三角解题莫被误区“撞了腰”

三角解题莫被误区“撞了腰” 三角解题莫被误区“撞了腰” ?18?理科考试研究?效学版2005年7月1日 三角解题莫被误区"撞了腰" 劳建祥 三角函数在高中数学中有着重要的地位, 在近五年的高考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 中,有关三角函数的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 平均每年约有25分左右,占了17%之多,特别 是数学的严谨性在三角函数这部分内容中体 现得淋漓尽致.学生在学习这部分内容时,因 概念理解不透,审题不严,考虑不周或忽视隐 含条件致误者时有发生,学生习作中"会而不 就三角解题而言,一些含 对"的现象非常普遍, 蓄的已知条件的探掘和利用,不仅是解题的关 键,而且对培养学生的观察力,提高综合分析 能力,增强思维的深刻性,缜密性都极有益处, 本文拟通过实例就解三角题时存在的典型解 题误区作些归纳整理,并加以剖析,供参考. 例1已知锐角口,卢,y满足sina—sinfl =一sin?',(2OSQ—cos#:?sy,求口一卢的值. 错解由题设 Jsina,sinfl=一sin?', I(2OSQ一?6卢0os7. 两式平方相加,得 2—2cosf一p)=1, 即cos(口一p)=去, ' . '0<口<詈,0<卢<鲁, ? ? ? 一 号<a一卢<号, .'t . ' .a一卢=?詈. 剖析上述解答看起来条理清楚,推理顺 畅,解答结果也似乎正确.但如果"回头看看", 我们会发现题目给出的条件"锐角a,卢,y满足 sina—sin卢=一sin?',(2OSQ一?6卢=0os7"还没 有被"彻底"挖掘.大家想一想,由"锐角a,,y 满足sina—sinfl=一sin?'"能确定口与的大小 关系吗?当然能! 正解同上可得cos(口一p):百1, ? ? '0<a<号,0<卢<号, ? ? ? 一 号<a一卢<号, 又.'sina—sin=一sin?'<0, . ' . 口<, . ? . 一 罟<口一卢<0, 故a一卢=一号. 例2已知sina=,s.m(a+)=詈,a, p均为锐角,求?s卢的值. 错解.'0<a<罢, . ? . cosa==. .'t.It—止.j止.'l上.j止 .一时厂(X)<0;X>X2时,厂(X)>0.因此, z.是f(x)的极大值点,X2是f(x)的极小值点. (2)将函数不等式转化为代数不等式,注 意极值点的横坐标的意义,使用根与系数关系 整体代入构建不等式解参数范围. f(z1)+f(x2)?0, . ' . (z1+z2)【(z1+z2)一3xIz2]一(1+ J.L" 口)[(Xl+X2)一2xlX2]+口(z1+X2)?0. 由/()=0的根与系数关系知 1一 Xl+X2=专(1+n),X1oq72=号 代入有2a—5a+2?0, 由口>1解得口?2时,不等式厂(z1)+ (z2)?0成立. 【作者单位:(723300)陕西洋县中学】 2005年7月1日理科考试研究?数学版?19? 又...0<<詈, ? . .0<口+<,r, . . . ?s(口+)=?~/1一sin2(口+) =?詈, . . . ?6=cos[(口+)一口] =cx~s(口+p)cos~+sin(~+p)sma = (?了3)×毒+了4×百12 6333 葫或葫. 剖析此题错误更为隐蔽,事实上由已知 可知: sin(a+)<sina, 若a+?(0,),则根据正弦函数的单 调性可知 口+<口,<0, 这与已知为锐角矛盾! 由上可知0<口+<罢不成立, 即吾<口+<,r, . . . ?s(口+)=一詈, . ? . =葫33. 例3要得到函数y=sln(~-一2)的图 象,只需将函数Y=sin(一2x)的图象() (A)向左平移詈个单位 (B)向右平移詈个单位 (c)向左平移垩个单位n (D)向右平移詈个单位 错解选(A)或(B)或(C). 剖析根据"五点法"作图,函数= s.m(一2)的第一点横坐标一2=0,即:0. 函数=sin(-2x)的第一点横坐标要一2: 0,即=Z不-.由=0到=Z不-知,将函数 sin(一2x)的图象向右平移詈个单位得到函 数Y=sIm(詈一2x)的图象. 正解选(D). 例4已知函数Y=Asin(+)(A> 0,叫>0,一,r<<,r)图象上的一个最高点 为P(~-2,3),由这个最高点到相邻最低点问的 曲线与轴交于点Q(,0),求这个函数的表 达式. 错解由题意有A=3,' T,r,r 了一, . ? . T=,r'...=,r,即叫:2. 这时函数表达式为Y=3sin(2x+), ' . '函数图象过点Q(詈,0), . ' . Sin(专,r+)=0, ? . .一 亏7r(正?z). ' ? ' 一,r<<7r, ? . - 一 号不或=号. 故所求函数表达式为=3sin(2一) 或Y=3sin(2x+3-). 剖析以,r为最小正周期,振幅为3且过 点Q(号,0)的曲线有二条(如图所示),这二种 f' 吾\0}. .3 ? 20?理科考试研究?数学版2005年7月1日 情况的图象关于z轴对称,但只有函数Y= 3sin(2z+号)的图象过点P(,3),故上述结 果是错误的. 正解前同上, . ? .函数图象过点P(,3), ? ' ? sin(詈+)=1, . . =2是7r+号(k?Z). ? . ? 一 7r<<'.=号, 故所求函数表达式为=3sin(2x+等). 注防止此类错误发生的有效方法是在 确定值时应尽量避免取零点,改取最大值或 最小值点. 例5函数z)2 一 ta ta r~ n x的最小正周 /期是() (A)号(B)号(c)不(D)2不 错解'?')=2二-tanx=tBI'I2X, . ? . 所求最小正周期是, 故选(B). ~lgi:不妨取.=0,则f(x.+专)无 意义,以上锚解没有考虑到题中函数的定义域 隐含的条件,误认为原函数与函数tan2z等价. 实际上,原函数中z??--不f且z?+号 (k?Z),而由函数tan2z中只有z?k7r+ (k?z),显然变形后扩大了原函数的定义域, 故应为原函数与函数f(x)=tan2z(z?? 号且志?志+号,k?z)是等价的.因此要确 定原函数的最小正周期,应结合图形考虑,作 图后发现,应选(C). 注使用含有"切","割"的三角公式时, 需要注意公式的适用条件;在对含有"切"或 "割"的函数式化简时,不能忽视"切","割"函 数的定义域. 例6已知A是三角形的内角,且sinA+ cosA=1 ,求sinA一?sA. 错解..'sinA+cosA=1, 两边平方得:1+2sinA?=1, . '.SimA:一, . ' . (sinA一?) =sin=A一2sinAcosA+)s2A =1—2sinAc~A=49 , . ? . SimA一=?吾. 剖析没注意隐含条件A为三角形的内 角,N0<A<7r,由SimA=一罢<0知 sinA>0,cosA<0,故sinA—cosA>0. 正解同上得(simA一?)=49, ' . 'A为三角形的内角, . ' . 0<A<7r. ' sinAcosA=一<0, . ' . sinA>0,cosA<0, . ' . sinA—cosA>0. . ? . sinA一=吾. 例7在?ABc中,sinA:3 ,cosB: 1 5 3,求cosC的值. 错解'.'SimA=了3,. ? . ?=?号. 又'.'?SB=5 ,. ? . sinB=12 , . ' . o.6C=一oo~(A+B) =一c~AcosB+sinAsinB =一 (?了4)×蠢+了3×百12 56_ --- p:16 ? 2o05年7月1日理科考试研究?数学版 剖析先不妨验证一F,易知 sinA=sinBoosC+cosBsinC. 故3=oosc+丢s.mc, cosC=56测sinC=嚣, 代人上式知其不成立; cosC=16 , inc=篡, 代人上式知其成立. 可见,上述解法看似正确,其实有假,错在 哪里呢? ' . ' 在AABC中,有 sinA<sinBCCa<bCVA<B. . ? . 由sinB=>了3=Sir知B>A. ? . 'o0sB=5'.. . o<B<号, ? ? ? 0<A<争 故=4, )k~iicosC=61_ 5 6 . 例8是否存在角口,卢,a?(一号,号),卢 ?(0,,r),使等式 jsin(3,r—a)=oos(号一卢), 瞄(一.):一瞄(+卢). 同时成立? 错解1将已知转化为 jsin口=.~sin,8? oosa=? ?+?得sin2口+3(1一s.m2口)=2, . ' n2a=丢,=?. ? ? ? 一 号<a<号, .,r不 一 .觋.一' 当a=号时,由?得si=, 又卢?(o,,f)'..?J9=詈或警; 当a=一号时,由?得sinfl=一1, 又J9?(0,,r),此时J9不存在, . ? . 存在a=号,|I9=詈或a=号,|I9=5_6E .使两个等式同时成立. 错解2同上得a=号或a=一号. 当a=普时,由?得?=2, 又p?(0,,r)'..?p=詈, 当a=一号时,由?得?=2, 又J9?(o,,r),???J9=詈, ? ? ? 存在a=号,卢=詈或a=一号,卢= 詈使两个等式同时成立. 剖析上述两种解法顾此失彼. . 同上得a=号或a=一号后, 当a=号时,由?式知?>0, 故?(0,号),此时卢=詈. 当a一号时,由?式得=一1<o, 又卢?(0,7r),此时J9不存在. ? ? ? 存在a=号,卢=詈使两个等式同时成 立. 例9已知sinx+shay=了1,求Si一 的最大值. 错解由si+si=了1得: . 1. smy了一sm, 代人shay一得: shay一z=(s一1)一11, . ' 一 1?sinz?1, . ? . 当SiIu=一1时,取最大值. 理科考试研究?数学版2005年7月1日 剖析上述解法虽然注意到了si眦的 界性,但却没有注意到si眦=一1,会导致sin3, = 号一(一1)=了4>1的矛盾,根源在于未能 从sin.z+siny=1中发掘出更深的隐含条件, 即一号?s?1. 正解由si眦+siny=1得: .1. ..一..眦' . . . 一 1?siny?1, . ? . 一 1?丢一Si眦?1, 故一号?si眦?了4, 又.一1?sinx?1, . . . 一 ?sinx?1, 而sin一.=1 一sinx一(1一sin) = (sinx—1)一11, . ? . 当sinx=一时, siny-取最大值吾. 评注求解三角函数问题时,许多三角式 本身隐含了一些条件,在解题过程中若不能挖 掘出来,就会出现类似sin=4的错误,应引 起重视! 例10若sin=4 _'S 3i ='且a,卢 为锐角,求口+的值. 错解'..a为锐角, . ? . oosa==. ' . ' 为锐角, . ? . oos卢=:3,/Y6 , . ? . sm(a+卢)=Sinacos~+cossinfl=. . '0.<口<90",0.<<90., . ' . 0.<口+<180., 故口+=45.或135.. 剖析上述解法欠严密,仅由sin(a+卢) = 及0.<口+卢<180",而得到口+卢=45. .=J~135?是正确的,但实际上由sin口:43<1 , 如卢=<1知0.<a<30.,0.<卢< 30.,因此0.<口+<60.,故上述结论是错 误的. 正解一同上得sin(a+卢)=. ? . . sina=<1 ,Si=<, . . .0.<口<30.,0.<<30., . . . 0.<口+卢<60.,故口+卢=45.. 正解二此题求cos(口+)比求sin(口+ 卢)好,这是因为0.<口+卢<180.,已知o06(口 +卢)的值,相应的a+卢的值只有一个,而已知 sin(口+卢)的值,相应的口+卢的值有二个,此 时还需将其范围缩小,比较麻烦.. ? . ' a,卢为锐角,sina=,sin卢=, . 2一3 _. 瞄.了,oos/s可, /-fi- . ' . o06(口+卢)=oosaoos~一sinasin/~=v一. . ..0.<口+<180., . . .口+=45.. 注已知角的范围求角时,应注意选择函 数名,处理适当有利于问题的解决. 上面这些错解都是因为忽视了解题中的 "小节",或是未挖掘隐含条件,或是非等价变 形,因此审题一定要严谨,有据,仔细.通过充 分暴露思维过程,由表及里,去伪存真,从中可 以培养我们的思维品质,提高思维能力,促进 思维品质的优化. 【作者单位:(31200o)浙江省绍兴市鲁迅中学】