(完整)高考数学圆锥曲线专题复习

圆锥曲线一、知识结构1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上f(x0,y0)≠0两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则f1(x0,y0)=0点P0(x0,y0)是C1，C2的交点f2(x0,y0)=0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.-1-2.圆圆的定义：点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.圆的方程：(1)MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1715307603973_0方程圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2(2)一般方程22当D+E-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=022DEDE-4F叫做圆的一般方程，圆心为(-,-），半径是.配方，将方程22222x+y+Dx+Ey+F=0化为22D2E2DE-4F(x+)+(y+)=22422当D+E-4F=0时，方程表示一个点DE(-,-);2222当D+E-4F＜0时，方程不表示任何图形.点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，22其中｜MC｜=(x0-a)(y0-b).(3)直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交有两个公共点直线与圆相切有一个公共点直线与圆相离没有公共点②直线和圆的位置关系的判定(i)判别式法AaBbC(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系来判A2B2定.-2-3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识曲线性椭圆双曲线抛物线质{M｜｜MF1｜+｜MF2｜{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.{M｜｜MF｜=点M到轨迹条件=2a,｜F1F2｜＜2a}=±2a,｜F2F2｜＞2a}.直线l的距离}.圆形2222xyxy+=1(ab0)-=1(a0,b0)标准方程＞＞＞＞y2=2px(p＞0)a2b2a2b2A1(-a,0),A2(a,0);顶点A1(0,-a),A2(0,a)O(0,0)B1(0,-b),B2(0,b)对称轴x=0,y=0对称轴x=0,y=0轴长轴长：2a对称轴y=0实轴长：2a虚轴长：2b短轴长：2bPF(0)F1(-c,0),F2(c,0)F1(-c,0),F2(c,0)，焦点2焦点在长轴上焦点在实轴上焦点对称轴上｜F1F2｜=2c，｜F1F2｜=2c,焦距c=a2-b2c=a2b2pa2a2x=-x=±x=±2cc准线准线与焦点位于顶点准线垂直于长轴，且在准线垂直于实轴，且在两两侧，且到顶点的距离椭圆外.顶点的内侧.相等.cc离心率e=,0＜e＜1e=,e＞1e=1aa-3-4.圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.当0＜e＜1时，轨迹为椭圆，当e=1时，轨迹为抛物线当e＞1时，轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.坐标轴的平移 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则x=x′+hx′=x-h(1)或(2)y=y′+ky′=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.方程焦点焦线对称轴(x-h)2(y-k)2a2x=h+=1x=±+h22(±c+h,k)abcy=k椭圆(x-h)2(y-k)2a2x=h+=1y=±+k22(h,±c+k)bacy=k222(x-h)(y-k)ax=h-=1=±+k22(±c+h,k)abcy=k双曲线222(y-k)(x-h)ax=h-=1y=±+k22(h,±c+h)abcy=k2pp(y-k)=2p(x-h)(+h,k)x=-+hy=k22pp2(y-k)=-2p(x-h)(-+h,k)x=+hy=k22抛物线2pp(x-h)=2p(y-k)(h,+k)y=-+kx=h22pp2(x-h)=-2p(y-k)(h,-+k)y=+kx=h22-4-二、知识点、能力点提示(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简.特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：.椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：.(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；.(4)了解圆锥曲线的初步应用。四．对考试大纲的理解高考圆锥曲线 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 一般有3题(1个选择题,1个填空题,1个解答题),共计22分左右,考查的知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主,难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。-5-求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0).定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.【例题】22xy【例1】双曲线2=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，4b2|OP|＜5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b=_________.解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则222222|PF1|+|PF2|=2(|PO|+|F1O|)＜2(5+c),222即|PF1|+|PF2|＜50+2c,222又∵|PF1|+|PF2|=(|PF1|－|PF2|)+2|PF1||·PF2|,依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,22依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|=4c17∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,3175又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.332220【例2】已知圆C1的方程为x2y1，椭圆C2的方程为322xy2221ab0，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰ab2为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。2c22222y解：由e,得,a2c,bc.2a222xyA设椭圆方程为1.222bbC设A(x1,y1).B(x2,y2).由圆心为(2,1).1x1x24,y1y22.FOF21x2222Bxyxy又111,221,22222bb2bb-6-2222xxyy两式相减，得12120.222bb(x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0,y1y2又x1x24.y1y22.得1.x1x2直线AB的方程为y1(x2)..即yx322xy将代入1,得yx3222bb3x212x182b20.2直线AB与椭圆C2相交.24b720.220由AB2x1x22(x1x2)4x1x2.3224b7220得2.33222xy解得b8.故所有椭圆方程1.1682【例3】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C21相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于2直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.22c2ab1解法一：由e=22,得2,从而a=2b,c=b.a2a2222设椭圆方程为x+2y=2b,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.222222则x1+2y1=2b,x2+2y2=2b,两式相减得，2222y1y2x1x2(x1－x2)+2(y1－y2)=0,.x1x22(y1y2)x0设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,y2y01y=x11B2又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,22x0于是－=－1,kAB=－1,2y0F2oF1x设l的方程为y=－x+1.A右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),-7-y1x1则xb解得yxby1b122929由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=,a.16828x162∴所求椭圆C的方程为y=1,l的方程为y=－x+1.9922c2ab1解法二：由e=得,从而a22,2=2b,c=b.a2a2设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,24k2k则x12121212+x=2,y+y=k(x－1)+k(x－1)=k(x+x)－2k=－2.12k12k21xxyyk12k直线l：y=1212x过AB的中点(,),则22,22212k212k解得k=0，或k=－1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.22xy解法3：设椭圆方程为221(ab0)(1)ab1直线l不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线yx过AB中点矛盾。2故可设直线l的方程为yk(x1)(2)2222222222(2)代入(1)消y整理得：(kab)x2kaxakab0(3)222kaxx设A(x1，y1)B(x2，y2)，知：12222kab又y1y2k(x1x2)2k代入上式得：22222k1kab1b12k，k2k22，kk2，又ex1x222ka2ka222222b2(ac)2k22e1ly1x22，直线的方程为，aa222222此时a2b，方程(3)化为3x4x22b0，1624(1b)8(3b1)032222222b，椭圆C的方程可写成：x2y2b(4)，又cabb，3右焦点F(b，0)，设点F关于直线l的对称点(x0，y0)，-8-y01x0b则x01，y01b，yxb01022233又点(1，1b)在椭圆上，代入(4)得：12(1b)2b，b，432929b，a16822xy所以所求的椭圆方程为：19981627【例4】如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直413线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.2解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.22xy设双曲线方程为22=1(a＞0,b＞0)yabP22cb2132b3由e21()()，得=2.aa2a233∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x22P33ox设点P1(x1,x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),22P1P1P则由点P分P1P2所成的比λ==2,PP2x12x2x12x2得P点坐标为(,),3222x4y又点P在双曲线22=1上，a9a22(x2x)(x2x)所以121222=1,9a9a2222即(x1+2x2)－(x1－2x2)=9a,整理得8x1x2=9a①2921329213又|OP1|x1x1x1,|OP|x2x2x24242322tanP1Ox212sinP1OP229131tanP1Ox1411131227SPOP|OP1||OP2|sinP1OP2x1x2,122241349即x1x2=②2-9-由①、②得a2=4,b2=922xy故双曲线方程为=1.4922yx【例5】过椭圆C：1(0)上一动点P引圆O：x222的两条切线22ab+y=babPA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。(1)已知P点坐标为(x0，y0)并且x0y0≠0，试求直线AB方程；(2)若椭圆的短轴长为22ab258，并且，求椭圆C的方程；(3)椭圆C上|OM|2|ON|216是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)22切线PA：x1xy1yb，PB：x2xy2yb22∵P点在切线PA、PB上，∴x1x0y1y0bx2x0y2y0b2∴直线AB的方程为x0xy0yb(x0y00)22bb(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(，0)；令x=0，则N(0，)x0y0222222abayxa25∴(00)22222①|OM||ON|bab2b16∵2b=8∴b=4代入①得a2=25,b2=1622yx∴椭圆C方程：1(xy0)（注：不剔除xy≠0，可不扣分）2516(3)假设存在点P(x0，y0)满足PA⊥PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，222四边形PAOB为正方形，|OP|=2|OA|∴x0y02b①222222又∵P点在椭圆C上∴ax0by0ab②22222b(a2b)ab由①②知x22022,y022abab∵a>b>0∴a2－b2>0(1)当a2－2b2>0，即a>2b时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；22(2)当a－2b<0，即b06km设x12,x为方程*的两根，则x1x2213kx1x23kmmx0y0kx0m213k213k23kmm故AB中点M的坐标为(，)13k213k2m13km∴线段AB的垂直平分线方程为：y()(x)13k2k13k2将D(0，－1)坐标代入，化简得：4m=3k2－1-26-m213k20故m、k满足，消去k2得：m2－4m>024m3k1解得：m<0或m>41又∵4m=3k2－1>－1∴m>－41故m(,0)(4,).4-27-【直线与圆锥曲线练习】一、选择题2x1．斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为()445410810A.2B.C.D.55522．抛物线y=ax与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有()A.x3=x1+x2B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0D.x1x2+x2x3+x3x1=0二、填空题553．已知两点M(1，)、N(－4，－)，给出下列曲线方程：①4x+2y－1=0,4422xx②x2+y2=3,③+y2=1,④－y2=1,在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是22_________.4．正方形ABCD的边AB在直线y=x+4上，C、D两点在抛物线y2=x上，则正方形ABCD的面积为_________.5．在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.三、解答题6．已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.(1)求a的取值范围.yA(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.217．已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=3No的双曲线过点P(6，6).Fx(1)求双曲线方程.B(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论.8．已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都以点A(2，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与A点关于直线y=x对称.(1)求双曲线C的方程.(2)设直线l过点A，斜率为k,当0＜k＜1时，双曲线C的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时B点的坐标.-28-直线与圆锥曲线参考答案245t410一、1.解析：弦长|AB|=2≤.答案：C552yax2kbb2.解析：解方程组,得ax－kx－b=0,可知x1+x2=,x1x2=－,x3=－,代入验证ykxbaak即可.答案：B二、3.解析：点P在线段MN的垂直平分线上，判断MN的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：②③④4.解析：设C、D所在直线方程为y=x+b,代入y2=x,利用弦长公式可求出|CD|的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4与y=x+b间的距离，求出b的值，再代入求出|CD|的长.答案：18或5025.解析：设所求直线与y=16x相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得22y1=16x1,y2=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1－y2)=16(x1－x2).y1y216即kAB=8.x1x2y1y2故所求直线方程为y=8x－15.答案：8x－y－15=0三、6.解：(1)设直线l的方程为：y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=022∴|AB|=24(ap)4a≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2p又∵p＞0,∴a≤－.4(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点C(x,y),由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,x1x2y1y2x1x22a则有x=ap,y=p.222∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),从而N点坐标为(a+2p,0）|a2pa|点N到AB的距离为2p21222从而S△NAB=24(ap)4a2p2p2app2p当a有最大值－时，S有最大值为2p2.4222222xy662ab211,e7.解：(1)如图，设双曲线方程为22=1.由已知得222,解得ababa3a2=9,b2=12.-29-22xy所以所求双曲线方程为=1.912(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2).则有2212x19y110822412x29y2108y1y2124，∴kl=xx933x1x2412y1y244∴l的方程为y=(x－2)+2,32212x9y1082由4,消去y,整理得x－4x+28=0.y(x2)3∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在.|2k|8.解：(1)设双曲线的渐近线为y=kx,由d==1,解得k=±1.2k1即渐近线为y=±x,又点A关于y=x对称点的坐标为(0，2).∴a=2=b,所求双曲线C的方程为x2－y2=2.(2)设直线l：y=k(x－2)(0＜k＜1),依题意B点在平行的直线l′上，且l与l′间的距离为2.|2km|设直线l′：y=kx+m,应有2,化简得m2+22km=2.②k21把l′代入双曲线方程得(k2－1)x2+2mkx+m2－2=0,由Δ=4m2k2－4(k2－1)(m2－2)=0.可得m2+2k2=2③21025②、③两式相减得k=2m,代入③得m2=,解设m=,k=,此时555mkx=222,y=10.故B(22,10).k1-30-