最优化设计基础

第17讲最优化 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 基础主要内容引言优化问题实例优化模型优化建模优化求解产品设计是约束满足问题，是参数优化问题。运用优化设计理论及方法，借助计算机程序，为实现预期目标,考虑各种设计要求，自动寻找最优设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 和最佳设计参数。优化设计流程传统设计流程设计要求方案设计综合与分析 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 输出图文技术资料优化设计数学模型优选设计变量优化算法程序是否是否满足要求输出传统设计过程与优化设计过程传统设计方法：经验方法慢，难以获得最优或次优解；优化设计方法：有理论支持，寻优快速，可以获得全局最优或次优解优化设计应用成功案例美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优化设计，使成本降低约10%。使传统设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能；使传统设计中，性能指标的校核可以不再进行；使设计的部分评价，由定性改定量成为可能；使零缺陷（废品）设计成为可能；大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量。17.2优化设计问题实例优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括：（1）形成数学模型；（2）选用适当的优化方法和程序运算求解。已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3；（3）设计约束条件：（a）体积要求；（b）长度要求；例1：箱盒的优化设计数学模型：设计参数：设计目标：约束条件：某工厂生产A和B两种产品，A产品单位利润为PA万元，B产品单位利润为PB万元。每生产一个A产品需消耗煤aC吨，电aE度，人工aL个人日；每生产一个B产品需消耗煤bC吨，电bE度，人工bL个人日。现有可利用生产资源煤C吨，电E度，劳动力L个人日，欲找出其最优分配方案，使利润最大。分析：（1）利润的表达式；（2）设计参数确定：A产品xA，B产品xB；（3）设计约束条件：（a）煤约束；（b）电约束；（b）劳动力约束；例2：生产资源调度问题数学模型设计参数：设计目标：约束条件：已知：传动比i,转速n,传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。例3：直齿圆柱齿轮副的优化设计分析：（1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达；（2）设计参数确定：模数m，齿宽b，齿数z1；（3）设计约束条件：（a）大齿轮满足弯曲强度要求；（b）小齿轮满足弯曲强度要求；（c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（d）齿宽系数要求；（e）最小齿数要求。直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型设计参数：设计目标：约束条件：17.3优化设计的数学模型任何一个实际优化问题，其具体要求和约束条件各不相同，其共同点：将实际问题转化为数学模型（一个难点）——用数学 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 来表示使既要优化的问题。数学模型：设计变量、目标函数、约束条件优化问题的数学模型1.设计变量一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示。设计变量——在优化设计中，可以进行调整和优选的独立参数设计变量的全体实际上是一组变量，用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。由n的大小，将优化问题分成高维、中维、低维优化问题。按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 规格等）。设计空间二维设计三维设计小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；中型设计问题：10—50个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。视目标和约束函数的性质，目前已能解决200个设计变量的大型非线性最优化设计问题。设计空间的维数2.约束条件设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。约束条件约束又可按其数学表达形式分成等式约束和不等式约束两种类型：(1)等式约束(2)不等式约束可行域:在设计空间中，满足所有约束条件的设计点所构成的空间。例：满足两项约束条件g1（X）=x12＋x22—16≤Og2（X）＝2—X2≤0二维设计问题的可行域D。可行域3.目标函数在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的X值。单目标函数多目标函数 为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(X)表示。目标函数等值（线）面目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数F(x)的等值面（线）数学表达式为：目标函数等值（线）面对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。如：F(x)=(x1-a)2+(x2－b)2设计变量x1，x2所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。从等值线上，可以清除地看到函数值的变化情况4.优化设计问题一般数学形式满足约束条件求设计变量向量使目标函数17.3建模实例建模是优化设计的第一步，把实际问题抽象成数学模型的一个过程。步骤：1）恰当的表达目标函数2）选取变量3）确定约束条件例1)人字架结构优化设计　由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为2p，两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为B，杆的比重为ρ，弹性模量为E，屈服强度为σ。求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。桁杆的截面积为：负载2p在每个杆上的分力为：桁杆的总重量为：由此得稳定约束：圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：压杆稳定的临界应力为此应力要求小于材料的屈服极限，即：杆截面的应力为：另外还要考虑到设计变量d和h有界。从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型：例2）某房地产公司有水泥100t，木材16t和玻璃410t，用以建造A型和B型住宅。建一栋A型住宅需水泥1t、木材2t、玻璃2t、，每栋售价100万元。建一栋B型住宅需水泥1t、木材1t、玻璃5t、，每栋售价150万元。应如何安排两种住宅的建造数量，才能使总售价最高?数学模型：-x1≤0-x2≤0X=[x1,x2]T17.4优化问题的几何解释和基本解法例1：如下二维非线性规划问题一、几何解释通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：约束方程所围成的可行域是D。求解优化问题的基本解法图解法解析法数值解法解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法。约束问题：Langrage函数法（等式约束）局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。用图解法求解例：解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。数值迭代法的基本思路：是进行反复的数值计算，寻求目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X（0），从X（0）出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到X（1）点；2）得到新点X（1）后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从X（1）点出发再跨出一步，达到X（2）点，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。二、数值法求解步骤在中间过程中每一步的迭代形式为：ｘk——第k步迭代计算所得到的点，称第k步迭代点，亦为第k步设计方案；αk——第k步迭代计算的步长；Sk——第k步迭代计算的探索方向。用迭代法逐步逼近最优点的探索过程如图所示。迭代法新点的目标函数应满足函数值下降的要求：（1）选择搜索方向（2）确定步长因子（3）给定收敛准则收敛：迭代法要解决的问题：搜索方向－优化算法（方法）网格法座标轮换－>Powell(共轭方向)梯度方向－>共轭梯度－>牛顿（共额梯度乘以Hessen逆阵）－>拟牛顿法2）迭代终止准则（1）点距准则ffkfk+1f*xkoxk+1x*x(a)（2）目标值差准则（3）目标函数梯度准则上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：如:点距原则+值差原则三、优化设计一般步骤17.5典型优化方法经典方法一维搜索、线性规划（LP）、二次规划（QP）、半正定（SDP）、多项式规划（POP）直接方法：网格法、Powell、复合形法、Hookjeeves等基于梯度的方法：牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法、序列二次规划（SQP）等启发式方法GA蚁群算法粒子群PSO算法SA模拟退火全局优化方法DIRECT响应面方法模式追踪方法无约束优化方法约束的处理：罚函数方法，Langrage方法（除约束优化方法）多目标的处理：加权（除多目标优化方法）MATLAB优化函数MATLAB优化工具箱还提供GA,SA等算法Matlab/OptimizationTool优化模型的输入目标函数@MinFunfunctionfun1=MinFun(x)fun1=x(1)*x(2)+2*(x(2)*x(3)+x(1)*x(3));非线性约束函数：@nLinConsfunction[c,ceq]=nLinCons(x)%c(1)=x(1)-20;%c(2)=x(2)-20;%c(3)=x(3)-20;c=0;%ceq=0;ceq(1)=x(1)*x(2)*x(3)-100;线性约束（等式，不等式）：Ax<=b或Ax=b思考题基本概念——设计变量、设计空间、可行域、目标函数等值线（面）标准数学模型形式可行域的图解法上机：Matlab下优化工具箱使用，结合前面的实际问题编程求解