一元一次不等式经典例题透析

经典例题透析 INCLUDEPICTURE "http://video.etiantian.com/fav.gif" \* MERGEFORMATINET 类型一：考查不等式的性质 　　1、判断正误. 　　(1)若a＞b，则ac2＞bc2.(　　) 　　(2)若ac2＞bc2，则a＞b.(　　) 　　(3)若ab＞c，则a＞.(　　) 　　(4)若a－b＞a，则b＞0.(　　) 　　(5)若ab＞0，则a＞0，b＞0.(　　) 　　思路点拨: 判断时，要先弄清楚它是以哪条不等式性质为依据的，特别注意的是不等式两边同时乘(或除以)的数或式子的正负. 　　解析：(1)×.当c＝0时，ac2＝bc2.(2)√.此题c≠0.(3)×.当b＜0时，a＜.(4)×.根据不等式的基本性质1，不等式两边都减去a，不等号方向不改变，所以a－b－a＞a－a，即－b＞0.再根据不等式基本性质3，不等式两边都乘－1，不等号方向改变，即b＜0.(5)×.ab＞0，则a＞0，b＞0或a＜0，b＜0. 　　总结升华：要特别注意在不等式的两边都乘或除以同一个数时，必须先认清这个数的符号，如果这个数是正数，那么不等号的方向不变；如果这个数是负数，那么不等号方向改变，另外，在不等式两边不能乘0，乘0后不等式变为等式. 　　举一反三： 　　【变式1】 如果a2x＞a2y(a≠0)，那么x_______y。 　　【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】＞ 　　解析：因为a≠0所以a2＞0，故x＞y。 　　【变式2】如果ax＞b的解集为x>,则a_____0. 　　【答案】＞ 　　解析：由于ax＞b的解集为x＞，∴a＞0 　　【变式3】a是任意实数，下列判断一定正确的是(　　) 　　A、a＞－a　　　B、＜a 　　　C、a3＞a2　　　D、a2≥0 　　【答案】D 　　解析：数a可以是一个正数、零、负数，当a为零时，A、B、C均不成立， 　　　　　而任意数的平方都是非负数，a2≥0. 　　【变式4】如果a＜b＜0，那么(　　) 　　A、　　　　B、ab＜0　　C、＞1　　D、＜1 　　【答案】C 　　解析：因为a＜b＜0，取a＝－2，b＝－1，由此，，知A不正确； 　　　　　又ab＝2＞0，，B、D不正确，所以正确答案为C。 类型二：求不等式的解集 　　2、解不等式：,并把它的解集在数轴上表示出来。 　　思路点拨: 按基本步骤进行，注意避免漏乘、移项变号，特别注意当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。 　　解析： 　　　　　去分母，得2（2x-1）≤6-3（2x+1） 　　　　　去括号，得4x-2≤6-6x-3 　　　　　移项，　得4x+6x≤6-3+2 　　　　　合并同类项，得10x≤5 　　　　　系数化为1，得x≤ 　　　　　这个不等式的解集在数轴上表示如图： 　　总结升华：注意解一元一次不等式的一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为1。同时注意每步的易错点。 　　举一反三： 　　【变式1】若,,问x取何值时，? 　　解析：∵,, 　　　　　若， 　　　　　则有 　　　　　即 　　　　　∴当时，． 　　【变式2】求不等式的正整数解 　　解析：去分母：2(3x－1)≤12－(4－2x)， 　　　　　去括号：6x－2≤12－4＋2x， 　　　　　移项，合并同类项：4x≤10， 　　　　　系数化为1：． 　　　　　因为小于的正整数只有1和2， 　　　　　所以原不等式的正整数解是x＝1或2． 　　【变式3】解不等式：. 　　解析：去分母，得24－2(x－1)≥16＋3(x＋1)， 　　　　　去括号，得24－2x＋2≥16＋3x＋3， 　　　　　移项，得－2x－3x≥16＋3－24－2， 　　　　　合并同类项，得－5x≥－7， 　　　　　把系数化为1，得x≤. 　　　　　把这个不等式的解集表示在数轴上，如下图所示. 　　　　　　　　 　　【变式4】解不等式：，并在数轴上表示它的解集。 　　解析：去分母，得6x－（7x+8）≤6+3x 　　　　　去括号，得6x－7x－8≤6+3x 　　　　　移项，得6x－7x－3x≤6+8 　　　　　合并同类项，得－4x≤14 　　　　　系数化1，得x≥。 　　　　　不等式的解集在数轴上表示为如下图 　　　　　 类型三：构建不等式求解 　　3、a取什么值时，由方程3x－2＝a解得到的x值， 　　(1)是正数？(2)是0？(3)是负数？ 　　思路点拨：这是一道既涉及方程，又涉及不等式的综合题，它可以分为如下四个“小题”：(1)解含有字母系数的方程3x－2＝a，求x的值.(2)a取什么值时，x的值是正数？(3)a取什么值时，x的值是0？(4)a取什么值时，x的值是负数？ 　　解析：解方程3x－2＝a，得. 　　　　　(1)根据题意，解不等式，得a＞－2. 　　　　　所以，当a取大于－2的值时，x的值是正数。 　　　　　(2)根据题意，解方程＝0，得a＝－2。所以，当a的值为－2时，x的值是0. 　　　　　(3)根据题意，解不等式＜0，得a＜－2. 　　　　　所以，当a取小于－2的值时，x的值是负数。 　　总结升华：由上述可知，数学综合题可以看成是几个互相关联的“小题”组合成的一个“大题”.解题时，应当先对综合题进行分析，把它分解成几个互相关联的“小题”，并逐一解答这些“小题”，然后把分析所得的结果综合起来，从而求出综合题的答案. 　　举一反三： 　　【变式1】当x取什么值时，式子的值为(1)零；（2）正数；（3）小于1的数。 　　解析：用执果索因法可得： 　　（1）＝0　解得：x＝2，所以当x＝2，为零；　 　　（2）＞0,3x－6＞0，∴x＞2，所以当x＞2，为正数； 　　（3）＜1,即3x－6＜5,也即3x＜11，∴x＜，所以当x＜时，小于1. 　　【变式2】当x取哪些正整数时，代数式的值不小于代数式的值？ 　　解析：根据题意，列出不等式≥。 　　　　　解这个不等式，得x≤4。 　　　　　∴当x取正整数1、2、3、4时，代数式的值不小于代数式的值。 类型四：不等式的实际应用 　　4、为了能有效地使用电力资源，某市电业局从今年1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电千瓦时0.56元(“峰电” 价),22：00至次日8：00每千瓦时0.28元(“谷电” 价),而目前不使用“峰谷”电的居民用电每千瓦时0.53元.当“峰电”用量不超过每月总电量的百分之几时,使用“峰谷”电合算? 　　思路点拨: 一元一次不等式应用题的解法与列一元一次方程解应用题基本相仿，关键是找出不等关系，列出不等式，即可求解。 　　解析：设当“峰电”用量占每月总用电量的百分率为x时,使用“峰谷”电合算,月用电量总量为y。 　　　　　依题意得0.56xy+0.28y(1－x)＜0.53y. 　　　　　解得x＜89℅ 　　答：当“峰电”用量占每月总用电量的89℅时，使用“峰谷”电合算。 　　总结升华：寻找不等关系是解决应用问题的关键 　　举一反三： 　　【变式1】工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？ 　　【答案】设后几天每天平均完成x土方，根据题意，得 　　　　　　 60＋(6－1－2) x≥300 　　　　　　 解之得x≥80 　　答：每天平均至少挖土80土方。 　　【变式2】张玲有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总面值大于10.5元。问张玲至少有多少枚1元的硬币？ 　　思路点拨: 以“硬币的总面值大于10.5元”为不等量关系，列不等式。 　　解析：设张玲至少有x枚1元的硬币，根据题意，得 　　　　　x＋0.5(15－x)＞10.5，解这个不等式，得x＞6。 　　　　　所以张玲至少有7枚1元的硬币。 　　【变式3】将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分不到8个苹果，求这一箱苹果的个数与小朋友的个数。 　　解析：设有x个小朋友，则苹果为（5x+12）个， 　　　　　根据题意，得0＜8x－（5x+12）＜8。 　　　　　解这个不等式组，得4＜x＜。 　　　　　因为x是正整数，∴x取5或6。 　　　　　当x＝5时，5x+12＝37。 　　　　　当x＝6时，5x+12＝42。 　　答：如果有5个小朋友，则苹果有37个；如果有6个小朋友，则苹果有42个。