[整理]小孩拉玩具问题数学模型

[整理]小孩拉玩具问题数学模型[整理]小孩拉玩具问题数学模型小孩和玩具的问题解:假设小孩拉的玩具如图1所示，由于整个推拉过程中(图2)，玩具走的轨迹，只与C在地面上的投影点B的轨迹有关。所以我们把模型简化为图3。 C A B 图 2 图 1 假设1:小孩B点所走曲线为沿着小棒a的方向(直线AB)，则玩具A走的轨迹为直线(沿AB方向的)。此时，小孩行走的速度与玩具的速度相同。 a 假设2:小孩B点所走曲线为一个A点 A 为心的圆，则玩具不动。此时，如果小孩B图 3 行走的速度为v，而玩具A的速度却为零，这说明，...

[整理]小孩拉玩具问题数学模型小孩和玩具的问题解:假设小孩拉的玩具如图1所示，由于整个推拉过程中(图2)，玩具走的轨迹，只与C在地面上的投影点B的轨迹有关。所以我们把模型简化为图3。 C A B 图 2 图 1 假设1:小孩B点所走曲线为沿着小棒a的方向(直线AB)，则玩具A走的轨迹为直线(沿AB方向的)。此时，小孩行走的速度与玩具的速度相同。 a 假设2:小孩B点所走曲线为一个A点 A 为心的圆，则玩具不动。此时，如果小孩B图 3 行走的速度为v，而玩具A的速度却为零，这说明，在推玩具的过程中，小孩B的速度与玩具A的速度不同。由此特殊情况，我们可以看到，当小孩B行走的路线是曲线时，小孩B的速度与玩具A的速度是不同的。 vvBA 假设3:如果小孩B点走的轨迹是一条曲线c(图4 )，不妨设曲线的轨迹方程是一个与时间t有关的参数方程。而玩具A走的轨迹为曲线c?。 X,X(t),x,x(t),,,B,c:c: ,,aY,Y(t),y,y(t).A,,A'B' 图4 (x(t),y(t))(X(t),Y(t)),,B则t时刻小孩的坐标为， B(X(t),Y(t)) ,,A玩具的坐标为。 A(x(t),y(t)) ,,AB(1)t时刻，由于的距离为a，由于小孩拉的是硬棒，在小孩拉玩具的过程 222中，假设棒与地面的角度不变，因此有，(X(t),x(t))，(Y(t),y(t)),a 222即… …(1) (X,x)，(Y,y),a (2)设玩具在A,点的速度，则的方向应为玩具所走曲线c,的切线方向，vv,,AA ,,,,而玩具始终是沿着小棒A,B,的方向，所以，且;AB//vv,[x(t),y(t)],,AA ,,又小孩的速度的方向为其运动轨迹的切线方向，且投影在方向上的分ABvv,,BB速度为玩具的速度。 ,,,, ,,,,,,又，由向量知识有， v,(X,Y)AB,v,AB,v,cos,,B,,BB ,,,(X,x,Y,y),(X,Y)22,,故有， v,(x)，(y),,A22(X,x)，(Y,y) ,,,(X,x),X，(Y,y),Y22,,化简得。 v,(x)，(y),,A22(X,x)，(Y,y)当玩具坐标为，小孩坐标为时，其位置关系如图5所示，(x,y)(X,Y) Y 方向 (x,Y) (X,Y) , 玩具(x,y) (X,y) x方向图 5 , ,玩具运动速度在x方向上的分量为… …(2)vv,x,v,cos,,,AAxA 22(X,x)，(y,y)X,x,cos,,其中2222(X,x)，(Y,y)(X,x)，(Y,y) , ,v同理，玩具运动速度在y方向上的分量为… …(3)v,y,v,sin,,A,AyA 22(x,x)，(Y,y)Y,y其中; sin,,,2222(X,x)，(Y,y)(X,x)，(Y,y) 当小孩所走曲线为一个以原点为圆心半径为R的圆时，小孩所走路径的曲线方程为: X,R,cost,， ,Y,R,sint, 则t时刻小孩的速度为 ,v,X(t),,R,sint,Bx… …(4) ,,()cosv,Yt,R,tBy, x(0),i,设初始时刻，玩具的位置为(i,j)，即… …(5) ,y(0),j, 联立(2)(3)(4)(5)式,建立如下微分模型: (Rcost,x),(,Rsint)，(Rsint,y),RcostRcost,x,,v,x,,x,2222(Rcost,x)，(Rsint,y)(Rcost,x)，(Rsint,y), ,(Rcost,x),(,Rsint)，(Rsint,y),RcostRsint,y,,v,y,,,y2222(Rcost,x)，(Rsint,y)(Rcost,x)，(Rsint,y), ,x(0),i, ,y(0),j, 整理得: (Rcost,x),(,Rsint)，(Rsint,y),(Rcost),(Rcos,x),,,v,x22,(cos)(sin)Rt,x，Rt,y, (cos)(sin)(sin)(cos)(sin),,Rt,x,,Rt，Rt,y,Rt,Rt,y,v, y,22(Rcost,x)，(Rsint,y), ,(0)x,i ,(0)y,j, 利用MATLAB软件求解上述微分模型，程序如下: 函数文件: function dy=sudufl(t,y) %速度用x轴和y轴上的分量表示 R=5; dy(1)=(-R*sin(t)*(R*cos(t)-y(1))+R*cos(t)*(R*sin(t)-y(2)))*(R*cos(t)-y(1))./((R*cos (t)-y(1))^2+(R*sin(t)-y(2))^2); dy(2)=(-R*sin(t)*(R*cos(t)-y(1))+R*cos(t)*(R*sin(t)-y(2)))*(R*sin(t)-y(2))./((R*cos (t)-y(1))^2+(R*sin(t)-y(2))^2); dy=[dy(1),dy(2)] 主函数: clear,clc R=5; i=[10,12,8];j=0; t0=0;tn=200; [t,y]=ode45('sudufl',[t0,tn],[i(1),j]); X=R*cos(t); Y=R*sin(t); subplot(1,3,1),plot(X,Y,'r.',y(:,1),y(:,2),'*'),title('玩具初始位置为(10，0)点时玩具的轨迹') [t,y]=ode45('sudufl',[t0,tn],[i(2),j]); subplot(1,3,2),plot(X,Y,'r.',y(:,1),y(:,2),'+'),title('玩具初始位置为(12，0)点时玩具的轨迹') [t,y]=ode45('sudufl',[t0,tn],[i(3),j]); subplot(1,3,3),plot(X,Y,'r.',y(:,1),y(:,2),'.'),title('玩具初始位置为(8，0)点时玩具的轨迹')

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