1. 已知被控对象的传递函数为Gp(s)=
,试用模拟法设计一个数字控制器D(z),使闭环系统满足下列性能指标:
A:静态速度误差系统Kv
10
B:超调量
C:调节时间
具体过程要求:1。先用模拟法设计出D(s)2.将其转换为D(z)3.分别检验是否满足要求性能指标(其中对超调量和调节时间要有仿真研究,要有仿真曲线)4.并写出数字控制器的具体实现——差分方程 5. 如果采用数字控制器,利用位置型控制算法,试确定PID控制器参数。
解:做原系统的BODE图与阶跃响应曲线,检查是否满足题目要求。得到曲线图如下:
图1原系统阶跃响应曲线
图2原系统bode图
由图可知原系统的性能指标(程序见附录1):
①调节时间为ts=3.79s >1s,超调量
>
,不满足要求;
满足要求。
②幅值稳定裕度:Lh=20lg(Gm)=
dB ,-
穿越频率:
rad/s ,相位稳定裕度:
EMBED Equation.3 ,剪切频率:
4.25rad/s 。
分析可知,需要对原系统采取如下措施:加快反应速度,降低超调量,适当增大相位稳定裕度,这样我们可以设计超前校正器D(s),再将其离散化为D(z),其过程如下所示:
⑴设计超前校正器传递函数
设超前校正器传递函数为
,设定校正后的相位稳定裕度为
EMBED Equation.3 则
,又
;超前校正器传递函数计算(程序见附录1)可得:
=
⑵校验校正后系统性能指标
Gp’(s)=D(s) Gp (s)=
*
图3校正后连续系统阶跃响应曲线
图4校正后连续系统bode图
由图可知原系统的性能指标(程序见附录1):
①调节时间为ts=0.721s <1s,超调量
<
,
满足要求。
②幅值稳定裕度:Lh=20lg(Gm)=
dB ,-
穿越频率:
rad/s ,相位稳定裕度:
EMBED Equation.3 ,剪切频率:
7.28rad/s 。
可见所得超前校正器传递函数满足设计要求。
⑶校正器传递函数的离散化:
采用零阶保持器法离散化D(s)系统中加入加零阶保持器
(程序见附录1),其中采样周期取T=0.1s,可得
=
由
得
EMBED Equation.3 即有
转化到时域内,则得其差分方程为
校正后离散系统阶跃响应曲线绘制如下(程序见附录1):
图5校正后离散系统单位阶跃响应
由图5可知调节时间为ts=1.8s>1s,超调量
>
,显然加零阶保持器离散系统与校正后的连续系统相比,快速性和瞬态特性变化显著。假如我们将图5中第2、3、4点用第1点与第5点连线与y=2T、3T、4T交点来代替,同时将tp=0.7s,Mp2=1.20作为第一峰值点,此时
<
满足要求, ts=1.8 s>1s系统快速性欠佳。
2.计算机控制系统如下图所示,对象的传递函数
,保持器模型为
,采样周期T=0.5
,系统输入分别为单位速度函数和单位阶跃函数时,试设计最少拍调节器D(z),并计算书出相应y(k)、控制信号u(k)、误差e(k)并用仿真曲线表示系统的输出响应。
SHAPE \* MERGEFORMAT
解:
由此可知:
G(z)的零点:-0.718(单位圆内),
(单位圆外);极点:1(单位圆上),0.368(单位圆内)故m=1,u=0,v=1。根据稳定性要求G(z)中z=1的极点应包含在
的零点中,由于系统针对单位速度输入时q=2 ,单位阶跃输入时q=1。
(1) 输入为单位速度函数R(z)=
时,q=2,q+v-1=2。由于G(z)包含一个单位圆上的极点z=1,即w=1,则q+v-w-1=1故有:
由
解得
即
又p=2,m+u+q-p-1=0,故
=
由
可得
转化为差分方程:
输出响应仿真曲线如下(程序见附录2):
图6系统单位速度响应曲线
(2) 输入为单位阶跃函数R(z)=
时,设计最少拍调节器D(z)
为了满足准确性要求另有
=
,
由
可得
转化为差分方程:
输出响应仿真曲线如下(程序见附录2):
图7系统单位阶跃响应曲线
附录1
%原系统阶跃响应曲线与原系统BODE图
num=[0 0 10];den=[0.5 1 0];
s1=tf(num,den);
sys=feedback(s1,1);
figure(1)
step(sys)
grid
figure(2)
[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(s1)
margin(s1)
grid
%计算系统超调量sigma,调节时间ts,速度稳差系数kv
syms zeta sigma s Gb
zeta=1/(20^0.5)
sigma=2.7182^(-pi*zeta/(1-(zeta)^2)^(1/2))
ts=4/(zeta*(20^0.5))
phib=20/(s^2+2*s+20)
[Gb]=solve('20/(s^2+2*s+20)=Gb/(1+Gb)',Gb)
kv=limit(s*Gb,s,0)
%计算校正器传递函数
n1=10; d1=conv([1 0],[0.5 1]);
sope=tf(n1,d1);
[mag,phase,w]=bode(sope);
gama=45;
[mu,pu]=bode(sope,w);
gamal=gama+5;
gam=gamal*pi/180;
alfa=(1-sin(gam))/(1+sin(gam));
adb=20*log10(mu);
am=10*log10(alfa);
ca=adb+am;
wc=spline(adb,w,am)
T=1/(wc*sqrt(alfa));
alfat=alfa*T;
Gc=tf([T 1],[alfat 1])
%校验校正后连续系统性能
num1=[0 0 10];den1=[0.5 1 0];
num2=[0.3774 1];den2=[0.05 1];
s1=tf(num1,den1);
s2=tf(num2,den2);
s=s1*s2;
sys=feedback(s,1);
figure(1)
step(sys)
grid
figure(2)
[Gm,Pm,Wcp,Wcg]=margin(s)
margin(s)
grid
%零阶保持器法离散化D(s)
dnum1=[0.3774 1];dden1=[0.05 1];Ts=1;
sysc1=tf(dnum1,dden1);
sysd2=c2d(sysc1,Ts,'zoh')
%校正后离散系统单位阶跃响应(零阶保持器法)
dnum1=[7.548 -6.548];dden1=[1 -2.061e-009];Ts=0.1;
sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts);
num2=[10];den2=[0.5 1 0];
sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh');
sysd=sysd1*sysd2;
sysbd=feedback(sysd,1);
[dnum dden]=tfdata(sysbd,'v');
t=0:1:30;
y=dstep(dnum,dden,t);
stem(t,y,'r','filled')
grid
附录2
%输入为单位阶跃函数时输出响应
dnum1=[2.72 -1];dden1=[1 0.718];Ts=0.5;
sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts);
num2=[2];den2=[0.5 1 0];
sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh');
sysd=sysd1*sysd2;
sysbd=feedback(sysd,1);
[dnum dden]=tfdata(sysbd,'v');
t=0:5
y=dstep(dnum,dden,t)
stem(t,y,'r','filled')
grid
%输入为单位速度函数时输出响应
dnum1=[5.44 -4.722 1];dden1=[1 -0.282 -0.718];Ts=0.5;
sysd1=tf(dnum1,dden1,Ts);
num2=[2];den2=[0.5 1 0];
sys2=tf(num2,den2);
sysd2=c2d(sys2,Ts,'zoh');
sysd=sysd1*sysd2;
sysbd=feedback(sysd,1);
[dnum dden]=tfdata(sysbd,'v');
t=0:.5:6;u=t;
y=dlsim(dnum,dden,u);
stem(t,y,'r','filled')
axis([0,6,0,6])
grid
� EMBED Equation.3 ���
Gc(z)
HG(z)
D(z)
H0(s)
G(s)
Y(s)
R(s)
Y(z)
_1296816986.unknown
_1296817034.unknown
_1296817042.unknown
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