《中学数学杂志》(高中)2002年第5期 27
关于函数单调性的两个问题
浙江兰溪第一中学 321100夏福舟
利用函数单调性解题，包括解不等式、求最值、
比较大小乃至于解方程是时下比较热门的话题．然
而，一个不可忽视的一个现象是，自2000年全国高
考试题
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中出现由单调性求参数的取值范围后，各地
模拟试题中对单调性已经不仅仅局限在后面——
即应用单调性解题，有相当一部分试题改变了问题
的切入点，转而考查确定单调区间或者(由单调性)
确定参数的取值了．这两类问题更强化了对单调性
的理解及应用．
问题1 求函数y=厂(z)的单调区间．
事实上，这种问题要求划分函数的单调区间，还
要求判断各区间上的单调性，区间的划分是关键．
倒1 求函数，(z)=z2+÷在(o，+o。)的
单调区间．
解析一 任取0
Z1Z2
丢笔21)，即在(o，+∞)上不具备单调性·
为此，需要找出恰当的临界值(比如A)使得z
∈(0，A]上(或者在[A，+oo)上)函数，(z)具有
单调性．
不妨令zI—z2，此时z2+zl一—≠≥+222一
与，由222一专=o解得z：=l(因为z2>o)，即
z2 上2
z=l应为I临界点．下面我们来证明函数／’(z)=
T2+÷在(o，1]或在[1，+oo)上具有单调性．
(1)当0<丁l2，故z2+上l—i乞o，所以(z2一z1)(z2+z1一=』寰)<
o，即函数，(z)=z2十÷在(o，1]上是单调递减．
当1≤z12，z2zl>l，从
而三乞<2，故zz十zt一丢暑>o，而zz—zt>山1工， 山l^，
o，所以(z2一z1)(z2+zl一：』乏)>o，即函数
厂(z)=z2+÷在[1，+oo)上是单调递增．
综上所述，函数厂(z)=z2+÷的单调递减区
间是(0，1]，单调递增区间是[1，+o。)．
点评 使z，一z：，并由(★)=0解方程求出
z：的值，是本题得解的关键所在，不妨称此种方法
为逼近法求临界点．
解析二 由z2十三=z2+』+土≥
3√z2·丢·{=3(其中等号当且仅当z2={，
即z=l时成立)，所以当z=1时取得最小值．从
而我们猜测z=1为分界点．下面只要分(0，1]和
[1，+o。)证明它的单调性就可以了．
点评 此种利用基本不等式来求出临界点的
方法，胜在一个“巧”字上．但是并不是所有的此类
题目都可以用基本不等式来完成的，用逼近法来求
出临界点还是应该为常用的方法之一．例如：
例2 设函数厂(z)=z3—3z，试确定该函数
的单调区间，以及每一单调区间上的函数的单调性．
解析 由该函数的奇函数的特征，我们只需考
虑它在[0，+o。)上的单调性．
任取0≤z1O
铮[19(救2—1)一lg(z2—1)]>[k(甜1—1)一
lg(zl—1)](10≤zl筹Z'一1 上1一上
错n(z1一z2)>z1一z2甘n<1．
但．厂(10)有意义，必须lO口一1>0，
即口>0．1，故口∈(0．1，1)．
例4是否存在常数忌∈R，使函数“z)=z4
+(2一忌)z2+(2一忌)在(一oo，一1]上是减函数，
且在[一1，0)上是增函数?
解析一 任取z，0恒成立，即是1+1+2=4，因
此，当愚≤4时(*)<0恒成立，即是≤4时函数
，(z)在(一o。，一1]上是减函数．
同理，当一1≤z，0对任意的一l≤
z。z；+z；+2，而z；
+zi+2<4，故最≥4．
由上可知存在常数愚=4，使函数．厂(z)=z4+
(2一”z2+(2～是)在(一oo，一1]上是减函数，且
在[一l，0)上是增函数．
点评 从定义出发，将函数在指定区间上具备
单调性，转化为不等式恒成立的问题．从而可通过
分离参数求极(最)值的方法来得到参数的取值，简
称为极(最)值法求参数。
解析二 不妨设￡=上2，则原来的函数转化为
．厂(z)=^(f)=f2+(2一是)f+(2一忌)，那么问题
就等价于是否存在常数是∈R，使函数^(f)=f2+
(2一是)f+(2一是)在(0，1]上是减函数，且在[1，
+oo)上是增函数．这就只需要一生≯=l，故是=
4．
点评 利用常见的基本初等函数的单调性来
求参数，也是一种常用方法．下面再举两个例子．
例5(2000年高考题)求实数口，使得函数
，(z)：／≯雨一鲋在(o，，革oo)上具有单调性．
解 任取00，即压蒜如或孺精Ⅺ
恒成立．事实上，由
o0，函数，(z)
=~／z2+l一∞在(0，+o。)上是增函数．
例6 已知，(z)=2，眦一623，z∈(0，1]，m
∈(3，+o。)，求，(z)的最大值．
解 由，(z)=2z(，n一322)
=~／422(m一322)2
≤以■亟云孕五虿珂
4m石
2—百一‘
等号当且仅当622=m一322，即z=乓导时
成立．但是z∈(o，1]，因此，之}≤1，即优∈(3，
9]时，^z)一=学．
当m∈(9，+o。)时，考虑函数的单调性，有
厂(z：)一厂(z。)=2聊(z：一z。)一6(zi—zj)
=2(z2一zI)[，聍一3(z；+zlz2+z；)]，由z；+
T。z：+z；<3及研>9可知函数在(o，1]上是增
函数，所以，(z)一=，(1)=2”z一6．
万方数据
关于函数单调性的两个问题
作者： 夏福舟
作者单位： 浙江兰溪第一中学,321100
刊名： 中学数学杂志（高中版）
英文刊名： ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(GAOZHONGBAN)
年，卷(期)： 2002(5)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsxzz-gzb200205010.aspx
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