PAGEPAGE6排列、组合及二项式定理一、计数yi 分类加法计数原理和分步乘法计数原理→1.分类加法计数原理定义完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事情共有N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法,那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数．区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．4.分类分步
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分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；（2）总数完整。分步是局部到位，（1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2）步与步之间相互独立，互不干扰；（3）保证连续性。→排列与组合1．排列（1）排列定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（2）排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝=n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！).特殊:Ann=n!=n(n-1)!（3）特征：有序且不重复2.组合（1）组合定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．（2）组合数公式：Ceq\o\al(m,n)＝=eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)或写成Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！).(3)组合数的性质①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).（4）特征：有序且不重复3.排列与组合的区别与联系：区别：排列有序，组合无序联系：排列可视为先组合后全排4.基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。→排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法）1.抽取问题：（1）关键：特殊优先；（2）题型：①把n个相同的小球，一次性的放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Cmn②把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn③把n个相同的小球，放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？mn④把n个不同的小球，放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn⑤把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（n≥m），每个盒子至多1个，有多少种不同的方法？Cn-1m-1隔板法2.排序问题：特殊优先（1）排队问题：①对n个元素做不重复排序Ann;②对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定）排列;如果对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定,k个元素的位置固定）排列;③相邻问题—捆绑法(注意松绑);④不相邻问题:(a)一方不相邻—先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位;(b)互不相邻先排少的在插入多的;(2)数字问题;①各位相加为奇数的-----奇数的个数是奇数;②各位相加为偶数的-----奇数的个数是偶数;③组成n为偶数(奇数)的数----特殊优先法;④能被n整除的数-----特殊优先法;⑤比某数大的数,比某数小的数或某数的位置----从大于(小于)开始排,再排等于;(3)着色问题:①区域优先-----颜色就是分类点;②颜色优先-----区域就是分类点.(4)几何问题:①点、线、面的关系一般均为组合问题；BA②图中有多少个矩形C62C42;从A到B的最短距离C83(5)分组、分配问题：①非均分不编号;n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽---②非均分编号;n个不同元素分成m组，每组组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽③均分不编号;n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且不考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽④均分编号;n个不同元素分成m组，其中有k组元素数目均相等，且考虑各组间的顺序，不考虑是否分尽二、二项式定理1.定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)anb0＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)a0bn(r＝0,1,2，…，n)．2.二项展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中Ceq\o\al(r,n)叫做二项式系数．3.二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即Ceq\o\al(0,n)＝Ceq\o\al(n,n)，Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(n－1,n)，…，Ceq\o\al(k,n)＝Ceq\o\al(n－k,n)，….②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值．③各二项式系数的和a．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；b．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(2r,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(2r＋1,n)＋…＝eq\f(1,2)·2n＝2n－1.→二项式定理的应用：1.求通项;2.含xr的项：①项的系数；②二项式系数。3.常数项（含xr的项中r=0）整数项（含xr的项中r∈N）有理项（含xr的项中r∈Z）无理项（含xr的项中rZ）4.项的系数和：（1）已知多项式f(x)=(a+bx)n(a,b>0)=a0+a1x+a2x2+…+anxn:①a0=f（0）②a0+a1+a2+…+an=f(1)=(a+b)n;③|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|=f(1)=(a+b)n;④a0+a2+a4+…=⑤a1+a3+a5+…=⑥(a0+a2+a4+…)2-(a1+a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。（2）已知多项式f(x)=(a-bx)n(a,b>0)=a0+a1x+a2x2+…+anxn:①a0=f（0）②a0+a1+a2+…+an=f(1)=(a-b)n;③|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|=f(-1)=(a+b)n;④a0+a2+a4+…=⑤a1+a3+a5+…=⑥(a0+a2+a4+…)2-(a1+a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。(3)已知多项式f(x)=(ax-b)n(a,b>0)=a0+a1x+a2x2+…+anxn:令g(x)=（-1）n(b-ax)n①a0=f（0）②a0+a1+a2+…+an=f(1)=(a-b)n;③|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|=|(-1)n|g(-1)④a0+a2+a4+…=⑤a1+a3+a5+…=⑥(a0+a2+a4+…)2-(a1+a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。(4)已知多项式f(x)=(-ax-b)n(a,b>0)=a0+a1x+a2x2+…+anxn:令g(x)=（-1）n(ax+b)n①a0=f（0）②a0+a1+a2+…+an=f(1)=(a-b)n;③|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|=|(-1)n|g(1)④a0+a2+a4+…=⑤a1+a3+a5+…=⑥(a0+a2+a4+…)2-(a1+a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。5.最值问题：①二项式系数最大：（a）当n为偶数时，二项式系数中，最大；（b）当n为奇数时，二项式系数中，最大②项的是系数最大：表示第r+1项的系数个项都为正数时最大;一项为正一项为负时最大
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