安徽省合肥一中合肥六中北城中学联考高二(上)期末数学试卷(文科)(含答案)

2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．空间直角坐标系中，点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C的坐标为（）A．（4，1，1）B．（﹣1，0，5）C．（4，﹣3，1）D．（﹣5，3，4）2．过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为（）A．2x+y﹣5=0B．2x﹣y+1=0C．x+2y﹣7=0D．x﹣2y+5=03．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．抛物线x=﹣4y2的准线方程为（）A．y=1B．y=C．x=1D．x=5．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．36．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为（）A．B．18C．D．7．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值等于（）A．12B．20C．D．8．过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）第1页（共21页）A．B．C．D．9．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P是抛物线C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．1B．C．D．210．四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．11．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，则这两个圆锥的体积之比为（）A．2：1B．5：2C．1：4D．3：1．点是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，是12AF1F2I△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是．14．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为．15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为．第2页（共21页）16．下列四个命题申是真命题的是（填所有真命题的序号）①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．三、解答题（共有6小题，共70分）17．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：（fx）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．．如图，直四棱柱﹣的底面是等腰梯形，，，，，19ABCDA1B1C1D1AB=CD=AD=1BC=2EMN分别是所在棱的中点．（）证明：平面⊥平面；1MNED1DE（）证明：∥平面．2MND1DE．已知（﹣，），（，），（，）是圆上的三个不同的点．20A30B30Cx0y0M（）若﹣，，求圆的方程；1x0=4y0=1M（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．第3页（共21页）21．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：AM⊥PM；（Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．．已知椭圆的左、右焦点分别为（﹣，），（，），是22F1c0F2c0P椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（）直线，是椭圆的任意两条切线，且∥，试探究在轴上是否存在定点，点2l1l2l1l2xBB到，的距离之积恒为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．l1l21B第4页（共21页）2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．空间直角坐标系中，点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C的坐标为（）A．（4，1，1）B．（﹣1，0，5）C．（4，﹣3，1）D．（﹣5，3，4）【考点】空间中的点的坐标．【分析】利用中点坐标公式求解．【解答】解：设C（x，y，z），∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，∴C（4，﹣3，1）．故选：C．2．过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为（）A．2x+y﹣5=0B．2x﹣y+1=0C．x+2y﹣7=0D．x﹣2y+5=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】联立方程组，求出直线的交点，由此能求出过交点且平行于直线2x+y﹣1=0的直线方程．【解答】解：联立，得x=1，y=3，∴交点为（1，3），过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0，第5页（共21页）把点（1，3）代入，得：2+3+c=0，解得c=﹣5，∴直线方程是：2x+y﹣5=0，故选：A．3．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】，解得或x＜0，即可判断出判断出．【解答】解：，解得或x＜0，∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．4．抛物线x=﹣4y2的准线方程为（）A．y=1B．y=C．x=1D．x=【考点】抛物线的简单性质．【分析】将方程化为标准方程，再由y2=﹣2px的准线方程为x=，即可得到所求．【解答】解：抛物线x=﹣4y2即为y2=﹣x，可得准线方程为x=．故选：D．5．直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．第6页（共21页）【分析】由直线与平面垂直的性质定理得命题P是真命题，￢P是假命题，由此能求出结果．【解答】解：∵直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”，∴命题P是真命题，∴命题P的逆否命题是真命题；￢P：“若直线m不垂直于α，则m不垂直于l”，∵￢P是假命题，∴命题p的逆命题和否命题都是假命题．故选：B．6．棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．18C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的直观图，观察截去几何体的结构特征，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：故该几何体的表面积为：3×22+3×（）+=，故选：D．7．双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值等于（）A．12B．20C．D．第7页（共21页）【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的焦点坐标，由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解方程即可得到m的值．【解答】解：椭圆的焦点为（±4，0），由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得=4，解得m=12．故选：A．8．过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线和圆的位置关系即可得到结论．【解答】解：若直线斜率不存在，此时x=0与圆有交点，直线斜率存在，设为k，则过P的直线方程为y=kx﹣2，即kx﹣y﹣2=0，若过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则圆心到直线的距离d≤1，即≤1，即k2﹣3≥0，解得k≤﹣或k≥，即≤α≤且α≠，综上所述，≤α≤，故选：A．第8页（共21页）9．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P是抛物线C上一点，若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．1B．C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF|=4，求得P点的纵坐标，代入抛物线方程求得横坐标，代入三角形面积公式计算即可得到．【解答】解：由抛物线方程得准线方程为：y=﹣1，焦点F（0，1），又P为C上一点，|PF|=4，可得，yP=3代入抛物线方程得：，|xP|=2∴．S△POF=|0F|•|xP|=故选：C．10．四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线BE与AC所成角的余弦值．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），=（﹣2，0，1），=（2，2，0），设异面直线BE与AC所成角为θ，第9页（共21页）则cosθ===．故选：B．11．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，则这两个圆锥的体积之比为（）A．2：1B．5：2C．1：4D．3：1【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设球半径为r，则根据圆锥底面与球面积的关系得出圆锥的底面半径，根据勾股定理求出球心到圆锥底面的距离，得到两圆锥的高度．【解答】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr2=×4πR2=，∴r=．∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和．∴两个圆锥的体积比为：=1：3．故选：D．．点是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，是12AF1F2I△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．第10页（共21页）【考点】椭圆的简单性质．【分析】设的内切圆半径为，由已知得﹣，从而△AF1F2r|AF1|r=2×|F1F2|r|AF2|ra=2，由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：设的内切圆半径为，则△AF1F2r，，，S△IAF1=|AF1|rS△IAF2=|AF2|rS△IF1F2=|F1F2|r∵，∴﹣，|AF1|r=2×|F1F2|r|AF2|r整理，得．∴，|AF1|+|AF2|=2|F1F2|a=2∴椭圆的离心率e===．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是：．故答案为：．14．抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一条弦，使它恰好被P点平分，则该弦所在的直线方程为3x﹣y﹣11=0．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设过点（，）的直线与抛物线的交点为（，），（，），代入抛物线P41Ax1y1Bx2y2的方程，相减，结合直线的斜率公式和中点坐标公式，以及点斜式方程可得直线方程，再由代入法，检验即可得到所求直线方程．【解答】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点为（，），（，），Ax1y1Bx2y2第11页（共21页）即有2，2，y1=6x1y2=6x2相减可得，（﹣）（）（﹣），y1y2y1+y2=6x1x2即有，kAB====3则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），即为3x﹣y﹣11=0．将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，故所求直线为3x﹣y﹣11=0．故答案为：3x﹣y﹣11=0．15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由圆上的点关于直线的对称点还在圆上得圆心在这条直线上，把圆心坐标代入到直线x+y=0中得方程①；把A的坐标代入圆的方程得方程②；由圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长，利用垂径定理，勾股定理得方程③，三者联立求出a、b和r的值，即得圆的方程．【解答】解：设所求圆的圆心为（a，b），半径为r，∵点A（2，1）关于直线x+y=0的对称点A′仍在这个圆上，∴圆心（a，b）在直线x+y=0上，∴a+b=0，①且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，根据垂径定理得：r2﹣d2=，即r2﹣（）2=③；第12页（共21页）由方程①②③组成方程组，解得；∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．16．下列四个命题申是真命题的是①③④（填所有真命题的序号）①“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；④动圆P过定点A（﹣2，0），且在定圆B：（x﹣2）2+y2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P的轨迹为一个椭圆．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题的真假关系进行判断．②根据空间角的平行定理进行判断．③根据线面所成角的定义进行求解判断．④根据圆与的内切关系以及椭圆的定义进行判断．【解答】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=∵侧棱长为2，∴在直角△POC中，tan∠PCO=∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，第13页（共21页）即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，故答案为：①③④三、解答题（共有6小题，共70分）17．已知命题p：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，命题q：（fx）=x2﹣ax+1在区间上是增函数．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】根据函数恒成立问题，求出p为真时的a的范围，根据二次函数的性质求出q为真时的a的范围，从而判断出p、q一真一假时的a的范围即可．【解答】解：∀x∈[2，4]，x2﹣2x﹣2a≤0恒成立，等价于a≥x2﹣x在x∈[2，4]恒成立，而函数g（x）=x2﹣x在x∈[2，4]递增，其最大值是g（4）=4，∴a≥4，若p为真命题，则a≥4；第14页（共21页）f（x）=x2﹣ax+1在区间上是增函数，对称轴x=≤，∴a≤1，若q为真命题，则a≤1；由题意知p、q一真一假，当p真q假时，a≥4；当p假q真时，a≤1，所以a的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）．18．（1）求与椭圆有相同的焦点，且经过点（4，3）的椭圆的标准方程．（2）求与双曲线有相同的渐近线，且焦距为的双曲线的标准方程．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可设椭圆方程，代入（4，3），解方程可得λ，进而得到所求椭圆方程；（2）由题意可设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），由焦距可得4|λ|+9|λ|=13，解方程即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：（1）由所求椭圆与椭圆有相同的焦点，设椭圆方程，由（4，3）在椭圆上得，则椭圆方程为；（2）由双曲线有相同的渐近线，设所求双曲线的方程为﹣=1（λ≠0），第15页（共21页）由题意可得c2=4|λ|+9|λ|=13，解得λ=±1．即有双曲线的方程为﹣=1或﹣=1．．如图，直四棱柱﹣的底面是等腰梯形，，，，，19ABCDA1B1C1D1AB=CD=AD=1BC=2EMN分别是所在棱的中点．（）证明：平面⊥平面；1MNED1DE（）证明：∥平面．2MND1DE【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（）由已知推导出⊥，⊥，从而⊥平面，由此能证明平面1NEDENEDD1NED1DE⊥平面．MNED1DE（）推导出∥，从而∥平面，进而∥平面，平面∥平2ABDEABD1DEBB1D1DEABB1A1面，由此能证明∥平面．D1DEMND1DE【解答】证明：（1）由等腰梯形ABCD中，∵AB=CD=AD=1，BC=2，N是AB的中点，∴NE⊥DE，又⊥，且，NEDD1DD1∩DE=D∴⊥平面，NED1DE又NE⊂平面MNE，∴平面⊥平面．MNED1DE…（2）等腰梯形ABCD中，∵，，是的中点，∴∥，∴∥平面，AB=CD=AD=1BC=2NABABDEABD1DE又∥，则∥平面，DD1BB1BB1D1DE又，∴平面∥平面，AB∩BB1=BABB1A1D1DE第16页（共21页）又平面，∴∥平面．MN⊂ABB1A1MND1DE…．已知（﹣，），（，），（，）是圆上的三个不同的点．20A30B30Cx0y0M（）若﹣，，求圆的方程；1x0=4y0=1M（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．【考点】圆的一般方程．【分析】（1）利用待定系数法建立方程关系进行求解即可．（2）根据直线和圆的位置关系进行判断即可．【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD又OC=OB，所以△BOD≌△COD∴∠OCD=∠OBD=90°即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…第17页（共21页）（其他方法亦可）21．如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=，M为BC的中点．（Ⅰ）证明：AM⊥PM；（Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；点、线、面间的距离计算．【分析】（Ⅰ）取CD的中点E，连接PE、EM、EA，证明PE⊥平面ABCD，从而可得△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，利用勾股定理可得结论；（Ⅱ）利用V=V，可求D点到平面PAM的距离．P﹣ADMD﹣PAM【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA∵△PCD为正三角形∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=∵平面PCD⊥平面ABCD第18页（共21页）∴PE⊥平面ABCD∵四边形ABCD是矩形∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形由勾股定理得EM=，AM=，AE=3∴EM2+AM2=AE2，∴∠AME=90°∴AM⊥PM（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则V=VP﹣ADMD﹣PAM∴而在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=∴∴∴，即点D到平面PAM的距离为．已知椭圆的左、右焦点分别为（﹣，），（，），是22F1c0F2c0P椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（）直线，是椭圆的任意两条切线，且∥，试探究在轴上是否存在定点，点2l1l2l1l2xBB到，的距离之积恒为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．l1l21B【考点】椭圆的简单性质．第19页（共21页）【分析】（1）由椭圆的离心率为，求出，由此能求出椭圆C的方程．（）设：，：（），两直线分别与椭圆联立，得到22，﹣2l1y=kx+ml2y=kx+nm≠nm=1+2km=，由此利用点到，的距离之积恒为，能求出点坐标，当，的斜率不存在时，nBl1l21Bl1l2点（，）到，的距离之积为．由此能求出结果．B±10l1l21【解答】解：（）∵椭圆的左、右焦点分别为（﹣，），（，1F1c0F2c0），P是椭圆C上任意一点，且椭圆的离心率为，∴=，解得，∴椭圆C的方程为．…（）当，的斜率存在时，设：，：（）2①l1l2l1y=kx+ml2y=kx+nm≠n，△=0，m2=1+2k2，同理n2=1+2k2m2=n2，m=﹣n，设存在，又m2=1+2k2，则|k2（2﹣t2）+1|=1+k2，k2（1﹣t2）=0或k2（t2﹣3）=2（不恒成立，舍去）∴t2﹣1=0，t=±1，点B（±1，0），当，的斜率不存在时，②l1l2点（，）到，的距离之积为．B±10l1l21综上，存在B（1，0）或（﹣1，0）．…第20页（共21页）2016年5月11日第21页（共21页）