第8章位移法8-2位移法Ⅰ—直接平衡法8-3位移法Ⅱ—典型方程法8-4对称性利用8-5支座位移和温度变化时的计算8-1形常数与载常数8-1形常数与载常数要求:熟练背诵形常数和载常数,并能正确画出相应的弯矩图和剪力图三类基本构件由杆端单位位移引起的杆端弯矩和剪力.三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力形常数载常数结点转角、杆轴弦转角：顺时针为正。符号剪力：以绕隔离体顺时针转动为正。杆端弯矩：绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正。★★1形常数2载常数lFPFPl/2FPl/2FPt1t2lABABABABAB8-2位移法Ⅰ——直接平衡法1无侧移结构（2）写出杆端弯矩（3）利用隔离体的平衡方程求结点位移。取B点为隔离体，建立B点的力矩平衡方程（4）将结点位移代回杆端弯矩
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达式。（5）按照区段叠加法作出弯矩图（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量（4）求杆端弯矩（5）按照区段叠加法作出弯矩图2有侧移结构C、B点水平位移Δ1（2）杆端弯矩由杆端弯矩求得杆端剪力（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量★有侧移的
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一定用到由弯矩求剪力（5）按照区段叠加法作出弯矩图C、D点水平位移Δ2（2）杆端弯矩试做图示刚架的弯矩图。各杆EI相同，i=EI/4。【例题】D点的转角位移Δ1由杆端弯矩求得杆端剪力（3）建立隔离体平衡方程，求基本未知量（4）求杆端弯矩（5）按照区段叠加法作出弯矩图8-3位移法Ⅱ——典型方程法【例题】试做图示刚架的弯矩图。★★如果基本体系与原结构发生相同的结点位移，则附加约束上的约束反力一定等于零。（1）Δ1=1单独作用时，附加约束的反力k11、k21。k11=10ik21=-6i/h=-1.5i★附加刚臂上的约束力以顺时针为正。★附加链杆上的约束力以读者规定的方向为正（2）Δ2=1单独作用时，附加约束的反力k12、k22。k12=-6i/h=-3i/2k22=15i/h2=15i/16（3）荷载单独作用时，附加约束的反力F1P、F2P。MP图F1P=qh2/12=4F2P=-qh/2=-6将三种情况下的附加约束反力叠加，得位移法方程为位移法方程的物理意义★★基本结构在荷载和结点位移作用下，附加约束反力等于零将求得的系数和自由项代入方程，求解得系数将三种情况下的弯矩图叠加典型方程法的解题步骤（1）选择基本结构（2）建立位移法方程（3）求系数和自由项，解方程，求基本未知量（4）利用叠加原理，作弯矩图【例题】试做图示刚架的弯矩图。解（2）建立位移法方程（1）选择基本结构k11=12ik21=4i(3)求系数和自由项，解方程F1P=-36.7F2P=-3.3将系数和自由项代入方程，解得（4）利用叠加原理，做弯矩图★结点集中力偶不影响MP图,但影响FiP。【例题】EI1=∞EI1=∞iiiillFPFP试做图示刚架的弯矩图。解（2）建立位移法方程（1）选择基本结构(3)求系数的自由项(5)利用叠加法作出弯矩图★结点集中力不影响MP图,但影响F1P。【例题】试建立图示有斜杆的刚架的位移法方程解（1）选择基本结构Δ1=110i20i15ik11k21k11=35i★★取未知轴力的交点作为矩心5aACBk12C13aB12qa2F2PF1PMP图有弹性支座时的计算已知弹簧刚度K=12EI/l，试求梁的弯矩图。解（1）选择基本结构（3）求系数和自由项，解方程将系数和自由项代入方程，求得（4）作弯矩图讨论8-4对称性的利用【例题】试求图示组合结构的内力。已知横梁的EA=2EI。吊杆的E1A1=EI/20。10kN/m15m20m20m20m【解】(1)取半边结构(2)选择基本结构Δ1Δ2(3)建立位移法方程(4)求系数和自由项Δ1=1k11k21Δ2=1k12k22k12k12=-6iAB/lAB6iAB/lABk226iAB/lAB6iAB/lABF1PF2PF2PF1PF2P=-100MP图(5)作弯矩图M图(kNm)8-5支座位移和温度变化时的计算【例题】试求图示结构的弯矩图.已知C点有竖向支座位移ΔC。解:(1)选择基本结构Δ1(2)建立位移法方程1支座位移基本结构(3)求系数和自由项，解方程k113i3ik11=6i将求得的系数和自由项代入方程，解得(4)作弯矩图M图★支座位移引起的内力与刚度成正比llEIEI基本结构【例题】试求图示结构在支座位移下的弯矩图。解（1）选择基本结构（2）建立位移法方程（3）求系数和自由项，解方程将系数和自由项代入方程，解得（4）用叠加法作M图M图2温度变化试求图示排架由于温度均匀升高t所产生的弯矩。各横梁的截面尺寸相同，各立柱的截面尺寸相同，温度膨胀系数为α。解（1）各柱子温度均匀升高只引起柱顶的竖向位移，没有引起内力。（2）各横梁温度均匀升高引起横梁的轴向伸长，使各柱子顶点发生水平侧移。每个横梁的伸长为则，各柱顶的水平侧移如图所示。由一端固定、一端铰支梁的形常数可画出各柱子的弯矩图。★离对称轴越远的柱子，温度影响越大。★建筑上通过设置温度缝，减小温度影响。★斜撑尽量设置在结构中部，减小斜撑温度应力。Al/2CBDlAC例题试求图示刚架的弯矩图。已知刚架外侧温度升高40℃，内侧升高20℃；各杆均为矩形截面，EI=常数，i=EI/l，截面高度h=l/10；材料的线膨胀系数为α。解：（1）取半边结构及基本结构i4ik11（2）建立位移法方程（3）求系数和自由项，解方程k11i2i4ik11=5i将求得的系数和自由项代入方程解得(4)作弯矩图M图【例题】30℃试做图示刚架的弯矩图。ll基本结构Δ1Δ210℃30℃20℃解：（1）选择基本结构（2）建立位移法方程Δ1=1k114ik11=7ik114i6i/lk21k213ik21=6i/l（3）求系数和自由项，解方程Δ2=1k126i/lk12=-6i/lk126i/l12i/l2k22k226i/l3i/l2k22=15i/l22i3iABCD20℃20℃15℃12015120ABCD20℃20℃10℃30202015ABCD30020020015012015120M图将系数和自由项代入方程，解得（5）作弯矩图
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