矩阵的标准型

矩阵的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型第1页，共58页。§2.1矩阵的Jordan标准型一.Cayley-Hamilton定理第二章矩阵的Jordan标准型凯莱[英]A.Cayley(1821.8-1895.1)哈密尔顿[英]W.R.Hamilton(1805.8-1865.9)约当[法]M.E.C.Jordan(1838.1-1922.1)第2页，共58页。矩阵的多项式表示定义：已知和关于变量的多项式那么我们称为的矩阵多项式。化零多项式第3页，共58页。定理2.1.c()=|E–Ann|则c(A)=O.注:c(A)=|AE–A|?|E–Ann|=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann=n+an1n1+…+a1+a0=ntr(A)n1+…+(1)n|A|.第4页，共58页。c()=n+an1n1+…+a1+a0c(A)=An+an1An1+…+a1A+a0Ec(A)=OAn+an1An1+…+a1A=a0E=A(An1+an1An2+…+a1E)当A可逆时,a0=(1)n|A|0,于是A1=1a0(An1+an1An2+…+a1E)A*=|A|A1=…第5页，共58页。则c(A)=An+an-1An-1+…+a0E=0。对于一般的n阶矩阵组成的集合，需要取出n2+1个才能保证是线性相关的。但是对于矩阵序列I,A,A2,A3…，按顺序取到第n+1个时，An一定可以被前面的矩阵线性表出。则An=-an-1An-1-…-a0E第6页，共58页。例1.已知A=122103112,求A100.解:c()=|E–A|=(+1)2(1).分别将=1,1代入上式得10099=(100)1=a+b+c,设100=c()g()+a2+b+c,1=ab+c.=[c()g()+a2+b+c]=c()g()+c()g()+2a+b将=1代入上式得100=2a+b.于是可得a=50,b=0,c=49.第7页，共58页。=50A249E故A100=c(A)g(A)+50A249E=50即100=c()g()+50249,308214205490004900049=199040010012001000201.例1.已知A=122103112,求A100.第8页，共58页。A=011010112①c()=|E–A|=(1)3满足c(A)=O②f()=(1)2=22+1满足f(A)=O.c()的次数为3f()的次数为2③不存在更低次数的多项式g()使得g(A)=O.A的化零多项式次数最低,首项系数为1例2.第9页，共58页。二.最小多项式1.定义:A的次数最低的最高次项系数为1的化零多项式称为A的最小多项式.2.性质:(1)A的最小多项式|A的任一化零多项式.(2)A的最小多项式是唯一的,记为mA()或简记为m().(3)则m(0)=0c(0)=0.(4)A~BmA()=mB().但反之未必!第10页，共58页。11000100001000021100010000200002例如:与的最小多项式都是(1)2(2),但是它们的特征多项式分别为因而这两个矩阵不相似.(1)3(2)和(1)2(2)2,第11页，共58页。定理第12页，共58页。第13页，共58页。第14页，共58页。第15页，共58页。定理第16页，共58页。第17页，共58页。第18页，共58页。例第19页，共58页。第20页，共58页。第21页，共58页。第22页，共58页。推论.设A,B分别为sn矩阵和nt矩阵,则r(AB)r(A)+r(B)n.引理.设A1,A2,…,As都是n阶方阵,且A1A2As=O,…则r(Ai)(s1)n.i=1sr(A1A2As)r(A1)+r(A2As)n………r(A1)+r(A2)+r(A3As)2n…r(A1)+r(A2)+…+r(As)(s1)n.三.最小多项式与对角化的关系第23页，共58页。定理3.A相似于对角矩阵mA()没有重根.②对角阵的最小多项式没有重根.因而r(iEA)(s1)n,i=1s证明:()①相似的矩阵的最小多项式相同;()设mA()=(1)(2)…(s),则(1EA)(2EA)…(sEA)=O,故[nr(iEA)]n.i=1s第24页，共58页。第25页，共58页。第26页，共58页。定理：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。有个线性无关的特征向量。综合第27页，共58页。例3.若n阶方阵A满足A23A+2E=O,r(AE)=r,则行列式|A+3E|=____.解:A23A+2E=O(AE)(A2E)=O存在可逆矩阵P使得P1AP=|A+3E|=|P1||A+3E||P|EnrOO2Er秩(AE)=r=|P1(A+3E)P|=|P1AP+3E|=4EnrOO5Er=4nr5r.第28页，共58页。例4.求解矩阵方程X25X+6E=O,n阶方阵X令r(A3E)=r,解:f(x)=x25x+6=(x3)(x2)为X的零化多项式存在可逆矩阵P使得P1XP=2ErOO3Enr由X25X+6E=O(A2E)(A3E)=Of(x)=(x3)(x2)无重因式，故为最小多项式m(x)矩阵X的特征值为3和2，且X可以相似对角化2ErOO3EnrX=PP1第29页，共58页。例5.设m阶方阵J0为证明:J0特征多项式为c()=(-a)maaa…11a…mm…OEm-1OO证明:J0必不可以对角化。J0-aE==NNk不等于O，Nm=O第30页，共58页。四.Jordan标准形000…110…mm…m阶Jordan块:例如:(0)0100010001000注:01000110011010010=一阶Jordan块是一阶矩阵第31页，共58页。J1J2Js…Jordan形矩阵:若当块例如:100020003010001000210020003110020003但不是Jordan形矩阵.第32页，共58页。Jordan标准型定理5：设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得其中l1,…,ls是A的互不相同的特征值，而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。且第33页，共58页。若A与Jordan形矩阵J相似,则称J为A的Jordan当标准形.注:J1OOJ2OEEOOEEO1J2OOJ1=推论.两个复方阵相似它们具有相同的Jordan标准形.推论.两个复方阵相似，特征值、秩？第34页，共58页。Jordan矩阵的结构与几个结论:Jordan块的个数k是线性无关特征向量的个数;矩阵可对角化,当且仅当s=n;(3)相应于一个已知特征值的Jordan块的个数是该特征值的几何重数,它是相应的特征子空间的维数,相应于一个的所有Jordan块的阶数之和是该特征值的代数重数.特征值的几何重数<代数重数(4)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关.J的对角元素给出了特征值的信息。第35页，共58页。第36页，共58页。推论：则下列命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 等价：(3)A的Jordan标准形中的Jordan块都是一阶的。第37页，共58页。推论：阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。有个线性无关的特征向量。综合：第38页，共58页。1,2,…,sA11,…,1q,1线性无关11,…,1q,21,…,2q,…,s1,…,sq线性无关12s2线性无关21,…,2q,…,s线性无关s1,…,sq相似矩阵P的求法第39页，共58页。定理5：l1,…,ls是n阶复矩阵A的互不相同的特征值，且(1)则必存在可逆矩阵S，使得则下面是等价的第40页，共58页。则V上必然存在一个线性变换T，使得亦即中必然存在一组基(个)，使得T在这组基下的矩阵为第41页，共58页。1,2,…,sA11,…,1q,1线性无关11,…,1q,21,…,2q,…,s1,…,sq线性无关12s2线性无关21,…,2q,…,s线性无关s1,…,sq相似矩阵S的求法第42页，共58页。五.Jordan标准型与最小多项式的关系设A是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得其中l1,…,ls是A的互不相同的特征值，且则A的最小多项式为：第43页，共58页。第44页，共58页。六.Jordan标准型的确定Jordan标准型的两个关键要素：Jordan块的阶数与块数波尔曼定理:Jordan标准型唯一性原理第45页，共58页。例P82例2.3.6,2.3.7第46页，共58页。例已知矩阵A的特征多项式为求矩阵A的Jordan标准形第47页，共58页。七、方阵A的Jordan标准形的求法求可逆矩阵S和Jordan矩阵JA，使AS=SJA分析方法：在定理5的基础上逆向分析矩阵JA和S的构成。求法与步骤：矩阵A和JA的特征值相等细分矩阵Pi和Ji，在Jordan块上，有Jordan块的确定按照波尔曼定理第48页，共58页。Jordan链{，y2，…，ynj}特征向量广义特征向量链条中的向量合起来构成可逆矩阵S，Jordan块构成JA可逆矩阵S不唯一，JA不考虑次序是唯一的第49页，共58页。例6p772.3.3第50页，共58页。第51页，共58页。第52页，共58页。第53页，共58页。例9证明：若A的所有特征值是l1,…,ln，则Am的所有特征值是l1m,…,lnm。第54页，共58页。第55页，共58页。例10.设A=.1aa0a1+ab001(1)求A的特征值和所有可能的Jordan标准形.解:|EA|=(1)3.由此可得A的特征值为1=2=3=1.因此A的所有可能的Jordan标准形如下:100010001J1=,110010001J2=,110011001J3=.第56页，共58页。例10.设A=.1aa0a1+ab001(2)a,b满足什么条件时,A相似于对角矩阵?解:由(1)知,A相似于对角矩阵A相似于E存在可逆矩阵P使得P1AP=EA=E100010001J1=,110010001J2=,110011001J3=.a=b=0.第57页，共58页。例10.设A=.1aa0a1+ab001(3)当a=1,b=2时,求A的Jordan标准形.解:当a=1,b=2时,A=r(EA)=2.100010001J1=,110010001J2=,110011001J3=.r(EJ3)=2.010122001,可见A的Jordan标准形为J3.r(EJ2)=1,r(EJ1)=0,第58页，共58页。