高中数学新教材同步必修第二册期末检测试卷(二)

学习是一件很有意思的事期末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.以下事件是随机事件的是()A.下雨屋顶湿B.秋后柳叶黄C.有水就有鱼D.水结冰体积变大答案C解析A，B，D是必然事件.2.在△ABC中，若A＝60°，C＝45°，c＝3，则a等于()3223A.1B.C.D.223答案BcsinA32解析由正弦理得，a＝＝.sinC22i3.设复数z＝(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()1＋iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A2i2i1－i2i1－i解析z＝＝＝＝1＋i，对应的点为(1,1)，在第一象限.1＋i1＋i1－i24.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为()A.280B.320C.400D.1000答案C解析由题意知这是一个分层随机抽样问题，∵青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，∴要从该单位青年职员中抽取的人数为10×200＝80，10＋8＋7∵每人被抽取的概率为0.2，学习是一件很有意思的事80∴该单位青年职员共有＝400(人).0.25.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于()A.1B.2C.5D.6答案D解析∵|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b，1∴a·b＝，2∵|a＋b|2＝|a－b|2＋4a·b，∴|a＋b|2＝6，∴|a＋b|＝6.6.已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为()A.(3，－2)B.(3,2)C.(－3，－2)D.(－3,2)答案C2x－3y＝0，解析设c＝(x，y)，则有x－2y＝1，x＝－3，解得故c＝(－3，－2).y＝－2.7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸，若盆中积水深9寸，则平均降雨量是(注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸)()A.3寸B.4寸C.5寸D.6寸答案A解析作出圆台的轴截面如图所示，由题意知，BF＝14寸，OC＝6寸，OF＝18寸，OG＝9寸，即G是OF的中点，∴GE为梯形OCBF的中位线，14＋6∴GE＝＝10寸，2即积水的上底面半径为10寸，∴盆中积水的体积为学习是一件很有意思的事1π×(100＋36＋10×6)×9＝588π(立方寸)，3又盆口的面积为142π＝196π(平方寸)，588π∴平均降雨量是＝寸，即平均降雨量是寸196π3()3.8.在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为()A.钝角B.直角C.锐角D.60°答案C解析由sin2A＋sin2B＝2sin2C，得a2＋b2＝2c2，即a2＋b2－c2＝c2>0，a2＋b2－c2又由余弦定理可得cosC＝>0，2ab所以角C为锐角.9.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为()1212A.B.C.D.3349答案A解析甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所以可能出现的结果列表如下：甲锤剪子包袱乙锤(锤，锤)(锤，剪子)(锤，包袱)剪子(剪子，锤)(剪子，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，锤)(包袱，剪子)(包袱，包袱)因为由表格可知，共有9种等可能情况.其中平局的有3种(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱).31设事件A为“甲和乙平局”，则P(A)＝＝.93正方体－中，直线与平面所成角的正弦值为10.ABCDA1B1C1D1ADA1BC1()1336A.B.C.D.2233答案C解析如图所示，正方体－中，直线与平行，则直线与平面ABCDA1B1C1D1ADB1C1ADA1BC1所成角的正弦值即为与平面所成角的正弦值因为△为等边三角形，则B1C1A1BC1.A1BC1B1在平面上的投影即为△的中心，则∠为与平面所成角可设A1BC1A1BC1OB1C1OB1C1A1BC1.学习是一件很有意思的事36正方体边长为1，显然BO＝×2＝，3363因此BO＝1－2＝，133BO3则∠＝1＝sinB1C1O.B1C1311.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是()A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”答案AB解析“至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D不正确.12.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是()→→→A.|AC|2＝AC·AB→→→B.|BC|2＝BA·BC→→→C.|AB|2＝AC·CD→→→→→AC·AB×BA·BCD.|CD|2＝→|AB|2答案ABD→→→→→→→→→解析AC·AB＝|AC||AB|cosA，由|AB|·cosA＝|AC|可得|AC|2＝AC·AB，即选项A正确，→→→→→→→→→BA·BC＝|BA||BC|cosB，由|BA|·cosB＝|BC|可得|BC|2＝BA·BC，即选项B正确，→→→→→由AC·CD＝|AC||CD|cos(π－∠ACD)<0，又|AB|2>0，知选项C错误，学习是一件很有意思的事由图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，所以AC·BC＝AB·CD，→→→→→AC·AB×BA·BC由选项A，B可得|CD|2＝，即选项D正确.→|AB|2113.如图，正方体ABCD－ABCD的棱长为1，线段BD上有两个动点E，F，且EF＝，1111112则下列结论中错误的是()A.AC⊥AFB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A－BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等答案AD解析因为⊥，而∥，所以⊥，即⊥，若⊥，则⊥A.ACBDBDB1D1ACB1D1ACEFACAFAC平面AEF，即可得AC⊥AE，由图分析显然不成立，故A不正确；B.因为EF∥BD，EF⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故B正确；111111C.V＝×S×AC＝××EF×BB×AC＝×EF×BB×AC，所以体积是定值，A－BEF3△BEF23212121故C正确；设的中点是，点到直线的距离是，而点到直线的距离是，所以D.B1D1OAEFAOBEFBB111AO>BB，S＝×EF×AO，S＝×EF×BB，所以△AEF的面积与△BEF的面积不相1△AEF2△BEF21等，D不正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则两人都不感冒的概率是________，两人中有人患感冒的概率是________.答案0.20.8解析“有人感冒”这一事件包括甲、乙中有一人感冒和全都感冒.设事件A：甲患感冒，事件B：乙患感冒.则则两人都不感冒这一事件的概率为P(AB)＝[1－P(A)]·[1－P(B)]＝0.2，两人中有人感冒这一事件的概率为P(AB＋AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)学习是一件很有意思的事＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝P(A)P(B)＋P(A)＝0.4×0.5＋0.6＝0.8.15.已知非零向量a，b满足|a|＝4|b|，且b⊥(a＋2b)，则a与b的夹角为________.2π答案3解析设a与b的夹角为θ，根据题意，可得b·(a＋2b)＝0，即|a|·|b|cosθ＋2b2＝0，代入|a|12π＝4|b|，得到cos＝－，于是a与b的夹角为.θ2316.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________.答案4解析由题意可得，x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，设x＝10＋t，y＝10－t，则2t2＝8，解得t＝±2，∴|x－y|＝2|t|＝4.17.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝b，c2＝2b2(1－sinC)，则C＝________.π答案4解析∵c2＝2b2(1－sinC)，c2∴可得，sinC＝1－，2b2又∵a＝b，由余弦定理可得，a2＋b2－c2c2cosC＝＝1－＝sinC，2ab2b2π∴－＝，可得C－＝，sinCcosC02sin40ππ3π∵C∈(0，，可得C－∈－，，π)444ππ∴C－＝0，可得C＝.44三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b夹角是120°.(1)求a·b的值及|a＋b|的值；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?解(1)由向量的数量积的运算公式，1可得＝＝××－＝－，a·b|a||b|cos120°48216学习是一件很有意思的事|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝42＋82＋2×－16＝43.(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝ka2－2b2＋(2k－1)a·b＝0，整理得16k－128＋(2k－1)×(－16)＝0，解得k＝－7.即当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka－b).19.(12分)如图，在三棱锥A－BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，AB＝AD，AE⊥BC.求证：(1)EF∥平面ACD；(2)AE⊥CD.证明(1)因为在△BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，所以EF∥CD，又因为EF⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，从而EF∥平面ACD.(2)因为点E是BD的中点，且AB＝AD，所以AE⊥BD，又因为AE⊥BC，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，BC∩BD＝B，故AE⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD.120.(14分)在△ABC中，cos(A＋C)＝0，sinA＝.3(1)求sinC的值；(2)设∠ABC的平分线与AC交于D，若AC＝3，求BD的长.π解(1)由cos(A＋C)＝0，得A＋C＝，2π又由A＋B＋C＝，所以B＝，π2π22所以sinC＝sin－A＝cosA＝.23学习是一件很有意思的事1(2)在Rt△ABC中，sinA＝，AC＝3，31所以BC＝AC·sinA＝3×＝1，3π在△中，∠＝＋ADBCsinBDCsin424＋2＝(sinA＋cosA)＝，26BDBC由正弦定理得，＝，sinCsin∠BDC22BCsinC382－4所以BD＝＝＝.sin∠BDC4＋27621.(14分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：处罚金额x(单位：元)50100150200迟到的人数y5040200若用表中数据所得频率代替概率.(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B类是其他员工.现对A类与B类员工按分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？401解(1)设“当罚金定为100元时，某员工迟到”为事件A，则P(A)＝＝，2005802不处罚时，某员工迟到的概率为＝.20051∴当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低.5(2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽出两人，设从类员工抽出的两人分别为，，从类员工抽出的两人分别为，，AA1A2BB1B2设“从A类与B类员工按分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件中首先抽出的基本事件有，，，，，，，，，，，MA1(A1A2B1B2)(A1A2B2B1)(A1B1A2，，，，，，，，，，，，共种，B2)(A1B1B2A2)(A1B2A2B1)(A1B2B1A2)6同理，首先抽出，，的事件也各有种，故事件共有×＝种基本事件，A2B1B26M4624()设“抽取人中前两位均为类员工”为事件，则事件有，，，，，，4BNN(B1B2A1A2)(B1B2学习是一件很有意思的事，，，，，，，，，共种基本事件，A2A1)(B2B1A1A2)(B2B1A2A1)441∴P(N)＝＝，2461∴抽取4人中前两位均为B类员工的概率是.622.(15分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务 宣传 免费孕前优生健康检查孕期保健知识宣传1冬季预防流感知识宣传手足口病防知识宣传森林防火宣传内容 志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传 经验 班主任工作经验交流宣传工作经验交流材料优秀班主任经验交流小学课改经验典型材料房地产总经理管理经验 ，求第5组志愿者有被抽中的概率.解(1)第3组的人数为0.3×100＝30，第4组的人数为0.2×100＝20，第5组的人数为0.1×100＝10，因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：302010第3组×6＝3；第4组×6＝2；第5组×6＝1.606060所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人.(2)设“第5组的志愿者有被抽中”为事件A.记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者33A1A2A342B1B251为，则从名志愿者中抽取名志愿者有C162，，，，，，，，，，，，，，，，，，(A1A2)(A1A3)(A1B1)(A1B2)(A1C1)(A2A3)(A2B1)(A2B2)(A2C1)，，，，，，，，，，，，共有种等可能情况(A3B1)(A3B2)(A3C1)(B1B2)(B1C1)(B2C1)15.其中第5组的志愿者被抽中的有5种，51P(A)＝＝.1531答第5组的志愿者有被抽中的概率为.3学习是一件很有意思的事23.(15分)如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是OA上靠近O的三等分点，AD与BC→→交于M点，设OA＝a，OB＝b.→(1)用a，b表示OM；→→→→12(2)过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F.设OE＝pOA，OF＝qOB，求＋的值.pq→解(1)设OM＝xa＋yb，→→→→→→→→1则AM＝OM－OA＝(x－1)OA＋yOB＝(x－1)a＋yb，AD＝OD－OA＝－a＋b，2∵A，M，D三点共线，→→1∴AM，AD共线，从而(x－1)＝－y，①2又C，M，B三点共线，→→∴BM，BC共线，1同理可得(y－1)＝－x，②31x＝，5→12联立①②，解得故OM＝a＋b.255y＝，5→→→1212(2)∵EM＝OM－OE＝a＋b－pa＝－pa＋b.5555→→→EF＝OF－OE＝qb－pa.→→∵EM，EF共线，1212∴－pq＝－p，整理得＋＝5.55pq为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。