热力学与统计物理课后答案 汪志诚

147第八章玻色统计和费米统计8.1试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即ln.SkΩ=解:对于理想费米系统，与分布{}la相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4））()!,!!lllllΩaaωω=−∏（1）取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7））()()lnlnlnln.lllllllllΩaaaaωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（2）另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为()lnlnlnlnSkΞΞΞkΞNUαβαβαβ⎛⎞∂∂=−−⎜⎟∂∂⎝⎠=++()ln,lllkΞaαβε⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑（3）其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13））()lnln1.lllΞeαβεω−−=+∑（4）由费米分布e1lllaαβεω+=+易得right删划线1481ellllaαβεωω−−+=−（5）和ln.llllaaωαβε−+=（6）将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为lnln.lllllΞaωωω=−∑（7）将式（6）和式（7）代入式（3），有lnlnlllllllllaSkaaaωωωω⎛⎞−=+⎜⎟−⎝⎠∑()()lnlnln.lllllllllkaaaaωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦∑（8）比较式（8）和式（2），知ln.SkΩ=（9）对于理想玻色系统，证明是类似的.8.2试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为()()()()B.E.F.D.ln1ln1,ln1ln1,ssssssssssSkffffSkffff=−++⎡⎤⎣⎦=−+−−⎡⎤⎣⎦∑∑其中sf为量子态s上的平均粒子数.s∑表示对粒子的所有量子态求和.同时证明，当1sf<<时，有()B.E.F.D.M.B.ln.ssssSSSkfff≈≈=−−∑解:我们先讨论理想费米系统的情形.根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为()()()F.D.lnlnlnlnlnllllllllllllllllllSkaaaaaakaaωωωωωωωω=−−−−⎡⎤⎣⎦⎡⎤−=−−+⎢⎥⎣⎦∑∑1491ln1ln,llllllllllaaaakωωωωω⎡⎤⎛⎞⎛⎞=−−−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∑（1）式中l∑表示对粒子各能级求和.以lslafω=表示在能量为lε的量子态s上的平均粒子数，并将对能级l求和改为对量子态s求和，注意到~,llsω∑∑上式可改写为()()F.D.ln1ln1.sssssSkffff=−+−−⎡⎤⎣⎦∑（2）由于1sf≤，计及前面的负号，式（2）的两项都是非负的.对于理想玻色气体，通过类似的步骤可以证明()()F.D.ln1ln1.sssssSkffff=−−++⎡⎤⎣⎦∑（3）对于玻色系统0sf≥，计及前面的负号，式（3）求和中第一项可以取负值，第二项是非负的.由于绝对数值上第二项大于第一项，熵不会取负值.在1sf<<的情形下，式（2）和式（3）中的()()()()1ln11sssssfffff±≈±≈−∓∓∓∓所以，在1sf<<的情形下，有()B.E.F.D.ln.ssssSSkfff≈≈−−∑（4）注意到ssfN=∑，上式也可表示为B.E.F.D.ln.sssSSkffNk≈≈−+∑（5）上式与7.4题式（8）一致，这是理所当然的.8.3求弱简并理想费米（玻色）气体的压强和熵.解:式（8.2.8）已给出弱简并费米（玻色）气体的内能为32252311122π2NhUNkTgVmkT⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦（1）（式中上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体，下同）.利150用理想气体压强与内能的关系（见习题7.1）2,3UpV=（2）可直接求得弱简并气体的压强为32252111,2π2hpnkTngmkT⎡⎤⎛⎞⎢⎥=±⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦（3）式中NnV=是粒子数密度.由式（1）可得弱简并气体的定容热容量为32272311,22π2VVUCThNknmkT∂⎛⎞=⎜⎟∂⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎢⎥=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎢⎥⎣⎦∓（4）参照热力学中的熵的积分表达式（2.4.5），可将熵表示为()0.VCSdTSVT=+∫（5）将式（4）代入，得弱简并气体的熵为()322072311ln.22π2hSNkTNknSVgmkT⎛⎞=±+⎜⎟⎝⎠（6）式中的函数()0SV可通过下述条件确定：在322312πNhnVmkTλ⎛⎞=<<⎜⎟⎝⎠的极限条件下，弱简并气体趋于经典理想气体.将上述极限下的式（6）与式（7.6.2）比较（注意补上简并度g），可确定()0SV，从而得弱简并费米（玻色）气体的熵为332227222π511ln.22π2mkThSNknghgmkT⎧⎫⎡⎤⎛⎞⎪⎪⎛⎞⎢⎥=+±⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎪⎪⎣⎦⎩⎭（7）弱简并气体的热力学函数也可以按照费米（玻色）统计的一般程序求得；先求出费米（玻色）理想气体巨配分函数的对数lnΞ，然后根据式（8.1.6）、（8.1.8）和（8.1.10）求内能、压强和熵.在求巨配分函数的对数时可利用弱151简并条件作相应的近似.关于费米（玻色）理想气体巨配分函数的计算可参阅王竹溪《统计物理学导论》§65和§64.8.4试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解:如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度cT，气体的化学势将趋于-0.在cTT<时将有宏观量级的粒子凝聚在0ε=的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚.临界温度cT由条件()0de1ckTDnεεε+∞=−∫（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））()222πddLDmhεεε=代入式（1），得2202πd.e1ckTLmnhεε+∞=−∫（2）二维理想玻色气体的凝聚温度cT由式（2）确定.令cxkTε=，上式可改写为2202πd.e1cxLxmkTnh+∞=−∫（3）在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有()()211e1ee,e1e1exxxxxx−−−−==+++−−⋯则0d111e123xx+∞=+++−∫⋯11.nn∞==∑（4）式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零.换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱152因斯坦凝聚.8.5约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场()22222212xyxVmxyzωωω=++中运动.如果原子是玻色子，试证明：在cTT≤时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02xyzεωωω=++ℏ的基态，在3,0,NNωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度cT由下式确定：31.202,ckTNω⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠ℏ其中()13.xyzωωωω=温度为T时凝聚在基态的原子数0N与总原子数N之比为301.cNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠解:约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为222222222111,222222yxzxyzpppmxmymzmmmεωωω⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（1）这是三维谐振子的能量（哈密顿量）.根据式（6.2.4），三维谐振子能量的可能值为,,111,222xyznnnxxyyzznnnεωωω⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ℏℏℏ,,0,1,2,xyznnn=⋯（2）如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T时处在量子态,,xyznnn上的粒子数为,,11112221.e1xyzxxyyzznnnnnnkTaωωωµ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞+++++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦=−ℏℏℏ（3）处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即153()0.2xyzµεωωω<≡++ℏ（4）化学势µ由()01,,1e1xxyyzzxyznnnnnnkTNωωωεµ⎡⎤+++−⎣⎦=−∑ℏ（5）确定.化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值cT时，µ将趋于0.ε临界温度cT由下式确定：()1,,1,e1xxyyzzxyznnnnnnkTNωωω⎡⎤++⎣⎦=−∑ℏ（6）或,,1,e1xyzxyznnnnnnN++=−∑（7）其中(),,.iiicnnixyzkTω==ℏ在1ickTω<<ℏ的情形下，可以将in看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替.注意到在dddxyznnn范围内，粒子可能的量子态数为3ddd,cxyzkTnnnω⎛⎞⎜⎟⎝⎠ℏ即有3ddd,1xzyxyzcnnnkTnnnNeω++⎛⎞=⎜⎟⎝⎠−∫ℏ（8）式中()13.xyzωωωω=为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为()()()011e1e1eee.xyzxyzxyzxyzxyznnnnnnnnnnnnlnnnl++−++++∞−++−++==⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦=∑积分等于154000030dddededede111.202.yxzxyzxyzlnlnlnxyznnnllnnnnnnl∞+∞+∞+∞−−−++=∞==−==∑∫∫∫∫∑所以式（8）给出13.1.202CNkTω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（9）式（9）意味着，在,0Nω→∞→而3Nω保持有限的极限情形下，CkT取有限值.上述极限称为该系统的热力学极限.在cTT<<时，凝聚在基态的粒子数0N由下式确定：301.202,kTNNω⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ℏ上式可改写为301.CNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠（10）式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果.实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异.互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同.关于互作用玻色气体的凝聚可参阅Dalfovoetal.Rev.Mod.Phys.1999,71（465）.8.6承前8.5题，如果,zxyωωω>>，则在zkTω<<ℏ的情形下，原子在z方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.试证明CTT<时原子的二维运动中将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02xyεωω=+ℏ的基态，在2,0,NNωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度cT由下式确定：21.645,CkTNω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ其中()12.xyωωω=温度为T时凝聚在基态的原子数0N与总原子数N之比为201.CNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠155解:在,zxyωωω>>的情形下，原子z方向的运动将冻结在基态作零点振动，于是形成二维原子气体.与8.5题相似，在cTT<时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02xyεωω=+ℏ的基态.临界温度cT由下式确定：20dde1xyxyCnnkTnnNω+∞+⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠∫ℏ21.645,CkTω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（1）其中()12,xyωωω=201dd11.645.e1xyxynnlnnl∞+∞+===−∑∫（2）在,0Nω→∞→而2Nω保持有限的热力学极限下ckT为有限值，有12.1.645CNkTω⎛⎞=⎜⎟⎝⎠ℏ（3）CTT≤时凝聚在基态的原子数0N与总原子数N之比由下式确定：201.645,kTNNω⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ℏ或201.CNTNT⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠（4）低维理想玻色气体玻色凝聚的理论分析可参看8.5题所引Dalfovoetal及其所引文献.低维玻色凝聚已在实验上得到实现，见Gorlirż̇etal.Phys.Rev.Lett.2001,87（130402）.8.7计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a）温度为1000K的平衡辐射.（b）温度为3K的宇宙背景辐射中光子的数密度.解:式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V内，在ω到dωω+的圆频率范围内光子的量子态数为156()223dd.πVDcωωωω=（1）温度为T时平均光子数为()()d,d.e1kTDNTωωωωω=−ℏ（2）因此温度为T时，在体积V内光子气体的平均光子数为()2230d.πe1kTVNTcωωω+∞=−∫ℏ（3）引入变量xkTω=ℏ，上式可表示为()3223033233dπe12.404.πxVkTxxNTckVTc+∞⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠=∫ℏℏ或()332332.404.πknTTc=ℏ（3）在1000K下，有163210.nm−≈×在3K下，有835.510.nm−≈×8.8试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为()58πd,d,e1hckThcuTλλλλλ=−并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长mλ满足方程mhcxkTλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠55.xex−+=这个方程的数值解为4.9651.x=因此,4.9651mhcTkλ=mλ随温度增加向短波方向移动.157解:式（8.4.7）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为()3231,dd.πe1kTuTcωωωωω==−ℏℏ（1）根据圆频率与波长熟知的关系2cπωλ=，有22πdd.cωλλ=（2）如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得()58πd,d.e1hckThcuTλλλλλ=−−（3）令hcxkTλ=，使(),uTλ取极大的波长mλ由下式确定：5d0.de1xxx⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠（4）由式（4）易得55e.xx−−=（5）这方程可以用数值方法或图解方法求解.图解方法如下：以x为横坐标，y为纵坐标，画出两条曲线1e,,5xyxy−=−=如图所示.两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为4.96.精确的数值解给出4.9651.x=所以使(),uTλ为极大的mλ满足4.9651mhcTkλ=15832.89810mK.−=×⋅（6）右方是常量，说明mλ随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律.值得注意，式（6）确定的使(),uTλ为极大的mλ与式（8.4.11）给出的使(),uTω为极大的mω并不相同.原因是(),uTλ是单位波长间隔的内能密度，(),uTω是单位频率间隔的内能密度.mλ与mω分别由5d0de1xxx⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠（4）和3d0de1xxx⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠（7）确定，其中.hcxkTkTωλ==ℏ由这两个方程解得mx显然不同.8.9按波长分布太阳辐射能的极大值在480nmλ≈处，假设太阳是黑体，求太阳表面的温度.解:由上题式（6）知32.89810mK.mTλ−=×⋅假设太阳是黑体，太阳表面温度的近似值为392.89810K6000K.48010T−−×==×8.10试根据热力学公式dVCSTT=∫及光子气体的热容量求光子气体的熵.解:式（8.4.10）给出光子气体的内能为24433π.15kUVTc=ℏ（1）由此易得其定容热容量为159243334π15VVUkCVTTc∂⎛⎞==⎜⎟∂⎝⎠ℏ（2）根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0dd,VVCpSTVSTT⎡⎤∂⎛⎞=++⎜⎟⎢⎥∂⎝⎠⎣⎦∫（3）积分沿任意一条积分路线进行.如果取积分路线为由（0，V）到（T，V）的直线，即有242423333304π4πd,1545TkkVSTTTcc==∫ℏℏ（4）其中已取积分常量0S为零.如果取其他积分路线，例如由（0，0）至（T，V）的直线，结果如何？8.11试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度.uJ计算6000K和1000K时uJ的值.解:根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在p到dpp+，动量方向在θ到d,θθϕ+到dϕϕ+范围内，平衡辐射的光子数为232sinddd,e1cppphβθθϕ−（1）其中已利用式（8.4.2）将动量为p的光子能量表示为cp，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的.以dA表示法线方向沿z轴的器壁的面积元.以dddΓAt表示在dt时间内碰到dA面积上，动量大小在p到dpp+，方向在θ到d,θθϕ+到dϕϕ+范围的光子数.它等于以dA为底，以cosdctθ为高，动量在dddpθϕ范围内的光子数.因此单位时间（d1t=）内，碰到单位面积()d1A=的器壁上（或穿过单位面积），动量在dddpθϕ范围内的光子所携带的能量为232sindddcos.e1cpppccphβθθϕθ⋅⋅−（2）对式（2）积分，p从0到,θ+∞从0到π,2ϕ从0到2π，即得到辐射动量密度uJ为160π232π2300023302dsincosdde12πd.e1ucpcpcppJhcpphββθθθϕ+∞+∞=⋅⋅−=−∫∫∫∫令xcpβ=，上式可表示为4233042432π1de12ππ6,90uxcxxJhcckThcβ+∞⎛⎞=⋅⎜⎟−⎝⎠⎛⎞=⋅⋅⎜⎟⎝⎠∫或24423π.60ukJTc=ℏ（3）在6000K，有727.1410Jm;uJ−=×⋅在1000K，有520.5510Jm.uJ−=×⋅8.12室温下某金属中自由电子气体的数密度283610m,n−=×某半导体中导电电子的数密度为28310mn−=，试验证这两种电子气体是否为简并气体.解:根据§8.5，在e1α>>，即31nλ<<的情形下费米气体满足非简并性条件，遵从玻耳兹曼分布；反之，在e1α<<，即31nλ>>的情形下，气体形成强简并的费米气体.3223,2πhnnmkTλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠（1）将283300,610mTKn−==×代入，得33101,nλ≈>>（2）说明该金属中的自由电子形成强简并的费米气体.将203300K,10mTn−==代入，得35101,nλ−≈<<所以该半导体中的导电电子是非简并气体，可以用玻耳兹曼统计讨论.161金属中自由电子数密度的估计见§8.5，半导体中导电电子数密度的估计请参阅补充题3.8.13银的导电电子数密度为283.5.910m−×试求0K时电子气体的费米能量、费米速率和简并压.解:根据式（8.5.6）和（8.5.8），0K下金属中自由电子气体的费米能量（电子的最大能量）、费米速率（电子的最大速率）和电子气体的压强取决于电子气体的密度n.式（8.5.6）给出()()222303π.2nmµ=ℏ（1）将31342839.110kg,1.0510Js,5.910mmn−−−=×=×⋅=×ℏ代入，即得()1800.87610J5.6eV.µ−=×=（2）费米速率Fυ等于()61F201.410ms.υmµ−==×⋅（3）式（8.5.8）给出0K下电子气体的压强为()()102002.110Pa.5pnµ=≈×（4）8.14试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解:根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为F1,,fpp=≤F0,,fpp=>（1）其中Fp是费米动量，即0K时电子的最大动量.据此，电子的平均动量为FF34F30F23F308π1d34.8π14d3ppVppphppVppph===∫∫（2）因此电子的平均速率为162FF33.44ppυυmm===（3）8.15试证明，在绝对零度下自由电子的碰壁数可表示为1,4nυΓ=其中NnV=是电子的数密度，υ是平均速率.解:绝对零度下电子速率分布为FF1,,0,,fυυfυυ=≤=>（1）式中Fυ是0K时电子的最大速率，即费米速率.单位体积中速率在dυddθϕ间隔的电子数为()32F32sinddd.mυυυυhθθϕ≤（2）单位时间内上述速度间隔的电子碰到法线沿z轴的单位面积器壁上的碰撞数为3232cossinddd.mdυυυhΓθθθϕ=⋅（3）将上式积分，υ从0到F,υθ从0到π,2ϕ从0到2π，得0K时电子气体的碰壁数为Fπ32π32300034F32dsincosdd211242υmυυhmυhΓθθθϕπ==⋅⋅⋅∫∫∫34F3π.2mυh=（4）但由式（2）知单位体积内的电子数n为163F3π2π2300033F32dsindd2122π3υmυυhmυhΓθθϕ==⋅⋅⋅∫∫∫33F38.3mυhπ=（5）所以F31.444nυnυΓ=⋅=最后一步用了8.14题式（3）.8.16已知声速Spaρ⎛⎞∂=⎜⎟∂⎝⎠（式（1.8.8）），试证明在0K理想费米气体中F.3υa=解:式（1.8.8）已给出声速a为Spaρ⎛⎞∂=⎜⎟∂⎝⎠，（1）式中的偏导数是熵保持不变条件下的偏导数.根据能氏定理，0K下物质系统的熵是一个绝对常数，因此0K下物理量的函数关系满足熵为不变的条件.根据式（8.5.8）和（8.5.6），0K下理想费米气体的压强为()()()22523220523π52pnnmµ==ℏ()()22523353213π.52mmρ=ℏ（2）故()2222F32213π,323Sppnmmmρ⎛⎞∂==⎜⎟∂⎝⎠ℏ即164FF.33pυam==（3）8.17等温压缩系数Tκ和绝热压缩系数Sκ的定义分别为1TTpVκρ⎛⎞∂=−⎜⎟∂⎝⎠和1.SSpVκρ⎛⎞∂=−⎜⎟∂⎝⎠试证明，对于0K的理想费米气体，有()()()3100.20TSnκκµ==解:根据式（8.5.6）和（8.5.4），0K下理想费米气体的压强为()()5223232203π.552NpnmVµ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠ℏ（1）在温度保持为0K的条件下，p对V的偏导数等于()2223223π.32TpNVmV∂⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟∂⎝⎠⎝⎠ℏ由式（A.5）知()()222232313.23π2TTVVppNNVmV−⎛⎞∂==⎜⎟∂∂⎛⎞⎝⎠⎛⎞⎜⎟∂⎜⎟⎝⎠⎝⎠ℏ（2）所以0K下()()5223231331.2203π2TTVVVpnNmVκµ⎛⎞∂=−==⎜⎟∂⎝⎠⎛⎞⎜⎟⎝⎠ℏ（3）根据能氏定理，T=0的等温线与S=0的等熵线是重合的，因此0K下.TSVVpp⎛⎞⎛⎞∂∂=⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠由此可知165()131.20SSVVpnκµ⎛⎞∂=−=⎜⎟∂⎝⎠（4）式（4）也可以从另一角度理解.式（2.2.14）和（2.2.12）给出sVTpCCκκ=（5）和2.pVTVTCCακ−=（6）由式（6）知，0K下,pVCC=所以式（5）给出0K下.STκκ8.18试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K时的费米能量、内能和简并压.解:极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为.cpε=根据习题6.4式（2），在体积V内，在ε到dεε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()238πdd.VDchεεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题6.4式（2）的结果乘以因子2.0K下自由电子气体的分布为()()()1,0;0,0.fµµεµµ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（2）费米能量()0µ由下式确定：()()()()0233308π8π1d0,3VVNchchµεεµ==⋅∫故166()1330.8nchµπ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠（3）0K下电子气体的内能为()()()()()()00033043d8πd8π104UDVchVchµµεεεεεµ===⋅∫∫()30.4Nµ=（4）根据习题7.2式（4），电子气体的压强为()110.34UpnVµ==（5）8.19假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n试求0K时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.解:根据6.3题式（4），在面积A内，在ε到dεε+的能量范围内，二维自由电子的量子态数为()24dd.ADmhπεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.0K下自由电子的分布为()()()1,0;0,0.fµµεµµ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（2）费米能量()0µ由下式确定：()()02204π4πd0,AANmmhhµεµ==∫即()220.4π4πhNhmAmµ==（3）0K下二维自由电子气体的内能为()()()022204π4πd00.22AAmNUmhhµεεµµ===∫（4）167仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为.UpA=（5）因此0K下二维自由电子气体的压强为()10.2pnµ=（6）8.20已知0K时铜中自由电子气体的化学势()07.04eV,µ=试求300K时的一级修正值.解:根据式（8.5.17），温度为T时金属中自由电子气体的化学势为()()()22π01,120kTTµµµ⎡⎤⎛⎞⎢⎥=−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦300K下化学势()Tµ对()0µ的一级修正为()()()223501.121001207.8810eV.kTπµµµ−⎡⎤−=−×⎢⎥⎣⎦=−×这数值很小，不过值得注意，它是负的，这意味着金属中自由电子气体的化学势随温度升高而减小.这一点可以从下图直接看出.图中画出了在不同温度下电子分布函数()fε随ε的变化.0K时电子占据了能量ε从零到()0µ的每一个量子态，而()0εµ>的状态则全部未被占据，如图中的0T线所示.温度升高时热激发使一些电子从能量低于µ的状态跃迁到能量高于µ的状态.温度愈高，热激发的电子愈多，如图中的1T线和2T线所示()12.TT<费米分布1e1hTfεµ−=+168要求在任何温度下εµ=的状态12f=，即占据概率为1.2从图8-2可以看出，化学势µ必然随温度升高而减少，即()210.µµµ<<8.21试根据热力学公式VCSdTT=∫，求低温下金属中自由电子气体的熵.解:式（8.5.19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为()2π.20VkTCNkµ=（1）根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2.4.5），有0dd.VVCpSTVSTT⎡⎤∂⎛⎞=++⎜⎟⎢⎥∂⎝⎠⎣⎦∫（2）取积分路线为（0，V）至（T，V）的直线，即有()()2220ππd,2020TNkkTSTNkµµ==∫（3）其中已取积分常量0S为零.8.22由N个自旋极化的粒子组成的理想费米气体处在径向频率为rω，轴向频率为rλω的磁光陷阱内，粒子的能量（哈密顿量）为()()222222221.22xyzrmpppxyzmεωλ=+++++试求0K时费米气体的化学势（以费米温度表示）和粒子的平均能量.假设5-1210,3800s,8rNωλ===，求出数值结果.解:由式（6.2.4）知，粒子的能量本征值为(),,,xyznnnrxyznnnεωλ=++ℏ,,0,1,2,xyznnn=⋯（1）式中已将能量零点取为1.2rλω⎛⎞+⎜⎟⎝⎠ℏ理想费米气体的化学势(),TNµ由下式确定：169(),,1.e1rxyzxyznnnnnnNβωλµ⎡⎤++−⎣⎦=+∑ℏ（2）如果N足够大使大量粒子处在高激发能级，粒子的平均能量远大于rωℏ，或者温度足够高使rkTω>>ℏ，式（2）的求和可以改写为对能量的积分.令,,,d,d,d,xxryyrzzrxryrzrnnnεωεωελωεωεωελω======ℏℏℏℏℏℏ式（2）可表达为()()3ddd1.e1xyzxyzrNβεεεµεεελω+++=+∫ℏ（3）引入新的积分变量xyzεεεε=++，可进一步将式（2）改写为()()31ddd,e1xyrNβεµεεελω−=+∫∫∫ℏ（4）式中被积函数只是变量ε的函数，与xε和yε无关.对一定的ε，dxε和dyε的积分等于以xε轴、yε轴和xyεεε+=三条直线为边界的三角形面积，如图所示，这面积等于21.2ε所以式（4）可表达为()()d,1DNeβεµεε−=+∫（5）其中()()231dd.2rDεεεελω=ℏ（6）它是能量在ε到dεε+范围内粒子的状态数.0K时系统尽可能处在能量最低的状态.由于泡利原理的限制，粒子将从170能量为零的状态开始，每一量子态填充一个粒子，到能量为()0µ的状态止.()0µ由下式确定：()()()()302330011d.322rrNµµεελωλω==∫ℏℏ由此可得()()1306.rNµωλ=ℏ（7）0K时费米气体的能量为()()()()()()00033043d1d20142rrEDµµεεεεελωµλω===∫∫ℏℏ()30.4Nµ=（8）粒子的平均能量为()30.4εµ=（9）对于题给的数据，可得30nK,rω=ℏ()03.5μK,FTkµ==2.7μK.Ek=8.23承上题，试求低温极限FTT<<和高温极限FTT>>下，磁光陷阱中理想费米气体的化学势、内能和热容量.解:首先讨论低温极限FTT<<的情形.根据式（8.5.13）和（8.5.16）,积分()0d,e1kTIεµηεε+∞−=+∫（1）在低温极限下可展开为171()()()220πd6IkTµηεεηµ′=++∫⋯（2）对于磁光陷阱中的理想费米气体，有20d,e1kTcNεµεε+∞−=+∫（3）其中()31.2rcλω=ℏ上式确定费米气体的化学势.利用式（1），（2）可得2321π,3ckTNµµ⎡⎤⎛⎞=+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦因此11233231πNkTcµµ−⎡⎤⎛⎞⎛⎞=+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦()()22π01.30kTµµ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈−⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（4）气体的内能为30d,1kTcUeεµεε+∞−=+∫利用式（1），（2）可得()()()()()()24242224242224212π4π0112π430034π0112π4300CkTUCkTkTkTkTNµµµµµµµµ⎡⎤⎛⎞=+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈−⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎪⎪≈−⋅+⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭()()223201π.430kTNµµ⎧⎫⎡⎤⎪⎪≈+⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（5）热容量为()2dπ.d0UkTCNkTµ==（6）172在高温极限FTT>>的情形下，有Feee1.TkTTµα−−=≈≈（7）磁光陷阱内的费米气体是非简并的，遵从玻耳兹曼分布.按照玻耳兹曼统计求热力学函数的一般程序，先求粒子配分函数()()10230ed1ed2rZDβεβεεεεελω+∞−+∞−==∫∫ℏ()3312.2rβλω=ℏ（8）内能为1ln3.UNZNkTβ∂=−=∂（9）上式与能量均分定理的结果相符.根据式（7.6.7），气体的化学势为()31Zlnln6.0kTkTkTNµµ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=−=−⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭（10）最后一步用了式（8）和补充题4式（7）.实验已观察到处在磁光陷阱内的费米气体在温度低于费米温度时所显示的费米简并性和费米压强.见B.DeMarco,D.S.Jin.Science.1999,285(1703).A.G.Truscottetal.Science.2001,191(2570).8.24关于原子核半径R的经验公式给出()151/31.310m,RA−=×⋅式中A是原子核所含核子数.假设质子数和中子数相等，均为A/2，试计算二者在核内的密度.n如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，试求二者的()0µ以及核子在核内的平均能量.核子质量271.6710kg.nm−=×解:根据核半径的经验公式()11531.310m,RA−=×⋅173假设核内质子数和中子数相等，均为2A，则二者的密度均为()45-31520.0510m.4π1.310m3AnA−=≈××⋅如果将核内的质子和中子看作简并费米气体，根据式（8.5.6），费米能量()0µ为()()22231103π20.4310J27MeV.nmµ−==×≈ℏ由式（8.5.7）知，核子在核内的平均能量为()113050.2610J16MeV.εµ−==×≈核的费米气体模型是20世纪30年代提出的核模型.它在定性描述原子核的粗略性质方面取得了一定的成功.核的费米气体模型把核子看作是约束在核内的无相互作用的自由粒子.从核子散射实验知道，核子之间存在很强的相互作用，其中包含非常强的排斥心.将核子看作核内无相互作用的自由粒子，可以这样理解：排斥心的半径约为150.410m−×，核内核子之间的平均距离约为152.410m−×，因此原子核的“最密集”体积与实际体积之比约为30.412.4100⎛⎞≈⎜⎟⎝⎠，这样核子实际上感受到的只是相互作用中较弱的“尾巴”部分.其次，由于泡利原理的限制，大多数核子（特别是处在费米面深处低能态的粒子）发生碰撞时，其状态很难发生改变，仅在费米面附近的少数核子有可能在碰撞时改变其状态.作为一个初步近似，费米气体模型忽略了核子之间的相互作用.8.253He是费米子，其自旋为1/2在液3He中原子有很强的相互作用.根据朗道的正常费米液体理论，可以将液3He看作是由与原子数目相同的3He准粒子构成的费米液体.已知液3He的密度为-381kgm⋅，在0.1K以下的定容热容量为2.89.VCNkT=试估算3He准粒子的有效质量*.m174解:我们首先粗略地介绍一下朗道费米液体理论的有关概念.如§8.5所述，在0K理