这也不妥.1x1x3.计算f()dydzf()dzdxzdxdy,其中f(u)具有一阶连续导数,为柱yyxy22a2面(xa)2(ya)2()2及平面z0,z1(a0)所围成立体的表面外侧.2解利用高斯公式,有TOC\o"1-5"\h\z1x1xI=f()dydzf()dzdxzdxdyyyxy1x1x=[12f(x)12f(x)1]dv=dvyyyya2π2=π()1=a.244.计算x3dydzy3dzdxz3dxdy,其中为球面x2y2z2a2的内侧.解x3dydzy3dzdxz3dxdy=3(x2y2z2)dv2ππa12=3dsindρ4dρ=πa5.0005注意易犯的错误是x3dydzy3dzdxz3dxdy=3(x2y2z2)dv=3a2dv=3a24πa3=4πa5.3这里有两个错误：(1)不注意高斯公式使用的条件：应是空间闭区域的整个边界曲面的外侧.本题所给的闭曲面是球面的内侧.因此在将闭曲面上的曲面积分x3dydzy3dzdxz3dxdy化成三重积分3(x2y2z2)dv时,前面必须写上负号.(2)将曲面积分与三重积分的计算法混为一谈.计算三重积分(x2y2z2)dv时,22222222因为为球体：x2y2z2a2,因此不能将三重积分中的被积函数x2y2z2用a2代入,这种做法是常犯的错误.只有计算曲面积分时,才能将曲面方程代入被积函数.5.计算Ix3dydz2xz2dzdx3y2zdxdy,其中积分曲面为抛物面22zx2y2(0z1)的上侧.22解令1:z1(x2y21),取下侧,则1构成封闭曲面,取内侧.于是322PQRx3dydz2xz2dzdx3y2zdxdy=()dv1xyz1=3(x2y2)dxdydz=3dxdyx2y2(x2y2)dzDxy2π111π=3drdr2r2dz=6πr3(1r2)dr=.00r202由于1在平面z1上,1在zOx,yOz坐标面上的投影为直线段,故dzdx=dydz=0,1在xOy坐标面上的投影域为Dxy:x2y21,于是32222x3dydz2xz2dzdx3y2zdxdy=3y2dxdy=3y2dxdy3πρ=41Dxy00=3dρρ2sin2dρ=3sin2dρ3d0000所以22322Ix3dydz2xz2dzdx3y2zdxdyx3dydz2xz2dzdx3y2zdxdy11π3ππ=()=.2446.计算(x2cosy2cosz2cos)dS,其中是由x2y2z2及zh(h0)所围成的闭曲面的外侧,cos,cos,cos是此曲面的外法线的方向余弦解在xOy平面上的投影区域为：x2y2h2.I=(x2cosy2cosz2cos)dS222=x2dydzy2dzdxz2dxdy=(2x2y2z)dvh=2dxdyx2y2(xyz)dzDxyhh=2(xy)dxdyx2y2dz2dxdyx2y2zdzDxyDxy222=2(xy)(hx2y2)dxdy2h(xy)dxdyDxyDxy2πh22πh22=20(cossin)d0(hρ)ρ2dρ0d0(h2ρ2)ρdρ44h23h4h4π4=02π0(hρρ)dρ=2π[24]=2h.227.已知向量场Axzi+xyj+yzk,求A的散度以及A穿过流向指定侧的通量,其中为zx2y2,x2y21以及三个坐标面在第一卦限所围立体全表面的外侧解令Pxz,Qx2y,Ry2z,则A的散度divAPQRzx2y2.xyz通量AndS=divAdv=(zx2y2)dvx2y222=dxdy0(zx2y2)dz(DxyDxy22:x2y21,x0,y0)=3(x2y2)2dxdy=02d032r4D22rdrDxy1π622第七节斯托克斯公式环量与旋度1.利用斯托克斯公式计算ydxzdyxdz,这里为曲线x2y2z2a2xyz0从x轴正向看去,为逆时针方向.解平面xyz0的上侧法线的方向余弦为1coscoscos3设为平面xyz0上由圆周所围成的面域,取上侧,相应的单位法向量(3,3,coscoscosydxzdyxdz=dScoscos)dS=(cos=3dS=3πa2.2.求向量场A=(zsiny)i-(z-xcosy)j的旋度.解rotA=xzsinyyzxcosy223.求平面向量场A=(x2y2)i+2xyj沿闭曲线L的环流量,其中L是x0,xa,y0,yb2解环向量L(x所围成的正向回路.2ab2y2)dx2xydy=4ydxdy=4dxydy=2ab2.Dxy4.利用斯托克斯公式计算xyzdz,其中是用平面yz截球面x2y2z21所得的截痕,若逆z轴正向看去,取逆时针的方向.解由斯托克斯公式xyzdz=dydzx0dzdxy0dxdy=xzdydzyzdzdx,xyz其中是平面yz上以圆为边界的平面,其侧与的正向符合右手规则.显然,在yoz坐标面上的投影为一线段,所以xzdydz0.在xoz坐标面上的投影为一椭圆域D:x22z21,且的法向量与y轴成钝角从而yzdzdxz2dzdx=21zdzD212z212z2dx1π=42z212z2dz令2zsint22sin2tcos2tdt=202(sintsint)dt=2(12234212)=16π第十章曲线积分与曲面积分(总习题)1.填空.1)设平面曲线L为下半圆周y1x2,则曲线积分L(x2y2)ds的值是;2z22)向量场u(x,y,z)xy2iyezjxln(1z2)k在点P(1,1,0)处的散度divu2.3)设L为取正向的圆周x2y29,则曲线积分(2xy2y)dx(x24x)dy的值是18π.1)(x2y2)ds=ds=12π1=π.从而2)PQR2Z2zdivu==yex2,2xyz1z3)divu|Py2ez2xz2|(1,1,0)2.1z2(2xy2y)dx(x24x)dy2=(2x42x2)dxdy=2dxdy=2π32=18π.DD2.计算ABCDAdxdy,ABCDA是以点A(1,0),B(0,1),C(1,0),D(0,1)位顶点的正方y解法1IABCDAxyABCDdAxdy(00)xdyd.0形正向边界.此法是先将正方形的边界xy1代入被积函数后,再用格林公式求解法2因AB:xy1,BC:yx1,CD:xy1,DA:xy1.从而I()dxdyABBCCDDAxy=(ABBCCDDA)dxdy0101=(11)dx(11)dx(11)dx(11)dx11=20dx20dx=0.法2是分段分别计算,比较一下还是法1简便.但切记不可直接对ABCDAdxdy用格林解P(x,y)y2,xQ(x,y)x1,则x公式.请同学们动脑筋想一下,这是为什么？3.计算I(x2yz)dx(y2zx)dy(z2xy)dz,AB为螺线xcos,y=sin,z由点(1,0,0)到点(1,0,2π)的弧段.222解IAB(x2yz)dx(y2zx)dy(z2xy)dzAB2222=[(cos2sin)(sin)(sin2cos)cos(2sincos)]d22222=0cos2dcos0cos2d0sin2dsin02d0sindsincos33|20π0sin33|02π33|20πsin22|02π332QP1122xyxx直线段BA:yx1,x由2到1,记AB与BA所围成的闭区域为D,由于要用到格林公式,所以要分两种情况讨论：1)AB取逆时针方向(如图10.12(a))10.12y1IABxy2dx(x1x)dy=(ABBABA)xy2dx(x1x)dyxx=dxdyD1x(x)dy=kx21(xx21x1x)dx2xx=k(xk2(xx12)dx=k2.2)dx=k2.2x2)AB取顺时针方向(如图10.12b)所示).IABx2dx1(xx)dy=(ABBABA)xy2dx(x1x)dyxx=dxdyDy2dx(x1)dyBAx2x5.计算曲线积分ydxxdyx2y2221)L是圆周(x1)x注意常见错误是不讨论AB是取逆时针方向,还是取顺时针方向,就直接利用了格林公式,这是不对的.(y1)21的正向;2)L是曲线xy1的正向.P(x,y)x2yy2,x22Q(x,y)22,当x2y20时,xy22Pyx222y(x2y2)2记曲线L所围成的闭区域为D.1)如图10.13(a)所示,此时(0,0)D,P(x,y),Q(x,y)在L所围成的闭区域D内有一阶连续偏导数,由格林公式：0dxdy0.D10.13c(2)如图10.13(b)所示,此时(0,0)D,P(x,y),Q(x,y)在L所围成的闭区域D上有不连续点(0,0),以(0,0)为圆心,以充分小0的为半径作圆周C:xcos,ysin,02π,C取逆时针方向,记L和C所围成的闭区域为D1,对复连通域D1应用格林公式,有ydxxdyLCx2y2从而ydxxdy=Lx2y2=ydxxdysin(sin)coscos22=0d=2π.6.计算曲线积分xdy2yd2x,其中C是(1,0)以为中心,R(R1)为半径的圆周,逆时针C4xy方向.P(x,y)4x2y2Q(x,y)x4x2y2当4x2y20时,Py22yx224xyQ,C所围成的闭区域记为xD,(0,0)究竟在不在以为(1,0)中心,R为半径的圆内,要分两种情况讨论：xdyydx04x2y20xcosL:,02π,y2sina)R1图10.14b)R1(1)R1时,(0,0)D(图10-14(a)),则(2)R1时,(0,0)D,作足够小的椭圆L取逆时针方向(图10.14(b))于是由格林公式,有xdy2yd2x0,CL4x2y2从而xdyydx4x2y2=Lxdyydx224x2y22π1d=012d=Pcos2cos)2sin(sin)22222cos242sin2注意易犯错误是不分R1,R1两种情况讨论,未注意闭曲线L所围成的闭区域D内有无“洞”,即D是否为“单连通域”？7.设曲线积分xy2dxy(x)dy与路径无关,其中(x)具有连续的导数,且(0)0,(1,1)计算(1,1)xy2dxy(x)dy的值.解P(x,y)xy2,Q(x,y)y(x),因曲线积分与路径无关2xyy(x),(x)2x,(x)x2C,由(0)0,则C0,从而(x)x2.(1,1)2(1,1)2211I(0,0x)ydxy()xd=y(0,0)xydxxydy=0ydy=2.8.质点P沿着以AB为直径的圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力F的作用,F的大小等于点P到原点O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于,求变力F对质点P所做的功.2解圆弧AB的方程为(x2)2(y3)22,其参数方程为x22cost3π,(πt)y32sint442stin)tsin2(2t2cotst)cos]dFyixj，所以WL(y)dxxdy43[2(3L42(π1).9.计算(x2y2)dS,其中为球面x2y2z2a2.解:x2y2z2a对2x,y,z具有轮换对称性,所以222x2dS=y2dS=z2dS,于是(x2y2)dS=2(x2y2z2)dS=2a2dS几何意义332a24πa284a333310.计算Ix3dydz[yf(yz)y3]dzdx[zf(yz)z3]dxdy,其中f有一阶连续导数,而为球面x2y2z22Rz的内侧((R0).333解令Px3,Qyf(yz)y3,Rzf(yz)z3,则PQR3x2,f(yz)yzf(y)z23y,f(y)zyz(f).2yz3zxyz注意到取内侧,运用高斯公式,得PQR)dv3(x2y2z2)dxdydz2Rcos00r2r2sindr2sin32R50cos5d=65π32R5cos6|0232πR5.11.计算Iydzdx(z1)dxdy,其中S是圆柱面x2y24被平面xz=2和Sz2所截出部分的外侧解法1设S,S1,S2,,D1如图10.15所示,S1:xz2;S2:z0Iydzdx(z1)dxdyS=[]ydzdx(z1)dxdySS1S2S1S2图10.15TOC\o"1-5"\h\z=(11)dVydzdx(z1)dxdyydzdx(z1)dxdyS1S1S2S2=0(z1)dxdydxdy=(2x1)dxdydxdyS1S1D1D12=2dxdyxdxdy=2π220=8π.D1D1法2设S,D2如上图所示,则=24x2dzdx222x22dx04x2dzIydzdxz(1x)dydyzxddSS=2(2x)4x2dx=44x2dx=8π.12.计算(x3az2)dydz(y3ax2)dzdx(z3ay2)dxdy,其中为上半球面za2x2y2的上侧.解补充S为平面z0(x2y2a2)的下侧.I(x3az2)dydz(3ya2x)ddzx3(z2ay)ddxy=()(x3az2)dydz(y3ax2)dzdx(z3ay2)dxdySS=3(x2y2z2)dVay2dxdyx2y2a22π=30d02sina2πad0r4dra0sin2d0r3drπ=6π(cos)|02a5a2π1cos2a4d024295πa.202121313.设函数ux2zy2zz323(1)求梯度gradu;(2)求向量场Agradu的散度divA;(3)计算向量场Agradu穿过曲面流向外侧的通量,其中是由曲面zx2y2与z2x2y2所围立体的表面.2122解(1)Agradu2xziyzj(x2y2z2)k,2(2)divA=2zz(2z)z,(3)通量AndSdivAdvzdv2122π=dρdρzdz=.00ρ214.求Lf(xy)(xdyydx),其中L为xOy面上任一分段光滑的闭曲线,f为xOy面上具有连续导数的函数.PQ解因为(yf(xy))f(xy)xyf(xy)(xf(xy))，yyxx在xOy面上成立,故曲线积分f(xy)(xdyydx)与路径无关,也即沿xOy面上任一封闭曲线上的积分为零,故f(xy)(xdyydx)=0.注意被积函数中含有未知函数f,并且积分曲线L的方程没有给出,所以不能化为定积分计算,只能用格林公式,或平面上曲线积分与路径无关的条件计算15.具有质量的曲面是半球面za2x2y2在圆锥zx2y2里面的部分,如上每点的密度等于该点到xOy平面的距离的倒数,试求的质量.222aa1解在xOy面上的投影区域为D:x2y2,dSdxdy,2a2x2y2z11amdS1dS1adxdy222222zDaxyaxy2πa2ρρ2dρaρ=Da2xa2y2dxdy=a0d02=2πa(1)ln(a2ρ2)|02πaln2.,记16.设是有界闭区域的光滑边界曲面,函数u在上有二阶连续偏导数222uuuu222.xyz试证明：udSudxdydz（n是的外法线方向向量）.n证应用两种曲面积分的关系和高斯公式,得uuuudS(coscoscos)dSnxyzuuu=dydzdzdxdxdyxyz22uuu=(222)dxdydz.xyz02.计算(x2y2)dx,其中L是抛物线yx2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.2222456解I=(x2y2)dx=(x2x4)dx=3.计算L(2ay)dxxdy,其中L为摆线xa(tsint),ya(1cost)上对应t从0到2π的一段弧(图10.2)πx21πx0exsin2xdx=410ex(1cos2x)dx22Q(x1)2y2Px[(x1)2y2]2y记L所围成的闭区域为D,42.计算(z2x33Dxy3xy11x1=x(1xy)dxdy=0xdx0(1xy)dy=24.Dxy00244.计算xdydzydzdxzdxdy,其中为球面x2y2z2R2的外侧.解由题设,的单位法向量本题巧妙地利用了重心坐标公式,将利用高斯公式后得到的三重积分的计算转化为计算(xyz)v,从而使问题得到解决.1383=000(2π)30=π3.334.设AB为连接点A(1,2)与B(2,3)的某曲线弧,又设AB与直线段AB所包围图形的面积等于k,计算曲线积分y2dx(x1)dy.(直线段AB与曲线弧AB除点A,B外无其它交点,曲线弧AB不与y轴相交,且自身不相交).