Chapitre IV Bernoulli et Darcy, perméamètres et perméabilité équivalente

PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil Chapitre IV. Lois de Bernoulli et Darcy. Perméamètres et perméabilité équivalente. Ce chapitre comporte 6 exercices I. Loi de BERNOULLI et charge (potentiel) hydraulique 1.1 Charge (potentiel) hydraulique La charge hydraulique en un point est égale à la somme de la pression en ce point (par exemple, liée à la hauteur d’eau au dessus de ce point) et de l’énergie potentielle par unité de volume liée à l’altitude de ce point : ρ.g.h + ρ.g.z ρ : masse volumique de l’eau et g : accélération due à la pesanteur C’est l’énergie totale mécanique (par unité de volume) en ce point. L’eau se meut des points de haute énergie vers les points de basse énergie. L’équation précédente, pour être complète doit inclure un troisième terme relatif à l’énergie cinétique (par unité de volume) qui dépend de la vitesse (1/2 .ρ.V2). En divisant les termes par le produit constant ρ.g, on exprime la charge hydraulique en unité de longueur : H = h + z + (V2/2g) Mais, en règle générale, les écoulements souterrains sont très lents et le terme relatif à l’énergie cinétique peut être négligé. Considérons un tube rempli d’eau sous pression et incliné, avec un débit d’eau Qx (m3/s) qui circule ; la pression en un point du tube peut être visualisée en perçant un trou et en y positionnant un petit tube vertical ; la hauteur d’eau atteinte dans le petit tube verticale indique la pression en ce point exprimée en unité de longueur (m) : La différence de charge est (Pe2 + Z2) – (Pe1 + Z1) = H2 – H1 = ∆ H) On définit le gradient hydraulique comme la perte de charge (hydraulique) par unité de longueur : Ix = ∆ ∆ ∆ ∆ H / ∆∆∆∆ x. Remarquons, que sur une même verticale, la charge hydraulique est constante en tout point. Exemple : sur la verticale 1 PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil Un point à la base du petit tube :altitude z=z1 et Pression = Pe1 (+ Patmos que l’on prend égale à 0 par convention) soit H1=z1+Pe1 Un point au sommet du petit tube : P=pression atmosphérique soit 0 par convention ;altitude z=z1+Pe1 Soit H1=0+z1+Pe1 1.2 Application à l’interface eau douce-eau salée (zone littorale) En zone littorale, il existe ce que l’on appelle un biseau d’eau salée situé sous l’eau douce car l’eau de mer est plus dense (l’huile surnage l’eau !). La frontière entre les deux types d’eau n’est pas une simple ligne ; c’est, en fait, une zone de quelques mètres composée d’eau dite saumâtre. En considérant un état d’équilibre hydrostatique, les deux points a et b sont au même potentiel. En prenant comme origine des hauteurs la ligne ab, on peut écrire : 0+ (Z+h).ρdouce. g = 0+Z.ρsalée. g De la relation précédente, il vient : hhZ ds d .40. ≈ − = ρρ ρ On remarque que pour une baisse dh de 1 m d’eau douce, la remontée dZ est de 40 m ! Une exploitation abusive de forage en zone littorale conduit à un envahissement par l’eau salée de ces derniers et une avancée à l’intérieur des terres du biseau. II. Loi de DARCY Nous allons la définir en partant de l’analogie entre phénomènes électrique et hydraulique. loi d'Ohm : si n est le nombre d'électrons qui se déplacent par unité de volume et qui traversent une section s du fil à une vitesse moyenne u, la quantité d'électricité est: dQ = n .e. s.u.dt (e: charge de l'électron), c'est-à-dire le nombre de charges contenues dans le volume s.u.dt. L'intensité du courant est le nombre de charges par unité de temps qui traversent la section s, soit dQ/dt= i. PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil i s'exprime par le rapport entre la différence de potentiel (ddp) entre a et b, liée aux nombres d'électrons en a et en b, et la résistance du fil, elle-même fonction de sa longueur, de sa section et de sa résistivité dont l'inverse est la conductivité ou conductance: i =ddp/R = ddp.s/(ρ.l) s: section du fil électrique ρ: résistivité (1/ρ: conductivité) l: longueur du fil électrique R= ρ.l/s (résistance) Electrique ddp= r.L.i/s soit i =ddp. s/(L.r) hydraulique ddp ∆h (m) L, s L, s (m, m2) i Q (m3/s) 1/ρ K (m/s) Dans le dispositif hydraulique ci-dessus, qui est un perméamètre à charge constante, le mouvement de l'eau au travers de l'échantillon de sol est créé par la différence des niveaux d'eau ∆h, qui est l'analogue hydraulique de la ddp, la section du fil a pour analogue hydraulique la section de l'échantillon, la longueur du fil a pour analogue la longueur de l'échantillon. La conductivité a pour analogue une caractéristique du sol qui exprime son aptitude à laisser passer l'eau: la perméabilité. i a pour analogue un volume d'eau passant par unité de temps au travers de la section de l'échantillon, c'est-à-dire un débit Q. Loi d’Ohm : ��� = �. � = � � Analogue hydraulique de la loi d’Ohm : ∆ℎ = � Q PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil soit: Loi de DARCY: Q = - K . s .∆∆∆∆h/l Nous verrons la signification du signe – un peu plus loin. l: trajet des molécules d'eau dans le milieu poreux engendré par ∆h, s surface traversée perpendiculairement par les molécules d'eau . K a la dimension d'une vitesse (L.T-1). Convention de signe : Si le débit est selon l’axe des x croissant, alors Q>0, sinon Q<0. Selon le schéma ci-dessus, l’axe des x est orienté vers la droite, le terme ∆h= h(x+∆x) - h(x) est négatif et le débit Q est positif. Il convient donc d’introduire un signe – à la partie droite de l’équation de Darcy. Cette formule avec le signe – sera toujours valable quelque soit l’orientation des axes. ∆h/l est appelé gradient hydraulique, il s'écrit, en une dimension et en notation différentielle: dh/dx . En trois dimension, il est représenté par un vecteur: grad (h) de coordonnées (dh/dx, dh/dy , dh/dz ) Le rapport Q/s = - K . dh/dx est appelé vitesse de Darcy; c'est, en fait, un débit par unité de surface, et elle ne correspond pas à la vitesse moyenne d'écoulement dans le milieu (sauf dans le cas d'un tube vide ou d'un cours d'eau). La vitesse moyenne d'écoulement dans un milieu s'exprime par: u =vitesse de Darcy/n où n est la porosité. III. Perméamètres à charge constante. Ce sont des appareils qui permettent de déterminer la perméabilité d'un sol ou d'une roche. K=Q.L/(-∆∆∆∆h. s) Le perméamètre de Darcy: h section s L volume d'eau recueilli pendant le temps de l'expérience V/t = Q PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil En appliquant la loi de Bernouilli entre l'entrée et la sortie de l'échantillon, on écrit: He = Ze + (Za - Ze) (Za-Ze représente la pression sur les points d’entrée de l’échantillon exprimée en unité de longueur) Hs = Zs +0 (le point de sortie est à la pression atmosphérique donc égal à 0 par convention) donc He - Hs = Za - Zs donc K = Q. l / (S.[Za-Zs]) IV. Perméamètre à charge variable. Il est utilisé pour la mesure de la perméabilité de sol très peu perméable (argileux) Considérons un débit positif, soit un axe des abscisses croissant vers la droite. 0 zs ze za=cte section S l l h(t+dt) h(t) section S section s PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil Le gradient hydraulique est la différence de charge entre l’entrée et la sortie, soit h sur la figure ; il diminue avec le temps (h(t+dt) < h(t) ce qui signifie que la variation du gradient hydraulique en fonction du temps dh = h(t+dt)-h(t) est négative. Le débit Q peut s’exprimer comme la variation instantanée d’un volume d’eau en fonction du temps : Q(t) = dV/dt= - s dh/dt (Q est positif et dh est négatif) Loi de Darcy: Q(t) = S . K . h(t)/l �ℎ ℎ = − � � � � �� En intégrant, on obtient: �� ℎ ℎ� = − � � � � (� − ��) d'où: Exercice 1 : En vue de la détermination du coefficient de perméabilité d'un échantillon, un essai au perméamètre à charge constante a été effectué dans les conditions suivantes : • section de l'éprouvette : 28,3 cm2 • hauteur de l'éprouvette : 10 cm • différence de charge hydrostatique : 50 cm • durée de l'essai : 10 s • quantité d'eau recueillie : 500 g • Calculer la perméabilité (ms-1). Exercice 2 : Essai de perméamètre à charge variable : • section de l'éprouvette : 23 cm2 • hauteur de l'éprouvette : 10 cm • section du tube de mise en charge : 1 cm2 • charge hydrostatique initiale : ho = 60 cm • charge hydrostatique finale : h1 = 50 cm • durée de l'essai : 10 mn • Calculer la perméabilité (ms-1). Exercice 3: Le filtre est rempli d'eau. Calculer le temps pour que le "café soit passé" (filtre vide). ( ) h h ttS lsK 0 0 ln. . . − = PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil V. Perméabilité équivalente. 5.1 écoulement perpendiculaire à l’interface. On cherche à déterminer la perméabilité verticale équivalente au milieu stratifié. IRRiIddp n i .. 1 == ∑ = Ri a pour analogue hydraulique: Ll e K i i . . 1 R a pour analogue hydraulique: Ll e Kv i . . 1 ∑ Or : 10cm 2cm 4cm 90° filtre café (k = 0,001m /s) e1 e2 en K1 K2 Kn l L Q I R1 R2 Rn R I PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil R = Σ Ri donc: Ll K e Ll e Kv i i i .. . 1 ∑∑ = donc ∑ ∑ = i i i K e e Kv Kv est la perméabilité verticale du milieu poreux équivalent au milieu stratifié. 5.2 écoulement parallèle à l’interface On cherche à déterminer la perméabilité horizontale équivalente au milieu stratifié. ddp = R1 . I1 = R2 .I2 = .... = Rn. In = R . I ( R: résistance équivalente) I = I1 + I2 + .....+ In = R/R1. I + R/R2. I + ....+ R/Rn. I donc : ∑ = = n i iRR 1 11 1/Ri a pour analogue hydraulique L leK ii . . 1/R a pour analogue hydraulique L el Kh i∑ . . Soit : ∑ ∑ = i ii e eK Kh . Kh est la perméabilité horizontale du milieu poreux équivalent au milieu stratifié. e1 e2 en K1 K2 Kn l L Q I I I1 In PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil Exercice 4 : h1-h2 = 1,30 m Le débit par unité de longueur était, avant le colmatage, de 1,82 x 10-5 m3/s/m, la perméabilité de la zone colmatée est de 1,4 x 10-5 cm/s. Calculer le débit par km de canal qui transite entre les deux canaux. Exercice 6 : Soit un versant de vallée avec deux terrasses alluviales emboîtées : Donner l'expression du débit unitaire alimentant la rivière en fonction de L1, L2, K1, K2, h1 et h2. (nappes libres) .K1 > K2 10m h1 h2 4m colmatage (épaisseur = 4cm) L1 L2 h1 hs h2 K1 K2 PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil VI. Zone non saturée La zone non saturée est un milieu généralement triphasique : solide (roche, grains) + eau + air. 6.1 Remontée capillaire. A cause des tensions de surface, l’eau peut s’élever au dessus de la surface de la nappe. Les remontées seront d’autant plus importantes que le diamètre moyen des vides sera petit. En effet, l’équilibre entre force de gravité et force de tension met en évidence ce fait. (cf ci-dessous). La pression de l’eau à l’intérieur d’une remontée capillaire est négative (inférieure à la pression atmosphérique prise comme référentiel égale à 0). PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil Le ménisque dans le petit tube est incurvé vers le bas, cela signifie donc que la pression d’un point situé juste au dessous du ménisque est inférieure à la pression atmosphérique ; elle est donc, par convention, négative. En prenant un point juste sous le ménisque du petit tube, donc à une hauteur hc et un autre point situé sur la surface de l’eau du récipient et utilisant le théorème de Bernoulli qui exprime la conservation de l’énéergie mécanique, on peut écrire : 0+0 =hc+P P étant la pression du point juste au dessous du ménisque. On en déduit donc que : P=-hc Si on exprime cette pression en pascal : � = − �� ℎ� La figure ci-dessus montre que, dans un sol, les remontées capillaires, sur une hauteur totale h1 comprennent une partie saturée sur une hauteur h2. Pression : hu w .γ−= si partie saturée de la remontée. Shu w ..γ−= si partie non saturée avec S : indice de saturation (rapport entre volume de l’eau et volume des vides) La figure ci-dessous présente les différents domaines du sol à la nappe : Pe : pression de l’eau PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil 6.2 Exemples d’expérimentation en zone non saturée 6.2.1 Colonne horizontale Tube de gauche : on utilise la loi de conservation de l’énergie mécanique (Bernoulli) entre un point situé sur la surface de l’eau du récipient (altitude -20 cm) et un autre point situé à l’entrée du sol (altitude 0) : -20+0 =0+ P => P = Hp,1 = -20 cm La charge hydraulique (potentiel) est donc : H1 = 0 + (-20) = -20 cm De même, pour le tube de droite de sortie : -30+0 =0+P =>P= Hp,2= -30 cm H2 = 0 + (-30) = -30 cm La pression moyenne H p dans la colonne est -25 cm. Si la perméabilité K =1.3 cm/hr par exemple, alors le flux (débit par unité de surface) est, par application de la loi de Darcy: 6.2.2 Colonne verticale Considérons une colonne verticale avec les mêmes valeurs de pression aux limites : Le niveau d’eau dans le récipient de gauche est 20 cm sous l’entrée du sol donc à une altitude de 30-20 =10 cm La pression à l’entrée du tube est : +10+0 =30+P =>P=Hp2= - 20 cm PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil La char ge hydraulique à l’entrée est donc : H2=30-20 =10 cm Par le même raisonnement, on obtient la charge à la sortie : 0+P =-30+0 => P = Hp1 =-30 cm H1 = -30 cm On remarque que l’axe des ordonnées est dirigé vers le haut alors que le débit d’écoulement est vers le bas, selon la convention, il sera donc négatif. Par rapport à la colonne horizontale, on remarque que le flux dans la colonne vertical est plus important ; ceci est du à l’existence, dans ce cas, d’un Potentiel gravitaire. 6.2.3 Colonne verticale bis Considérons le cas particulier où l’altitude du niveau de l’eau dans le récipient connecté au tube d’entrée est le même que celui de la sortie du sol, soit 0. On remarque que dans ce cas, la pression à l’entrée et à la sortie du sol est la même (-30 cm) : Entrée : 0+0 = Hp2+30 => Hp2 = -30 cm Sortie : 0+Hp1 = -30 +0 => Hp1 = -30 cm PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil Le gradient de pression est donc nul. La pression est uniforme dans le sol ; ceci implique que la teneur en eau est constante. Ce dispositif particulier est donc très utile pour déterminer la conductivité hydraulique en fonction de la pression en zone non saturée. Le mouvement de l’eau est donc seulement du au gradient gravitaire 6.3 deux tensiomètres proches densité du mercure : 13,5 PR Erick Carlier Mécanique des sols Licence 3 Génie Civil Examinons le dispositif de gauche. L’eau contenue dans le tube, traverse la paroi poreuse située à la base (point 2) à une altitude de -100 cm, comptée à partir de la surface du sol. L’eau est donc aspirée par le sol (phénomène de succion). Ce départ d’eau provoque une montée du mercure dans le tube dont le niveau se stabilise à 35 cm au dessus du niveau du mercure contenu dans le récipient. Le niveau du mercure dans le petit tube s’est stabilisé à 45 cm au-dessus du sol. Considérons un point à l’interface eau-mercure et un point à la surface du mercure contenu dans le récipient ; on peut écrire : ���� 10 + 0 = ���� 45 + �%&��'(� � On en déduit que la pression à l’interface est : � = − ���� 35 Au point 2, le potentiel total (potentiel gravitaire+pression) s’écrit : − �� �100 + *+,- = *- Comme on est en équilibre statique, le potentiel total d’un point de l’interface est égal au potentiel total au point 2 : − �� �100 + *+,- = ��� (10 + 35) − ����35 En divisant par la masse volumique de l’eau et par l’accélarération due à la pesanteur g, on exprime les potentiel en unité de longueur (hauteur d’eau) et on en déduit la valeur de la pression en 2 : *+,- = 145 − � 35 = -327 cm Avec d, la densité du mercure (13,5) Le potentiel total au point 2 est donc : *- = −100 − 327 = −427 En tenant le même raisonnement, on trouve que le potentiel total pour le tensiomètre de droite au point 1 est : * = −465 Comme H 2 > H 1 , c l’écoulement se fait vers le bas. La pression moyenne est : Si K -331 = 0.01 cm/hr, alors: