欧拉定理 何轶
正多面体欧拉定理的应用
一 引言
1 研究对象 正多面体欧拉定理V+F-E=2和应用问题
2 研究
方法
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分析举例
3 目的和意义 通过探讨正多面体欧拉定理的应用问题，更加深入的理解欧拉定理的内涵
二 研究内容
1 用正多面体欧拉定理判断怎样的多面体不存在
1) 由欧拉定理证明:正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十
新疆王新敞奎屯面体这五种
证明:设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱， nm
nF令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，Fn
nF故多面体棱数E, (1) 2
新疆王新敞奎屯VmV 令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱由于每条棱有两个顶点，m
mV故多面体棱数 (2) E,2
2E2E22EE由(1)(2)得:，代入欧拉公式:( F,V,，,,E2nmmn1111? (3)， ，,,mnE2
m,3n,33?又，，但，不能同时大于， mn
1111m,3n,3(若，，则有，即这是不可能的) ,0，,,0Emn2
11113n,3?，中至少有一个等于(令，则， mn，,,,0mE3211m,535,,m?，?，?( ,m6
m,335,,n同样若可得(
新疆王新敞奎屯2) 有没有棱数是7的简单多面体,说明理由 证明:?V，F,E,2 ， ?V，F,7，2,9 ?多面体的顶点数V?4，面数F?4
?只有两种情况V,4，F,5或V,5，F,4
但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面
有四个面的多面体是四面体，也只有四个面，不可能有5个面 ?没有棱数是7的简单多面体
新疆王新敞奎屯3) 是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个在都有奇数条边 证明:设有一个多面体，有F(奇数)个面，并且每个面的边数
也都是奇数，则 n,n？n12F
n，n，？，n,2E12F
新疆王新敞奎屯但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的 ?不存在这样的多面体
2 欧拉定理在研究化学分子结构中的应用:
新疆王新敞奎屯C是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体这个多面体有60个顶点，以每一个C60
顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数C60新疆王新敞奎屯目
新疆王新敞奎屯解:设分子中有五边形个，六边形个 yCx60
1Fxy,，V,60分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得:CE,，，(360)602
1 (1)， 60()(360)2，，,，,xy2
11另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得 (2)，由(1)(2)得:(56)(360)xy，,，22
y,20x,12，
3 用正多面体欧拉定理解决正多面体的面数、顶点数和楞数的有关问题
新疆王新敞奎屯20,一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数
Fm(2)20,,,,解:由题意设每一个面的边数为,则， m
Fm(2)20,,?，
mFEF,，10?,E，?, 2
VFE，,,2V,12将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为, n
n12n12n52则，得,即(1), EVn,,6F,1262，,,n，,1m2m3nmm,3n,5n,3?，?,又，
?的可能取值为3，,5, 4n
n,3n,4当或时(1)中无整数解; m
n,5m,3当,由(1)得,
?E,30F,20, ?，
E,30V,12F,20综上可知:，，.
三 研究结论和心得
在对正多面体欧拉定理的应用进行了一次深入的研究之后，我发现自己不仅仅是记得了一个公式，更是深刻的理解了这个公式的意义。为了更好的研究这个专题，我还认真地阅读了有关正多面体欧拉定理的证明问题。
曾经在研究化学中的C60问题时十分迷惘，在学习了正多面体欧拉定理之后，这类问题都迎刃而解了。
这次研究过程中，数学分析和归纳计算能力得到了显著提高。
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