null第七节 函数的连续与间断第七节 函数的连续与间断一、函数连续性的定义 一、函数连续性的定义 在很多实际问题中，变量的变化常常是“连续”不断的．例如，气温随时间而变化着，当时间的改变极为微小时，气温的改变也极为微小，这就是说，气温是“连续变化”的．自然界的许多“连续变化”的现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性．这一节里，我们将运用极限来定义函数的连续性．下面先介绍函数增量的概念．null1.函数的增量注：null图1中的函数曲线 (连续)而不间断. 即而图2中的函数曲线却间断. 即2.连续的定义 例1 证明函数y=x2在给定点x0处连续。
证 在x0处，函数的改变量为所以 y = x2 在给定点x0处连续。2.连续的定义null下面给出函数连续的定义的另一种等价形式。null例2证null例3 已知函数 讨论函数在x=0和x=1处的连续性．解 （1）函数f(x)在x=0处有定义，且f(0)=0 因为当x→0时，f(x)的左﹑右极限存在但
不相等，所以极限不存在，函数f(x)在x=0
处不连续．null例3 已知函数 讨论函数在x=0和x=1处的连续性．解 （2）函数f(x)在x=1处有定义，且f(1)=1 因此函数f(x)在x=1处连续．3. 单侧连续定理3. 单侧连续null例4解即不右连续也不左连续 ,null当 k 为何值时, ƒ(x)在 x = 0点连续.解例5null解例54. 连续函数与连续区间4. 连续函数与连续区间null例6证二、函数的间断点由函数在一点连续的等价定义2知, 函数要在一点
连续必有:其中有一个条件不满足就称ƒ(x)在 x0 处间断. 二、函数的间断点二、函数的间断点二、函数的间断点左右极限都存在前提下的间断点,称第一类间断点： 1. 可去间断点例7null解注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.例7null2. 跳跃间断点例8解null第二类间断点例9解这种情况称为无穷型间断点。null例10解这种情况称为振荡型间断点。null解null解null解null解null解小结小结1.函数在一点连续必须满足三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;(见下图)null可去型第一类间断点跳跃型无穷型振荡型第二类间断点null思考题：讨论函数x = -1,第一类跳跃型
x = 0，第一类可去型
x = 1, 第一类跳跃型.的间断点.作业：作业：P95 习题2.8
1.(2)(4)(6) 5. 6.预习：第九节、第十节第八节 连续函数的运算法则
与初等函数的连续性第八节 连续函数的运算法则
与初等函数的连续性定理1例如,一、连续函数的四则运算法则三角函数在其定义域内皆连续.二、反函数的连续性二、反函数的连续性定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.三、复合函数的连续性定理3三、复合函数的连续性极限运算与函数运算可以交换四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★★均在其定义域内连续.null所有基本初等函数在其定义域内都是连续的.一切初等函数在其定义域内都是连续的.也就是说，对初等函数来说，连续区间即为其定义域。null解例：求下列函数的连续区间null解：2、求下列函数的连续区间null是连续函数，确定 k 的值.解例null例 确定常数 a, b, 使为连续函数.∴ 要使ƒ(x)连续，则ƒ(x)就必须在 x = ±1处连续。 null解之，得 a = 0 , b = 1故 当 a = 0且 b = 1时，函数 ƒ(x) 连续。 由定义2可知：
求连续函数在某点的的极限即为求此点的函数值.练习：练习：P99 习题2.9
3.(2) 4. 第九节 函数连续性的应用一、连续性在函数极限计算中的应用第九节 函数连续性的应用初等函数求极限的方法：代入法.例1解能代入就直接代！null例2解例3解能代入就直接代！null例4解恒等变形！null恒等变形！例5解null例6解极限运算与函数运算可以交换nullnull例7解由此结论可得请同学自己推导！ 呀！自己做！null例8解或null例9解null例10解前面已证null例10或解：前面已证null例11解二、闭区间上连续函数的两个重要性质二、闭区间上连续函数的两个重要性质例如,定义:1、最值定理1、最值定理注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .定理1.在闭区间上连续的函数即: 设则使值和最小值.或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大(证明略)点 ,null例如,无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 推论. 推论. 由定理 1 可知有证: 设上有界 .在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定义null几何解释:2、介值定理代数应用:零点存在定理给了大家一个判定方程在某个区间上是否有根以及寻找近似根的方法.null推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 .null几何解释:·null例1证由零点定理,注：利用零点存在定理可求方程的近似根——二分法.null说明:内必有方程的根 ;取的中点内必有方程的根 ;可用此法求近似根.二分法则则例1null例2证由零点定理,null例3证明由零点定理知例4. 设上连续 , 且恒为正 ,例4. 设在对任意的必存在一点证:使令, 则使故由零点定理知 , 存在即当时,取, 则有证明:或作业：作业：P105 习题2.10
(2) (4)
2. (1)(3)(5)(7)
6.
8.(1)
10. (2) null思考题null解答null但反之不成立.
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