关于混合偏导数一个结论的注解

关于混合偏导数一个结论的注解 () 文章编号 : 16722691 X 2009S520005202 关于混合偏导数一个结论的注解 李林霞 ()安康学院 数学系 ,陕西 安康 725000 摘 要 :微积分中提到 ,二元函数的二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关的结论可以推广到二元函 数的更高阶混合偏导数 . 许多MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714485235305_2对这个结论一带而过 . 学生在学习这部分 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 时 ,理解出现了偏差 ,本文予以 分析 ,解释 ,并给出满足条件下的二元函数 n 阶偏导数的个数确定方法 . :O172 . 1 文献 标识 采样口标识规范化 下载危险废物标识 下载医疗器械外包装标识图下载科目一标识图大全免费下载产品包装标识下载 码 : A 中图分类号 关键词 :二元函数 ; 混合偏导数 ; 连续 ; 求导次序 3 3 5z 5z 2 2 = 18 x y 6 , = 18 x y + 2 , - 21 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的产生 5 y5 x5 y5 y5 x 3 3 5z 5z 2 3 ( ) 定理 若二元函数 z = f x , y的两个二阶混 = 18 x y + 2 , = 6 x . 2 3 5 y 5 x 5 y 2 2 z 5 z 5 合偏导数 及 在区域 D 内连续 , 则在该解题完毕后 , 学生观察答案 , 忽然产生了困 5 x5 y 5 y5 x 3 3 z 5 z 5 区域内 , 这两个二阶混合偏导数必相等 . 即有 惑 : 都是混合偏导数且 在整 个 平面 , 2 2 5 x 5 y 5 x5 y 2 2 5z 5z 3 .= 5 z 5 x5 y 5 y5 x 区域 D 内 连 续 , 满 足 定 理 的 条 件 , 但 ? 2 5 x 5 y 多数教材对这个定理的解释为 :二元函数的 3 5 z , 不符合定理的结果 , 是计算出错了吗 ? 再 两个二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序 25 x5 y 无关 , 并给出定理推广后的结论 “: 二元函数 z = f 次验算 , 答案正确 . 学生不明就里. ( ) x , y的两个高阶混合偏导数在连续的条件下也 2 问题的分析及解释 与求导次 序 无 关”. 学 生 课 后 作 了 这 样 一 个 练 这主要是学生对定理的理解出现了偏差 , 认 习 : 3 5 z 2 23 3 设 - 3 xy + x y , 求 + 3 z = xy2 , 为定理的条件是混合偏导数连续 , 定理的结论与 5 x5 y 3 求导次序无关 . 只要函数满足定理的条件 , 则结论 5z .2 5 x5 y成立 , 也就是函数可任意对不同变量 x , y 求任意 解题如下 , 因为 阶偏导数得到的高阶混合偏导数只要阶数相同就 2 5 z 5z 2 2 2 3 认为都相等 . 那么 , 如何正确理解定理呢 ? 定理的 = 3 x y - 6 x y , = 6 x y 6 y , + y - 2 5 x 5 x 理解关键在于对 : “ 与求导次序无关的”理解 , 它是 2 5z 2 2 = 9 x y - 6 x + 2 y , 指两个同阶的连续的高阶混合偏导数若要相等 , 5 x5 y 则它们的特点是 :其中一个可以通过交换对不同 5 z 3 2 2 = 3 x y 3 x + 2 x y , - 变量 x , y 求导的先后次序转化为另一个. 5 y 3 3 2 2 5 z 5 z 5z 5z 2 2 3 ( ) = 9 x y = 6 x y + 2 x . 如 :交换等于 中第二个 x 与6 x + 2 y , - 2 2 5 x5 x5 y 5 x5 y 5 y5 x 5 y3 3 5 z 5 z 所以 y 的先后次序转化为 , 再交换 中第 3 3 5 x5 y5 x 5 x5 y5 x 5z 5z 3 2 = 6 y , = 18 x y - 6 , 3 32 5 z 5 x 5 x5 y一个 x 与 y 的先后次序化为 , 它们可以互 2 3 3 5 y5 x 5z 5z 2 2 6 , = 18 x y - = 18 x y + 2 , 2 5 x5 y5 x 5 x5 y化 , 因此有 收稿日期 :2009203225 . () 作者简介 :李林霞 19652,女 , 陕西安康人 ,陕西安康学院副教授 ,主要从事高等数学教学及研究 . 3 3 3 2 5z 5z 5z x y+ 3 是一个多项式函数 , 它在整个平面区域内 = .= 2 2 5 x5 y 5 x5 y5 x5 x5 y 的 n 阶偏导数都连续 , 因此求其各阶偏导数方法 3 3 5 z 5 z 对于 与 , 由于其中任意一个通过 2 2可简化为 : 5 x5 y 5 x5 y 一阶偏导数有 2 个 : 交换 x 与 y 的先后求导次序都不能化为另一个 , z 5 z 5 2 2 2 3 2 2 = 3 x y - 6 x y + y = 3 x y - 3 x + 2 x y . , 因此不符合定理的结果 , 即 5 x 5 y3 3 5z 5z 二阶偏导数有 3 个 , 其中混合偏导数有 3 - 2 ?.2 2 5 x5 y 5 x5 y= 1 个 : 这就提醒教师以后在讲这个结论时 , 不能一 2 5z 3 = 6 x y - 6 y , 2带而过 , 要重点强调对不同变量求导次序可交换 5 x 3 2 ( ) 而不管求导的阶数的思想 , 避免学生再出现这 5z 5z 2 2 = 9 x y - 6 x + 2 y , = 5 y5 x 5 x5 y样的疑惑 . 2 5z 3 = 6 x y + 2 x . 23 二元函数的 n 阶连续偏导数的个数 y 5 三阶偏导数有 4 个 , 其中混合偏导数有 4 - 2 从前面的讨论知道 :二元函数的高阶混合偏 = 2 个 : 导数在连续的条件下某些相等 , 某些不相等 , 那么 3 3 5 z 5 3 z 3 二元函数的高阶偏导数在连续的条件下其个数能 = 6 y, = 6 x,335 x 5 y 3 3 3 否确定呢 ? 下面予以探讨. 5z 5z 5z 2 = = = 18 x y - 6 , 22 5 x5 y5 x 5 y5 x5 x5 y ( ) 设二元函数 z = f x , y 的高 阶 偏导 数都 连 3 3 3 5z 5z 5z 2 续 , 则一阶偏导数有两个 f ′和 f ′, 二阶偏导数 x y = 18 x y + 2 . = = 22 5 x5 y 5 y5 x5 y 5 y5 x ( ) 有 3 个 f ″, f ″, f ″f ″= f ″, 三阶偏导数有x x yy x y x y yx ??. ( 4 个 f ,,,, f ,,,, f ,,,, f ,,,因为 , 对 3 个二阶偏 x x x yy y x x y y y x 导 参考文献 : f ,,,数再关于 x , y 求偏导数可得 6 个 3 阶偏导数 x () [ 1 ] 同济大学数学教研室 . 高等数学 下册[ M ] . 第 5 版 . , f ,,,, f ,,,, f ,,,, f ,,,, f ,,,, 其中交换混 合偏x x x x y yy x yy y x y x x y y 北京 :高等教育出版社 ,2003 . 导数 f ,,,x 与 y 先后次序得 f ,,,, 交换混 合偏x x y x y x () [ 2 ] 同济大学函授教学教研室 . 高等数学 下册[ M ] . 第 3 导数 f ,,,的 x 与 y 先后次序得 f ,,,, 由定 理的yy x x y y 版 . 上海 :同济大学出版社 ,2003 . 结论 知 , f ,,,= f ,,,, f ,,,= f ,,,. 所 以 三 x x y x y x y y x x y y 阶偏导( ) [ 3 ] 刘玉链 ,傅沛仁 . 数学分析讲义 下册[ M ] . 北京 : 人 ) 数有 4 个, 依此类推 , 若二元函数的 n 阶 偏导数民教育出版社 ,1982 . 都连续 , 则其 n 阶偏导数只有 n + 1 个 , n 阶混合 ( ) 偏导数只有 n + 1- 2 = n - 1 个 . 3 3 2 例如前面所给的二元函数 z = xy- 3 xy + Remark of a mix part ial derivat ive concl usion L I l i n2x i a ()Depa rt ment of Mat hematic s ,A nka ng U niver sit y ,A nka ng 725000 ,Chi na Abstract : The calcul u s me ntio ned : t he dual f unctio n’s seco nd2o r der mi x p a r tial de rivative ha s no t hi ng to do wit h t he de rivatio n o r der under t he co nti nual co nditio n ,t hi s co ncl u sio n ma y p ro mo t e to t he dual f unctio n hi gher o r de r mi x p a r tial derivative . The mo st t eachi ng mat e rial s do no t t reat serio u sl y to t hi s co ncl u sio n . The st ude nt mi sunder st a nd w he n t hey st udy t hi s co nt e nt , t hi s a r ticle ha s a nal yze d , e x2 p lai ne d a nd give n t he met ho d ho w to j uda ge t he number of t he dual f unctio n n2o r der p a r tial derivative under t he co nditio n . Key words :dual f u nctio n ; mi x p a r tial derivative ;co nti nuo u s ; derivatio n o r der