动脉血管组织的超弹性模型与应力_应变关系

第 �� 卷 增刊 � ��� 年 � 月 北 京 工 业 大 学 学 �� � � � ! ∀ � � � � �� � � � �� � � � �� � � � � �� , �� �� � � � � �� � �� � 动脉血管组织的超弹性模型与应力一应变关系 刘 君 , 杨庆生 �北京工业大学 机械工程与应用电子技术学院 , 北京 ��� ���� 摘 要 � 为了研究血管的超弹性能 , 建立了动脉血管的 � 种各向同性超弹性材料模型 � 应用三维有限元方法对 血管的双向拉伸实验进行模拟计算 , 通过与实验结果 比较证明 , 在一定变形范围内, 血管为各向同性超弹性材 料 , 它的应力一应变关系可以用这 � 种模型表示 , 在不同的变形范围内 , 血管内各类纤维的走向和性能决定血管 的宏观力学性能 � 关镇词 � 血管 � 超弹性 � 有限变形 � 有限元 � 本构关系 中图分类号 � � � ��� � � 文献标识码 � � 文章编号 � �� �� 一 � �� � �� �� ��增刊 一 � �� � 一 �� � 介绍与回顾 血管是典型的生物软组织 , 宏观力学性能具有典型的非 线性和钻弹性等特性 , 这是 由其生理结构决定的 , 见 图 �� ’〕� 一般说来 , 血管共分为 � 类〔‘��弹性血管和肌肉血管 � 弹性血 管的直径通常较大 , 一般分布在心脏附近 , 如大动脉 、 颈动脉 、 骼动脉等 �肌肉血管多分布在肢体上 , 直径通常较小 , 如股动 脉 、腹动脉 、 脑动脉等 � 血管具有明显的层结构 , 可分为内 、 中、外 � 层 , 分别由内弹性膜和外弹性膜分隔开 , 力学性质明 显不同�� � 内层最薄 , 为一层基膜 , 上面附着一层内皮细胞 � 在年轻人的肌肉血管中 , 内层很薄甚至不存在 , 对血管壁的力 学性能不起什么作用 � 中层最厚 , 由平滑肌细胞 、 弹性纤维 、 胶原纤维及多层弹性膜构成的三维网状结构 , 呈螺旋状分布 � 因为螺旋爬升的角度很小 , 所以中层的纤维近似环形分布 , 使 图 � 动脉血管的细观结构 中层能承受很大的载荷作用 � 外层的厚度介于内 、中层之间 , �� � � � � �� �� !�∀ �� � �� �� 。�� � �� 由生产胶原纤维和弹性纤维的纤维原细胞 、 细胞基质 、大量束 状胶原纤维交错组成 , 纤维排列与中层相比较为杂乱 , 外层外面包围着大量疏松结缔组织 � 胶原纤维的数 量多 , 它的形状呈波形并沿小角度螺旋状爬升分布 , 在变形较小时 , 主要 由中层的弹性纤维来抵抗载荷作 用 , 可视为各向同性体 �当变形加大时 , 胶原纤维被拉伸 , 此时血管的刚度明显增大 , 表现出各向异性的材 料性质 � 另外 , 人体不同部位的血管结构也大不相同 , 例如在脑血管中 , 仅仅有内 、 中层而没有外层�‘〕� 最先对血管进行研究的是 � �� � 等人〔� 一 ��, 他们提出的血管模型至今仍广为应用 � � �� �� �� �� “一 � �等人 在 � � � � 工作的基础上对模型进行了简化 , 忽略了血管壁厚方向的变形 , 将血管简化为膜材料 , 运用有限 元方法求出血管的应力与应变并与实验结果作比较 , 通过实验证明 ��� � 的模型较为刚性化 , 不能描述血 管壁完整的应力一应变关系 � 人们通常对血管进行如下基本假设 ��� 血管壁是不可压缩或近似不可压缩材料 ��� 完全的超弹性体 � �� 具有各向同性性质 ��� 没有残余应力和应变 � 对于假设 � 、� , 学者们没有疑问 , 但假设 � 、� 却受到普遍质 收稿日期 � �� � 一� �一 �� � 基金项目 � 国家自然科学基金 ���� �� � ! , � ��� � �� �, 北京市优秀人才专项资助��� �� ��� �� �� �� � � 作者简介 � 杨庆生��� ! 一 � , 男 , 河北故城人 , 教授 � Administrator 线条 Administrator 线条 Administrator 线条 Administrator 线条 Administrator 线条 �� 北 京 工 业 大 学 学 报 �� � 年 疑 � 简单却经典的例子就是将一段血管纵向剪开一个小豁口后 , 血管会在豁 口处张开一定角度 , 这是 由于 解剖后从活体中取得的血管具有残余应力 , 在豁 口处得到应力释放的原因 � 与经典的弹性理论不同 , 在发生大变形的条件下 , 仅用弹性模量不能描述血管的应力一应变关系�� , 需要使用应变能函数—势能函数表示 , 一般是右柯西一格林应变或主伸长率表示的函数 � 应力的具体表达式直接从应变能函数推导出 , 作者将血管模拟成近似不可压缩材料 , 采用经典的 � �� � �� ��� � 材料和 主轴超弹性材料来模拟血管 � 这 � 种材料分别用右柯西一格林应变和主伸长率来表示应变能函数 � � 超弹性模型 � � � � � , � �� � � � � 材料 � �� 一� �� ��� � 材料通常用来描述各向同性的超弹性橡胶类材料 � 近似不可压缩 � �� 一 � �� ��� � 材料的 势能函数表达式为 �� 必�� �� 必�� �� � �� � �� � 式中 , 必�� �为畸变能 � � �� 为体积应变能 �� 为右柯西一格林应变张量 � � 二 �� �� 表示体积变量 � 由于 必 �� �� 必�亡�, 式 �� 可以分别表示为 、、,、矛�产�八�了‘、、亨了、、一合�‘�亡一 � � �� 一 � ��付�一�一一 必�� � � �� � 式中 , 产 为材料的拉梅系数 , 与泊松 比 。 和杨氏模量 � 的关系为 产 二 ���� � 。�’ ‘ 为体积模量 � 把式�� 对 � 求导可得第 � � �� � 一�� �� � �� �� 应力�简称第 � � 一 � 应力 �的表达式为 、�产、�产、�了�‘�反�了�、护‘、了�、、 � 一 �半 一 �罕 一 。 旦卫亚� ‘ , 丫 八 �� � � �将式�� �、 ���代入式�� �中可得 � 旦半立一 、号�� 一晋�·�� 一� 式中 , � 表示单位 � 。 丝互‘ , , 入 一� � � � 阶张量 , � ‘ �� 一 � ��� 一 � 整理可得 、,、产�产�了只�了�、�‘、 � 之� � 川 � , 一冬�� ��� 为了在欧拉坐标系下实现有限元计算 , � � � 一 �万� � � �� “ , 一 ‘,�� 一 ‘ 需要将第 � � 一 � 应力 � 转换为柯西应力 。 , 式中 , � 是变形梯度张量 �� 二 �� � � 将式 �� 代人到式 �� 中 , 可以得到 一、 一普�卜告小 ‘ �� 一 ��, � 一 式 中 , � 为左柯西一格林应变张量 �� � � � � � 材料的本构关系可以表示为 口�� � � ��走声走� ��� ��� � 式中 , � � ‘为 � 阶欧拉弹性张量 �也称物质弹性张量 �分 量 � 。 一 � 器� 。 表示 阿尔曼西应变 , 。 一 �, �� 一 ‘��� �。沙 ,的表达式为 ·�� ‘一 �、 一晋�合�·。。‘、。, 一告, 。。�, 一告�。。走, �合� �。�。爪‘〕� · �, 一 � ���。。�, 一 �。谈。‘� ���� � � � 主轴超弹性材料 在许多以实验数据为基础构造的本构关系中 , 常以主方向 � 。 �。 一 � , � , �的伸长率 又。 �。 一 �� � � �来表示应变 Administrator 椭圆 Administrator 线条 Administrator 线条 Administrator 线条 增刊 刘 君等 � 动脉血管组织的超弹性模型与应力一应变关系 能函数 � � 。 �。 一 �� � , � 、 � 。 �。 一 � , � � �分别表示拉格朗日坐标 系下和欧拉坐标系下的坐标轴方向单位向量 . 右柯 西一格林应变张量与的关系为 3C 名.二 1又己n。 À n 。 d et C 二 J Z 二 、子*圣又圣tr C = 几子+ 久圣+ *圣 应变能函数的表达式为[8] 必(入1 , 久2 , 入3) = 毋(入1 , 入2 , 人3 ) + U (J ) ( 12 a ) ( 1 2 b ) ( 1 2 e ) ( 1 3 a ) 式中 必(久1 , U ( J ) 几2 , 几3) = 产 [ ( In万, ) “+ ( 一n万2)2 + (In万3)ZJ (InJ ) (13b ) (13e )K1一2一一 式中 天。 一 J 一勺。 S aa 二 2 a沪(几, , 几2 , 久3 ) a几乙 (14) 将式(13b)、 ( 1 3 。)代入式(14 ) , 根据式(8 )可得 ·。一 鑫(一舒‘、 ·赘,·‘· ) Ta ‘Taj ·笋。 ( 1 5 ) 式中 , T * = Fn 。 · e ‘; 口 ij = c ijk 八‘中的欧拉弹性张量的表达式为 当 又。并几p 石 2 厂fcijk ‘= _倪 , 了以产 十. , 廿砂 ‘ 务lnJ 一枷、· )、 一剑TaiTaj。、 习 2o, 月= 1 立宝竺生叫立受上缸业 、己一 ‘丢 Ta 、介T以场 (16) 当 入。 二 久月 十产 尸|||Œ2一」c红掩z = 爵nJ 一赞lnA 。 ) 。、 一剑TaiT·。。 架1、 一毕In入。 } J J J , Ta 、 Tsi 几场 (17) 3习”呼3名 3 超弹性有限元法 首先建立欧拉坐标系下的平衡方程[s] .在平衡状态下 , 单位体积中的非平衡应力 r = di v , + 了在虚速 度 加 方向上作的虚功为 占W 二 r · 占v = 0 ( 18 ) 在全部体积上积分 , 整理可得 “W 一 { 、 ( d ‘一 + r , · “·d V ( 1 9 ) 根据高斯定理 div (时 , ) = ( d i v 。 ) · a , + 叮 : ? a , , 代入式(19)整理后得 。w ( , , 。, ) 一 { , : 拟dy 一 } r · 。, a v 一 { _ _. , · 、da J V J V J JV 式中 , , 表示柯西应力 ; d 表示变形率 ;了表示体力 ; t表示面力 . (20) 离散后虚功可以用单元上的内 、外等效节点力 T犷)和 F犷)表示为 占w ‘·’(价, N 广v。 ) = 占v 。 · ( T 且‘’一 F 犷’) ( 2 1 a ) 式中 北 京 工 业 大 学 学 报 2006 年 一 丁v“) , 二 N 。 d y ( 2 1 b ) 产 I J N V 尸 ! J 一一 心亡(a ‘石、a TF 式中 , a 代表所有节点中的第a N J dV + 个节点; v(·) N ·t d a ( 2 1 e ) 表示节点a 的形函数 .将整个体积上的节点力相加可得 。w (笋, 如 )= 习 占W (笋, N a o v 。 ) 二 式中 , N 表示共有 N 个节点 , 其中 Ta = 名T二‘ , , Fa = 包含节点 。 的单元共有 m 个 . 占, T = 〔占, 不, 占, 歹, 占叮, … 占w (户, 占, ) = 占v T ( T 一 F ) 困 ;v。 · ( ℃ 一 F 。 ) 习式 ‘’分别表示节点 。 上的等效节点力 ; , 占, 无]代入式(22)化简得 (22 ) m 。 表示 (2 3 ) 根据变分原理 , 功在节点位移 “T 二 〔“丁, u 歹, u 歹, A , “知上的变分等于 娜w (笋, a , ) 〔u ]= 占, T众 比较式(23)、 ( 2 4) 可得有限元形式的平衡方程为 (24 ) K “ = T 一 F 二 R ( 2 5 ) 式中 K 表示切线刚度矩阵. “矛习{一XZ匕 4 算例与分析 血管具有复杂的结构 , 其力学性能不能仅用简单 的单向拉伸实验来说明. 为了贴近 人体内正常环境 , 对血管进行膨胀实验 , 即在一定的纵向拉伸率下沿血 管内壁施加一定的内压 , 测量血管外壁直径和受力情 况的变化 , 并与文献【6 一 7] 的实验结果作比较. 根据 文献 , 【6 一 7] 所述条件建立模型进行计算 , 所建模型的 几何尺寸如图 2 所示 . 根据对称性条件 , 取血管的 1/4 部分建立模型 . 采用有限元软件 A nsy s构建模型并进行网格划分 , 用 For tra n 语言编制有限元程序进行计算. 选取 8 节点 六面体等参元作为基本单元 , 之所以选取这种等 参 元 , 是由于血管具有复杂的几何轮廓 , 六面体等参元 对边界适应性较强 , 用较少的单元便可将其描述出 来[9] , 具体的单元划分如图 3 所示 , 共划分为 672 个 单元 , 1 1 22 个节点 , 每个单元的尺寸约为 0 .057 m m X o · 0 6 1 m m 只 0 · 0 6 2 m m . 血管的拉梅系数 产 取 66 .7 K Pa , 体积模量 ‘ 取 32 700 K Pa. 根据所取材料性质的不 同分为 2 种模型 :N 。Hookea n材料模型为模型 l; 主轴超弹性材料模型为 模型 2 . 根据文献 【6] , 利用 2 种模型分别进行 2 组实 验 :首先进行纵向拉伸 , 使伸长率为 1.24 或 1.60 , 再 使内压从 0 开始按 △P 二 1 K P a 增长 , 分步计算出血 管内 、外表面的第 Z P 一 K 应力与格林应变 , 绘制应力一 应变曲线 . 图 4 是根据计算得到的 2 种模型外表面 周向格林应变 E 。, 周向第 Z P 一 K 应力 s。及纵向第 Z P 一K 图 2 血管简化模型及几何尺寸 (单位:毫米) Fig .2 T he geom etrieal size of the art er y m od el 图 3 1/ 4 血管有限元模型及边界约束条件 F ig.3 FE m od eland bo undary res tri etion s forone 卿art er of artery 应力 s: 绘制的应力一应变曲线 , 并与文献〔71中 Administrator 线条 增刊 刘 君等:动脉血管组织的超弹性模型与应力一应变关系 给出的实验结果做比较 . 图 4( a)表示在 心 二 1 . 24 的条件下 , 周向格林应变与周向第 Z P 一K 应力的关系. 可以看出 , 模型 1 、模 型 2 曲线的变化趋势与实验曲线相同 , 都是上凸形的 , 并且模型 1 的计算结果与文献〔7j较好吻合 . 表明 血管在 琴Y 平面 (横向截面 )上具有匀质、各向同性的性质 . 当周向应变大于 0 .2 后 , 与实验结果相 比 , 2 种模型应力增长速度变得缓慢 , 在曲线上表示为曲线上各点的曲率半径不断增大. 这是因为随着应变的 增大 , 中层和外层中的波状胶原纤维被拉伸 , 使得血管的刚度不断增大 , 所以实验 曲线上相应的应力增长 要大于模型 1、模型 2 所代表的超弹性匀质各向同性材料 . 图 4 (b) 表示在 七 = 1.24 的条件下 , 周向格林 应变与纵向第 2 P- K 应力的关系 , 实验曲线为下凸曲线 , 模型 1、模型 2 计算所得的曲线为上凸曲线 , 3 条 曲线上各点的曲率半径都非常大 , 曲线近似于直线 .应变相同时 , 模型 1 、模型 2 对应的应力要大于实验结 果. 总体看来 几Z 二 1 . 24 时模型 1、模型 2 计算结果与实验结果相近. nDnU00j卫.且0 000八勺.几00R6厂 , /-< r-’- 一 ‘乡 ; “0 身40 20 {丫 · “一 ’ ‘ ” ‘ 三60身4020:‘ ’二丁井二下 “ 一 ’ 一 ’ ·4020 。d例\讨:丁尹 ‘ ’ “ 价 ,, / l厂 rl|weweesreewel、J--ee|,esl卜|ee000000护04,一 。d例、才 片湍不六 (a)周向 万犷斌犷斌4 旦打才斌石方Ee Ee , 兄z 二 1.2 4 (b ) 纵向 , 肠= 0.3 0 4 旦仗乏或劝节 0.1 0‘ 2 0 . 3 0 、 4 Ee 旦旅二的洁 (e)周向, 兄: 二1 .6 0 ( d ) 纵向 0.2 0.3 0 4 —实验结果 -一 模型 1计算结果 -一 模型 2 计算结果 图 4 第 2 R K 应力与周向格林应变的曲线 Fig .4 Se eond R K stress vers us eireum ferenlialG reen stain图4(C)表示在 几: = 1 .60 的条件下 , 周向格林应变与周向第 Z P 一 K 应力的关系 , 可见纵向伸长率 久z 的 增大对周向应力的影响非常大 . 作为各向同性材料 , 模型 1 的周向应力在 s。< 0 .巧 时与图 4( a )相比应力 增长很快 , S 。> 0 . 15 时则增长缓慢 , 曲线变得平缓.模型 2 与实验曲线中的周向应力都增长很快 , 表现为 曲线变陡 , 但模型 2 的最大应变仅为 0 .18 . 实验曲线中的最大周向应力由图 4( a)中的 0.72 增长至 1 .05 , 这同样是由胶原纤维决定的. 当纵 向拉伸率增大时 , 血管壁外层埋藏在基质中的胶原纤维伸长大大增加 , 除了血管刚度增大外 , 血管壁内各种物质的重新分布也是造成图 4(。) 中应力增长加快的原因 . 此时 , 血管 已不能视为各向同性材料. 图 4(d) 表示在 久: 二 1 .60 的条件下 , 周向格林应变与纵向第 Z P 一K 应力的关 系. 图 4( d) 中 , 随着刚度的增大 , 实验 曲线呈明显的下凸曲线. 可以看到 , 由于 N eo 一 H oo k ea n 材料和主轴 超弹性材料描述的是各向同性材料 , 没有考虑纤维的作用 , 模型 1 、模型 2 的纵向应力要小于实验 曲线的 .勺、才 纵向应力. 从上述图 4(a)、 ( 。) 中可以看到 , 当仅对模型进行 纵向拉伸即内压 P 二 0 时 , 计算所得的周向应变 (绝 对值)要 明显大于实验结果 , 并且与所取材料无关. 这是血管内存在残余应力 、应变 , 并且因私弹性导致 应力滞后的原因. 还与实验中所取血管初始条件有 关 , 如年龄 、身体健康状况等. 文献【7] 中忽略了沿壁厚方 向的变形 , 将血管简 化为薄膜材料 . 作为比较 , 我们考察模型 1 内 、外壁 的应力一应变关系 , 见图 5. 从图 5 可见 , 在内压的作用下 , 外壁的应变小于 内壁的应变 . 当内压最大时 , 血管 内壁的格林应变为 0 .47 , 血管外壁的格林应变为 0 .34 , 周向第 Z P 一K 应 力都是 51 kPa.应变相同时 , 外壁的应力明显大于内 厂 · “ ‘一~ 卫打-才万丫命灭汀飞扮斌5Ee 图 5 几z = 1 .2 4 时模型 1 内外壁的周向第 Z P 一 K 应力与 周向格林应变曲线 F ig.5 Circ um ferentialse eond P 一 K s t r ess v e r s u s e i r e u m f e r - e n t i a l G re e n s t ra i n o f t h e i n n e r a n d o u t e r s u rf a e es a t 入z “ 1 .2 4 o f m o d el Administrator 线条 北 京 工 业 大 学 学 报 2006 年 壁的.说明血管沿壁厚方向各点的变形过程不同 . 事实上 , 由于血管具有分层结构 , 各层的性质差异很 大 , 在研究血管壁的性质时要区分不同层次. 5 结束语 通过对血管建立模型并进行数值计算得知 , 变形在一定范围内时 , 血管内的弹性纤维是抵抗外力作用 的主要物质 , 可以将血管看作均匀的 、各向同性超弹性材料 , N eo 一H oo k ea n 材料与主轴超弹性材料都能很 好地模拟它的力学行为 . 当变形加大时 , 血管壁外层的胶原纤维受到拉伸 , 刚度增大 , 表现出明显的各向 异性 因此 , 各类纤维是血管力一变特征的决定因素 , 进一步的工作从血管细观结构的角度出发来研究血 管的力学行为 . 参考文献 : [1] HO LZAI〕F E L G A , G A S S E R T C , O G D E N R W . A n e w con s t i t u t i v e fr a m e wo r k for Ar t e ri a l w al l m e e h a n i cs a n d 。 com 砂ra - tive study of m ate6alm od els[J」. J E lastieity , 2 0 0 0 , 6 1 ( 1 一3 ) : 1 一 4 8 . 〔2] R H ()l〕IN G A J H a n d h 力k of p h y siol og y , t h e e a rd i o v a s e u l a r s 邓tem [M ] . M aryland : A刀飞e r ie a n p h y si o log ia l 阮ciety , 1 9 8 0 : 1 一 3 1 . [ 3 ] F U N G Y C , F R O N E K K , P A T I T U C C I p . p s e u d Oe 1 as t i e i t y o f a rt e r i e s a n d t h e e hO i e e o f i t s m a t h e m a t i e a l e x p r ess i on [ J ] . A 」11 P h y s iol So e , 1 9 7 9 , 2 3 7 ( 5 ) : 6 2 0 一 6 3 1 . 〔4] C H U O N G C J, F U N G Y C . T h r ee 一 di m e 6 s i o n a l s t ress d i s r ri b u t io n i n a r t erl es [ J ] . T ra n s A S M E , 1 9 8 3 , 1 0 5 ( 3 ) : 2 6 8 一 2 7 4 . [ 5 〕明uoNG e J, F u N G Y e Co m p r e ss i b i l i t y an d 。o n s t it u t i v e e q u a t io n 。f a r t e ri a l w a ll in r a d ial e om p r ess io n e x p e ri m e n t s〔J]. J Biom eeh , 1 9 8 4 , 1 7 ( 1 ) : 3 5 一 4 0 . [ 6 ] H O L z A p F E L G A , E 砚RLEIN R , w R I G G E R s p . A n e w A x i s帅metrieal m em braneelementfo raniso tron ic, f i n i t e s t ra i n a n a l y s i s of a rt e 石es [ J ] . C匕m m u n N u m M e th E n g , 1 9 9 6 , 1 2 ( 8 ) : 5 0 7 一 5 1 7 . 〔7 1 朋LZApFEL G A , w E I z s A C K E R H w . B i om e e h a n i e a z b e h a v i o r o f t h 。 。rten a l wa l l a n d it s n u m e五ea l e h a ra e t币za tson 〔J〕 . 〔沁m p u t Bi o M ed , 1 9 9 8 , 2 8 ( 4 ) : 3 7 7 一 3 9 2 . [ s ] BO N E T J . N on l i ne a r e o n t i n u u m m e e h a n i e s f o r f i n i t e e l e m e n t a n a l ys i s [ M ] . B d t a i n : C a m b d d g e U n i v e rs i t y p ress , 1 9 9 7 , 1 - 2 4 0 . [9 〕王海明 , 杨庆生 .生物组织的复合材料模型与宏微观性能分析〔J] . 复合材料学报 , 2 0 05 , 2 2( 增刊): 177 一 1 81 . W A N G 氏i一 m i飞 , Y A N G Qi n 兮sh eng . T he eom 娜itemo delandmaero/miero pr叩erty anal邓15 of biOI卿ealrissue[J〕. A eta M at币ae Cbm 环巧ita e Si n ica , 2 0 0 5 , 2 2 ( S u 即.): 177 一 1 8 1 . T h e H y P e r e l a s t i c M o d e l a n d S t r e s s · s t r a i n R e l a t i o n o f A r t e r y L I U J u n , Y A N G Q i 眼 一s h e 飞 ((bUeg eof M ec h歇‘司 Enginee nng an d A pplied El ect ~ cs l议卜nol卿 , 玫石ing U 垃~ ty of Te chn o】呸钾 , 压巧ing 10 002 2 , C hj na A b s t r a e t : I n o r d e r t o s t u d y t h e h y p e r e l a s t i e p ro p e r t i e s o f t h e a r t e r y , t h i s p a p e r e s t a b l i s h e d t w o k i n d s o f i s o t ro p i e h y p e r e l a s t i e m o d e l s o f a r t e r y . T h e s t r e s s 一 s r ra i n re l a t i o n s o f t h e a r t e r y u n d e r b i a x i al l oa d i n 邵 w ere sim ulated by using 3D fin ite elem en t m eth od . It 15 show n that in eertain ra n ge of defor m ation , t h e s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n s o f i so t r o p i e a r t e r y e a n e x a e t l y b e e x p r e s s e d b y t h e p r e s e n t t w o m o d e l s . I t 1 5 a l so e o n e l u d e d t h a t t h e o r i e n t a t i o n s a n d P ro P e r t i e s o f b l e n d e d f i b e r s i n t h e a r t e r y w a l l s e o n t r i b u t e t o t h e m a e r o 一 P ro p e r t i e s o f t h e a r t e r y · K e y w or d s : a r t e r y ; h y p e r e l a s t i e ; f i n i t e d e f orm a t i o n ; f i n i t e e l e m e n t ; e o n s t i t u t i v e r e l a t i o n