矩阵的等价相似与合同

矩阵的等价相似与合同 矩阵的等价,合同,相似的联系与区别 目 录 摘 要 ............................................................................................................... I 引 言 ................................................................................................................ 1 1矩阵间的三种关 系 ....................................................................................... 11.1 矩 阵的等价关 系 ........................................................................................ 11.2 矩阵的合同关 系 ...................................................................................... 11.3. 矩 阵的相似关 系 ....................................................................................... 2 2 矩 阵的等价、合同和相似之间的联 系 ........................................................ 3 3矩阵的等价、合同和相 似之间的区别 ......................................................... 5 结束 语 ............................................................................................................ 6 参考文 献......................................................................................................... 6 摘 要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举 足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质(其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化( 关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件 引言: 在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系(本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致(还有矩阵的相似与合同之等价条件(并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系 定义1两个s?n矩阵A,B等价的充要条件为:存在可逆的s阶矩阵p与可逆的 n阶矩阵Q，使B?PAQ 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个 条件: (1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵). (2)存在s 阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q, 使得B?PAQ. 性质1 (1)反身性:即A?A. (2)对称性:若A?B，则B?A (3)传递性:即若A?B，B?C，则A?C 定理1 若A为m?n矩阵，且r(A)?r，则一定存在可逆矩阵P(m阶)和 ?Ir Q(n 阶)，使得PAQ?? ?0 0? ?B.其中Ir为r阶单位矩阵. ?0?m?n 推论1 设A、B是两m?n矩阵，则A?B当且仅当r(A)?r(B). 1.2 矩阵的合同关系 定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵 p ，使得PTAP?B,则称矩阵为合同矩阵(若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩 阵)，由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件: (1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p上的n阶矩阵p,PTAP?B 性质2 (1)反身性:任意矩阵A都与自身合同. (2)对称性:如果B与A合同，那么A也与B合同. (3)传递性:如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得:合同矩阵的秩等. 定理2 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. 定理3 复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形: 22 f?y12?y2??yr 1.3. 矩阵的相似关系 定义3设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得P?1AP?B,则称矩阵A与B为相似矩阵(若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与 B 为正交相似矩阵) 由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件 (1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域p上n阶可逆矩阵P，使得P?1AP?B 性质3 (1)反身性 A?ETAE ; (2)对称性 由B?CTAC即得A??C?1?BC?1; (3)传递性 A1?C1TAC1和A2?C2TA1C2即得 A2?C1C2?A?C1C2? 总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的. (4) P(k1A1?k2A2)P?k1PA1P?k2PA2P(其中k1,k2是任意常数); (5)P(A1A2)P?(PA1P)(PA2P); (6)若A与B相似，则Am与Bm相似(m为正整数); (7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果B?PAP为满秩矩阵，那么 B ?1 ?1 T T ?1?1?1 ?1?1?1 ?(PAP) ?1?1 ?PAP. ?1?1 即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似. (8)相似的矩阵有相同的行列式; 因为如果B?P?1AP，则有:B?P?1AP?P?1AP?A (9)相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆;并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似; 设B?P?1AP，若B可逆，则B?1?(P?1AP)?1?PA?1P?1从而A可逆.且B?1 与A?1相似. 若B不可逆，则(P?1 AP)不可逆，即A也不可逆. 下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定(转 载于:wWw.xIeLw.com 写 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 网:矩阵的等价相似与合同)理 定理4 相似矩阵的特征值相同. 推论3 相似矩阵有相同的迹. 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 (1) 由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系 定理5 相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵( 证明: 设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵P1，使得 P?1 1AP1?B ，此时若记P?P?11,Q?P1 ,则有PAQ?B,因此由定义1得到n阶方阵 A,B等价 反过来，对于矩阵A??100??1 21? ??0 1 0?,B??等价，但是A与B并不相似， ??0 1 0?? 即等价矩阵未必相似( 定理 6对于n阶方阵A,B，若存在n阶可逆矩阵P,Q 使PAQ?B,(即A与B等价)，且PQ?E (E为n阶单位矩阵)，则A与B相似( 证明: 设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵P,Q,使PAQ?B,即A与B等价(又知PQ?E,若记P?P?11 ,那么Q?P1,也即P?11AP1?B,则矩阵A,B也相似( 定理7 合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵( 证明: 设n阶方阵A,B合同，由定义2有，存在n阶可逆矩阵P1，使得PT1AP1?B，记P?PT1,Q?P1,则有PAQ?B因此由定义1得 到n阶方阵A,B等价 若 篇二:矩阵的合同,等价与相似的联系与区别 矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 200509113 李娟娟 一、基本概念与性质 (一)等价: 1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A?B。 2、矩阵等价的充要条件: A?B?{A.B同型，且人r(A)=r(B) 存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知:两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 (二)合同: 1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A?BPTAP?B成立，则称A,B合同，记作A?B该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件:矩阵A,B均为实对称矩阵，则A?B?二次型xTAx与xTBx有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。 (三)相似 1、概念:n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B?P?1AP 成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。 2、矩阵相似的性质: AT~BT,Ak~Bk,A?1~B?1(前提，A,B均可逆) |?E-A|?|?E?B|即A,B有相同的特征值(反之不成立) A~B?r(A)=r(B) tr(A)?tr(B)即A,B的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件: ?充分条件:矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。 ?充要条件:A~B?(?E?A)?(?E?B) 二、矩阵相等、合同、相似的关系 (一)、矩阵相等与向量组等价的关系: 设矩阵 A?(?1,?2,?,?n)，B?(?1,?2,?,?m) 1、若向量组(?1,?2,?,?m)是向量组(?1,?2,?,?n)的极大线性无关 组,则有m?n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，前者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)?r(B)但不能得出A?B。 2、若m=n，两向量组(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?m)则有矩阵A,B 同型且r(A)?r(B)?A~B,A?B,A?Br(A)?r(B)?A?B。 3、若A?B?r(A)?r(B)?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有 A?B??(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n) 综上所述:矩阵等价与向量等价不可互推。 (二)、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 ?相似?等价:A~B?A,B同型且r(A)?r(B)?A?B ?合同?等价:A?B?A,B同型且r(A)?r(B)?A?B ?相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以 ?、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当A~B时，|?E?A|?|?E?B|?二次型f(x)?XTAX与g(x)?XTBX有相同的标准型，即二者有相同的正负惯性指数?A?B?A?B 即有A~B?A?B?A?B ?、存在一个正交矩阵P，即PTP?E使得PTAP?B即A?B则有 ?1B?PTAP?PAP?~A B 即有A?B?A~B ?、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则 A~B时有 A~B?A?B?A?B ?、A~B?r(A)?r(B)、A?B?r(A)?r(B)、A?B?r(A)?r(B) 下面讨论r(A)?r(B)时A~B,A?B,A?B成立的条件。 由?、?、?的论述可知 存在正交矩阵P时，有PT?P?1，则 r(PTAP)?r(A)记B?PTAP则r(A)?r(B) 此时A?B?A~B?A?B 即P为正交矩阵时，由r(A)?r(B)?A~B,A?B,A?B (三) 1、矩阵等价:?同型矩阵而言 ?一般与初等变换有关 ?秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的 本质是秩相等 2、矩阵相似:?针对方阵而言 ?秩相等是必要条件 ?本质是二者有相等的不变因子 3、矩阵合同:?针对方阵而言，一般是对称矩阵 ?秩相等是必需条件 ?本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同 由以上知，秩是矩阵等价的不变量;不变因子是矩阵相似的不变量;特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵 篇三:矩阵的合同与相似及其等价条件 矩阵的相似与合同及其等价条件研究 ( 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 与统计学院 09级数学与应用数学一班) 指导老师: 王晶晶 引言 矩阵的相似与合同及其等价三者在线性代数中是很重要的概念，在线性代数的学习中，矩阵的相似与合同作为研究工具，得到广泛的应用[1-10]，起着非常重要的作用，能够把要处理的问题简单化[9]，本文对矩阵的等价，合同，相似进行了简单的介绍并对其判别 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 给了具体的例子进行解释说明，对矩阵的应用学习有一定的帮助. 1 矩阵的等价与相似及其合同的基本概念 1.1矩阵等价的定义[1] 定义1.1 如果矩阵A可以有矩阵B经过有限次初等变换得到，称A与B是等价的. 由于要与矩阵的相似，合同进行比较，上述概念可以约束条件得到: 定义1.2 如果n阶矩阵A可以由n阶矩阵B进过有限次初等变换得到，则称A与B是等价的. 根据初等变换和初等矩阵的关系以及可逆矩阵的充分必要条件，可以用数学语言描述: 定义1.3 设矩阵A,B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P和Q,使得PAQ?B,则称矩阵A与B等价，记作A?B. 1.2 矩阵相似的定义[2] 定义1.4 设矩阵A，B为n阶矩阵，如果存在一个是n阶可逆 矩阵P，使得 P?1AP?B,则称矩阵A与矩阵B相似，记作A,B. 1.2.1 n阶矩阵的相似关系，具有下列性质[3]: 性质1.1 反身性，即任一n阶矩阵A与自身相似. 性质1.2 对称性，即如果A,B，则B,A. 性质1.3 传递性，如果A,B，B,C，则A,C. 性质1.4 P?1(k1A1?k2A2)P?k1P?1AP?k2A2P. (k,k是任意常数) 12 性质1.5 P?1(A1A2)P?(P?1A1P)(P?1A2P). 性质1.6 若矩阵A与矩阵B相似，则Am与Bm相似.(m为正整数) 证明 存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，那么P?1AP可以得到Am与相Bm相似. 性质1.7 如果矩阵A、B都是满秩，则A,B，那么B,A. 证明 存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，那么P?1AP故可以得到B,A. 性质1.8 如果矩阵A,B，那么A?B. 证明存在一个可逆矩阵P，使得P?1AP?B，又因为P?1AP?B，P?1P?1，故可以得到A?B. 性质1.9 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆.并且当它们都可逆时候，它们的逆矩阵也相似. 证明设B?P?1AP，若矩阵B可逆，B?1?P?1AP也相似. 若B不可逆，则P?1AP不可逆，即A也不可逆. 性质1.10 相似矩阵有相同的特征值. 证明设B?P?1AP，?E?B?P?1?EP?P?1AP ?1 ?1 ?1 ?1 ?? m ?Bm?P?1AmP，故 ?? ?1 ?B?1?P?1A?1P， ?? ?1 ?P?1A?1P，从而B?1和A?1 ?P?1??E?A?P??E?A 故矩阵A的特征值与矩阵B有相同的特征值. 性质1.11 相似矩阵有相同的迹. 证明可以设矩阵A与矩阵B相似，那么存在一个可逆矩阵P,使 得P?1AP?B， tr?B??trP?1AP ?? ?trP?1PA ?tr?A? ?? ?20??30? ??例1 A??，B??03??02??，求分别求矩阵A、B的特征多项式， 特征值秩,???? 迹，行列式，矩阵A与B是否相似，它们之间有什么关系, 解 从已知可知A? 2003 ?6，Rank(A)?2,tr(A)?5 对于A的特征多项式?E?A?故A的特征值为2和3. 对于矩阵B,B? 3002 ??2 ??3 ?(??2)(??3) ?6，Rank(B)?2,tr(B)?5 矩阵B的特征多项式B? ??3 00 ?(??2)(??3). ??2 故矩阵B的特征值是2和3. ?01??1 PAP?B，从定义矩阵B与矩阵A相似. ? 存在一个可逆矩阵P?? 使得?10? ?? 从结果看到相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相等的行列式的值、相等的迹[2-4]. ?1?2?4? ?? 例2设实数域上的3级实对称矩阵A???24?2?，对角矩阵 ??4?21????500? ?? B??050?.求矩阵A、B的特征值，特征多项式并且矩阵A与矩阵B相似吗,如 ?00?4???果相似求出可逆矩阵P. ??1 解 由矩阵A的特征多项式为2 4 242???1 ??1 20 24 ??4 2??42 ?2??10??1 ??1 ? 242 20 ??4 ?? ?(??5)2(??4) 故矩阵A的特征值为5和—4. 容易知道矩阵B的特征多项式和矩阵A的相同， ?1 5??525故矩阵B的特征值为5和-4.那么存在一个可逆矩阵P,P????5??0? 4 152 151?53 2??3?1? 3?2??3? 验证得到P?1AP?B，那么矩阵A与矩阵B相似，它们有相同的特征值和特征多项式. 1.3 矩阵合同的定义[2] 定义1.5 设A，B为n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得CTAC?B，则称A与B合同，记作A?B. n阶矩阵的合同关系具有下列性质: ? 反身性: 即任一n级矩阵与自身合同. ? 对称性: 即如A 与B合同，则B与A合同. ? 传递性: A与B合同，B与C合同，则A与C合同. ? 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. ? 任何一个实对称矩阵合同于一个对角矩阵. ? 两个实对称矩阵合同，它们的秩相等，而且正惯性指数相等. 2. 合同矩阵与相似矩阵的关系 2.1矩阵的相似与合同的相同点[5]. ? 从上面可以看到，相似关系满足反身性、对称性、传递性;合同关系也具有反身性、对称性、传递性. ? 相似 、合同矩阵均有相同的秩. (A)?Rank(B)，若矩阵A合同于矩阵B，则 若矩阵A相似与矩阵B，则Rank Rank(A)?Rank(B).可见，如果两个矩阵相似或合同，那么它们的秩相同. ? 相似与合同的矩阵要求是同型的方阵. 若矩阵A于矩阵B相似，则要求A、B都是方阵;若A合同与B，则要求A、B都方阵.就是说相似与合同的矩阵要求是同型矩阵，而且都是方阵. 2.2矩阵的相似与合同的不同点[5]. 矩阵的相似与合同有一些不同之处，如A,B ，则A?B，A与B有相同的特征值.但若A?B，那么A与B的行列式的值不一定相等;A与B也不一定有相同的特征值. ?2?? ?2?2??2 ???1 例1 设A??25?4?,T?? ??2?45?????0 ?? 2454?45545 1??3??100? ??2?,B?010??, 3??0010?? ??2? ??3? 不难验证: TTAT?B，有A?B. 我们可以知道上面的矩阵等式满足矩阵的合同同时满足矩阵的相似，能够知道矩阵T为正交矩阵，故A,B，矩阵A的行列式可以等于B的行列式，下面举出合同但是行列式不等的情况. ?12??1?4??10? ????例2 A??， ，B?C??23???412??0?2??. ?????? 经过验证可以知道A??1，B??4，然而CTAC?B，A?B，可以得到矩阵A合同于B，但是行列式可以不等. 我们知道矩阵相似具有相同的特征值，这是因为相似矩阵有相同的特征多项式. 我们设A,B，则有可逆矩阵P，使得B?P?1AP，于是 ?E?B??E?P?1AP?P?1(?E)P?P?1AP ?1 =P(?E?A)P