高中数学解题八思维模式和十思维策略数学解题的思维过程

高中数学解题八种思维模式和十种思维策略引言“数学是思维的体操”“数学教学是数学(思维)活动的教学。”学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。高中数学思维中的重要向题它可以包括:高中数学思维的基本形式高中数学思维的一般方法高中数学中的重要思维模式高中数学解题常用的数学思维策略高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究;高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究;高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性高中数学思维的基本形式从思维科学的角度 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形想象是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造。8图式想象是以数学直感为基础的对数学图式表象的加工与改造。9关于联想和猜想，它们既是数学形象思维中想象推理不同表现形式，也是数学形象思维的重要方法。三数学直觉思维的基本形式1、直觉是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进敏锐的分析、推理，并能迅速发现解决向题的方向或途径的思维形式。2。灵感（或顿悟）是直觉思维的另一种形式。1直觉思维是一种敏锐、快速的综合思维，既需要知识组块和逻辑推理的支持，也需形象、经验和似真推理的推动。意识又可分为显意识与潜意识。直感是显意识，而灵感是潜意识。思维的基本规律一反映同一律：等值变形，等价变换二思维相似律：同中辨异，异中求同数学思维的特性一数学思维的概括性数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律，能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。二数学思维的问题性数学思维的问题性是与数学知识的问题性相联结的，定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的队任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏。数学解题的思维过程是数学问题的变换过程，数学问题的推广、引申和应用过程，是新的数学问题发现和解决的过程，也是数学思维的深化过程和数学知识的发展过程。三数学思维的相似性数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。解决数学问题的根本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的样式，从已解决的问题中概括出思维模式，再用模式去处理类似问题。并进而形成新模式，构成相似系列，即各种概念、命题与方法的相似链。数学思维的材料与结果数学思维的材料就有外部材料与内部材料的区分外部材料是指数学思维的对象，即现实世界中存在的数量关系、空间形式以及由此引申发展的各种结构关系。例如各种具体的思维目标：数学的概念、命题、定理、公式、法则，数学问题初始状态中的图形、符号和语言文字等。内部材料是指思维主体已有的数学知识和经验，是储存于人脑的认知结构中的信息块。其中数学知识信息块由一些明晰的数学概念和关系结构组成，而数学经验信息块是一种带有模糊性质的思维“相似块”。数学思维能力的评价 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 广阔性：发散思维深刻性：收敛思维—集中思维和分析思维灵活性：辨证思维，进退互用，正难则反，倒顺相通敏捷性：直觉思维，转化化归，识别模式，反应速度，熟练程度独创性：创新思维—直觉思维和发散思维中，解题方法新颖独特。批判性：独立思考，善于提问，总结回顾，调控思维进程等六个方面，是高中数学思维能力的评价标准2高中数学思维的关联系统关联系统的三个方面包含的主要内容是：数学关系—数学知识，数学经验和数学语言等；心理关系—动机与意志，情感、情境与兴趣，性格与态度，精神与作风等；社会条件一社会与时代的政治、经济、文化背景与主体的关系及其影响。高中数学思维的一般方法(一)观察与实验(二)比较、分类与系统化(三)归纳、演绎与数学归纳法(四)分析与综合(五)抽象与概括(六)一般化与特殊化(七)模型化与具体化(八)类比与映射(九)联想与猜想高中数学中的重要思维模式一逼近模式把问题归结为条件与结论之间因果关系的演绎；选择适当的方向逐步逼近目标。正向逼近一顺推演绎法、逆向逼近一逆求分析法、双向逼近一分析综合法或两头夹法、反面逼近-反证法、模糊逼近一尝试探索法、近似逼近一极限法等。二叠加模式采用化整为零、以分求合的思想对问题进行横向分解或纵向分层实施各个击破而使问题获解的思维方式。其思维程序是：（1）把问题归结为若干种并列情形的总和或者播入有关的环节构成一组小问题；（2）处理各种特殊情形或解决各个小问题，将它们适当组合、叠加而得到问题的一般解。爬坡法、逻辑划分法（分类、分域进行讨论和枚举、穷举都是它的别称）、中途点法、辅助定理法等都是此类，3容斥原理、抽屉原理与重叠原则，以及负向的叠加可称为叠减，在某种程度上也体现了登加模式的思想。三变换模式变换模式是通过适当变更问题的表达形式使其由难化易、由繁化简，从而最终达到解决问题的思维方式。其思维程序是：（1）选择适当的变换，等价的或不等价的（加上约束条件），以3改变问题的表达形式，（2）连续进行有关变换，注意整个过程的可控制性和变换的技巧，直至达到目标状态。所谓等价变换，是指把原问题变更为新问题，使两者的答案完全相同。不等价变换则指新问题扩大或缩小了原问题的允许值范围。包括代数变换—代数式的恒等变形、代数换元法、方程与不等式的同解变换与可控制变换等；三角变换—三角式的恒等变形、三角换元法、万能变换等，几何变换— 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 变换（即平移、对称与旋转）、相似变换（包括位似变换）、反演变换等。四映射模式映射模式是把问题从本领域（或关系系统）映射到另一领域，在另一领域中获解后再反演回原领域使问题解决的思维模式，它与变换模式在本质上是一致的，但变换通常是指从一个数学集合到它自身的映射。几何法：把数、式的问题归结为形的问题加以解决；解析法：把几何问题归结为代数问题加以解决；复数法与向量法一把几何或代数、三角问题归结为复数或向量向题加以解决；模拟法：把数学问题转化为物理问题或其他学科问题加以解决，其他如极坐标法、参数法等也属于映射模式的范围。五方程模式方程模式（又称函数模式）是通过列方程（或方程组）与解方程（或方程组）来确定数学关系或解决问题的思维方式。方程模式是反映客观事物数量关系的一种重要数学模型，它是沟通已知元素与未知元素之间的辩证联系的一种基本方法。其思维程序是：（1）把问题归结为确定一个或几个未知量；（2）列出已知量与未知量之间按照条件必须成立的所有关系式（即方程）；（3）解所得的方程或方程组得出结果。方程模式的思想通常适用于解决有关方程、函数与不等式等方面的许多问题，这是因为这三种数学对象之间存在某种相似和性，在一定条件下是可以相互转化、相互为用的。六交轨模式交轨模式是通过分离问题的条件以形成满足每个条件的未知元素的轨迹（或集合），再通过叠加来确定未知元素而使向题解决的思维方式。交轨是一种特殊的叠加，通常的叠加是求出集合才的并，而交轨的叠加是求出集合的交。交轨模式与方程模式也具有部分相通的关系，方程组与不等式组等内容既可以用交轨观点去看待，也可以用方程观点去分析，它们之间的区别仅是观察问题时所强调的侧重面的不同。交轨模式下的具体模式主要有：1、轨迹相交法：它包括双轨迹模式、相似形模式、辅助图形模式及三轨迹模式等。双轨迹模式是：“把问题简化为作一个点。然后把条件分为两体部分，使每一部分变成未知点的一条轨迹；而每一条轨迹必须是一条直线或者是一个圆”。2、交集法一把向题的解归结成由几个条件所决定，每一个条件都可以确定出某种元素的一个集合，这些集合的交集元素就是所求的解。七退化模式退化模式是运用联系转化的思想，将问题按适当方向后退到能看清关系或悟出解法的地步，再以退求进来达到问题结论的思维方式。其思维程序是：（1）将问题从整体或局部上后退，化为较易解决的简化问题、类比问题或特殊情形、极端情形等，而保持转化回原问题的联系通途；〈2〉用解决退化问题或情形的思想方法，经过适立当变换以解决原问题。如降维法：从高维向低维后退。包括数据、数量的简化：空间问题转化为平面问题，方程同题的消元、降次，行列式的降阶、去边等。类比法：联想形式类似的熟悉问题与原问题作性质或解法的比较对照，从中悟出相似性联系以达到转化。特殊化方法：从一般向特殊后退。即从问题的特殊情形或个别情况入手，观察性质或方法的变化规律，得出正确的解题途径。极端化方法：将问题退到极端情形，即考察极端元素耳或临界位置，往往能找到对解决问题有用的奠基因素以实现解题方法的过渡。八递归模式递归模式是通过确立序列的相邻各项之间的一般关系以及初始值来确定通项或整个序列的思维方式。它适用于定义在自然数集上的一类函数，是解决数学向题的一种重要逻辑模式，在计算机科学中有着重要的应用。其思维程序是：（1）得出序列的第一项或前几项；（2）找到一个或几个关系式，使序列的一般项和它相邻的前若干项联系起来；（3）利用上面得到的关系式或通过变换求出更为基本的关系式（如等差、等比关系等），递推地求出序列的一般项或所有项。一般地，在递推关系转换成基本关系时，用迭代方法就能消去全部中间项而得到序列的通项公式。高中数学解题常用的数学思维策略4(一)以简驭繁。数学知识的发展是由简单到复杂，繁衍发展以至推演成为各门数学学科的。解题时的思维反应主要是学会浓缩观察数学形式结构，从总体的粗线条上把握题目的数学图式；或者将题中有关的概念或方法转化为较简的情形入手解决。数学中的换元法、代换法、变换法、递推法、母函数法及解方程中的消元、降次方法等就是体现这个策略的解题方法(二)进退互用。‘先足够地退到我们所容易看清楚的地方，认透了钻深了，然后再上去（华罗庚语）。主要方式有：从一般向特殊后退；从抽象向具体后退，从高维向低维后退和从较强命题向较弱命题后退。数学归纳法、经验归纳法、类比法、递推法、降维法、放缩法等数学方法或解题方法就是进退互用的辩证思维在具体方法中的一些总结。(三)数形迁移。在解决数学问题时，若把一个命题的条件或结论给出的数量关系式称为式结构，而把它在几何形态上的表现（图像或图形等）称为形结构，数（或式）和形之间的相互迁移、转化的表现形态主要有：A、5由形结构迁移至式结构，解析几何是体现这种研究的典范。B、由式结构迁移至形结构，这就是通常所说的数形联想或几何方法，可使求解过程显得简洁直观。C、式结构或部分式结构之间的迁移，这是等价的式结构间的相互转换，常能发现隐含条件和认识各种变式间的本质联系与统一性，或者通过局部类比或相似联想的诱发解题线索以解决问题。D、形结构或部分形结构之间的迁移，几何变换就是利用了某种不变性来实现形与形之间的沟通。如类比接法、关系映射反演原则、模拟法、坐标法、交集法、抽屉原则、几何变换法、构造法、待定系数法等数学方法和解题方法均在一定意义上属于这个思想范畴。(四)化生为熟。人们认识事物的过程是一个渐进的逐步深化的过程，往往会呈现相对的阶段性，在数学中就是所研究的问题总会有较为熟悉和比较生疏之分。这样，在认识一个新事物或解决一个新问题时，往往会用已认识的事物性质和问题特征去比较对照新事物和新问题，设法将新问题的分析研究纳入到已有的认识结构或模式中来。化生为熟的目的是遇新思陈，推陈出新，起到用同求异，化难为易的作用。数学解题方法中的变更问题法或化归法、模式法、放缩法、构造法、类比法等都含有化生为熟的指导思想。(五)正难则反。解决数学间题时，一般总是先从正面入手按照习惯的思维途径去进行思考，这就是正向思维。如果这种思维方式对于特定的数学问题形成了一种较为强烈的意识，则就是一种定向思维。人们常常借助于一些具体的模式和方法先加强这种思维定势，而使许多数学问题得到解决。但是往往也会遇到从正面入手较繁或较难的情况，或出现一题些逻辑上的困境。这时，就要从辩证思维的观点出发，克服思维定势的消极面，从问题或其中的某个方面的反面入手去进行思考，采取顺繁则逆、正难则反的思维策略。就是说，当用顺证不易解决时就考虑用反证法或逆推法；当正向思维不能奏效时就采用逆向思维去探索；当推理中出现逻辑矛盾或缺陷时，就尝试从反面提出假设，通过背向思维进行论证。(六)倒顺相通。解数学题往往会用顺推，从条件出发之推出某些关系或性质去逼近结论，或者用逆求，由结论去寻找使它成立的充分条件，直至追溯到已知事项，但是最有效和简捷的解题途径是这两者的有机结合。倒顺相通策略的运用有两种表现形式。一种是侧重于整体性的思考，即抓住两头，盯着目标，寻求压缩中间环节的解题捷径；一种是侧重于联通性的思考，即两头夹击，沟通中间，达到目标的总体思路，也可以在解题过程中的局部加以使用。分析综合法就在此列。(七)动静转换。动和静（数学中常表述为定）是事物状态表现的两个侧面。在数学中，一方面动和静在一个参照系统中是相对的，可以转化的。另一方面，对于同一事物可以追寻形成静止状态以前的运动过程；或者反过来，从运动表现中推出事物将会达到的相对静止局面。因此，在解决数学问题时，可用动的观点来处理静的数量和形态，即以动求静，也可以用静的方法来处理运动过程和事物，即以静求动，数学中的变换法，局部固定法，几何作图中的轨迹相交法等就是动静转换策略的具体运用。5(八)分合相辅。从辩证思维的角度观察，任何事物的构成都具有“一中有多、多中有一”的性质，从而任何事物都是可以分割或分解的·反映在数学思维策略上，就是在解题过程中可以将求解问题进行分割或分解，转化成一些较小的且易于解决的小问题，再通过相加或合成，使原问题在整体上得到解决，这就是化一为多，以分求合的思想方法。有时也可以反过来，把求解问题纳入到较大的合成问题中，寓分于合，以合求分，使原问题迎刃而解。因此，分与合相辅相成、互寓互用、转化统一，是辩证思维的重要策略之一。分合相辅的主要表现形式是：综合与单一间的分合；整体与部分间的分合；无限与有限间的分合等。数学中微积分方法的思想就是思维中的一与多、分与合、有限与无限及离散与连续间的辩证关系的体现。数学解题方法中的枚举法、叠加法、中途点法，几何中的形体割补法，代数与三角中的拆项、添项法等都是分合相辅策略的具体运用。(九)引参求变。数学中的常量和变量是相互依存，并在一定条件下可以相互转化的。而参数（或参变量）是介于常量和变量之间的具有中间性质的量。二参变量的本质虽然属于变量，但又可把它看成常数。正是由于参数的这种二重性和灵活性，在解决数学问题时，引进了参数就能表现出较大的能动作用和活力。引参求变的思维策略是将求解问题转化为参数问题加以解决，它是解决各种数学向题的有力武器（通常提到参数就局限于解析几何中的参数方程的理解是非常片面的）。而数学中的待定系数法、参数过渡法与参数方程法等都是体现引参求变思想的具体解题方法。(十)以美启真。教学美的含义是丰富的，数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等都是美的具体内容，上面的论述归结起来，可以认为数学美的主要内容有五个方面，即简单性、对称性、相似性、和谐性（或统一性）与奇异性。‘以美启真“是指用美的思想去开启数学真理，用美的方法去发现数学规律、解决数学问题。追求简单性，探求解题捷径。“多数学问题，虽然其表现形式地可能较为复杂，但其本质总是存在简单的一面。因此，如果能用简区单的观点、简化的方法对间题进行整体处理或实施分解、变换、降性维、减元等转化的策略，则往往能找到解题的简易途径。造成对称性，简化解题方法。有些问题用对称的眼光去观察，通过形象的补形造成对称，或者用对称变换调整元素关系，则这样问题就可得到简化。运用相似性，引申发散问题。由于相似的因素、相似的条件统能够产生相似的关系或相似的结果。因此，在数学解题中常可利工程用相似性的启示，找到正确的解题思路，并能运用联想、类比、猜想等方法推广原命题，发现新知识，形成问题链。利用和谐性，变更化归问题。解数学问题的关键在于问题形式的变换与化归，而变换化归的依据在于各种形式间在其本质上的和谐与统一。因此，利用和谐性，就是设法将问题通过等价或不等价（加上控制条件）的转化，通过映射、分解、叠加等手段，使问题的条件和结论在新的协调的形式下相互沟通，达到问题的解决。构思奇异性，突破常规思维。奇异性的存在使得在解某些问题时，构造反例、寻求特例、采取反证递推途径或极端化手法能够发挥意料不到的作用。逆向思维、正难则反思想在解题中的运用就是对奇异性的通俗理解，它与数学发现中的奇异创新只是层次上的差别，而其思想实质是共通的。6数学解题的思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。对于数学解题思维过程，G波利亚提出了四个阶段.*（见附录），即弄清问题、拟定 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。数学解题的技巧为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。一切解题的策略的基本出发点在于“变换，”即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。7一、熟悉化策略所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。常用的途径有：（一）、充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。（二）、全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。（三）恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。二、简单化策略所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简8驭繁，解出原题。简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有:寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。2、分类考察讨论：在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。3、简单化已知条件：有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。4、恰当分解结论：有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。三、直观化策略：所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，9找到原题的解题思路。（一）、图表直观：有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。（二）、图形直观：有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。（三）、图象直观：不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获取简便，巧妙的解法。四、特殊化策略所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径。五、一般化策略所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。六、整体化策略所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全10面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。七、间接化策略所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题。数学解题思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段：第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化为已知类型，选择最优解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。第三阶段是实施计划。将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实现解题的各种方法，研究特殊情况与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验加以整理使之系统化。所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。11第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。通过以下探索途径来提高解题能力：（1）研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考。因为这意味着你对题的整个情境有了清晰的具体的了解。（2）清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪些是所求的，即未知的。（3）深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，要图中标出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位置，看看能否有重要发现。（4）尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目。（5）仔细考虑题意是否有其他不同理解。题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还缺少条件？（6）认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有联系。（7）如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题的元素，以利于解题思路的展开。以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点。在制定计划寻求解法阶段，最好利用下面这套探索方法：（1）设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件的解题方法。（2）记住：题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题。（3）解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办法检查解题途径是否合理，以便及时进行修正或调整。12（4）尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简化了的同类题）再求其解。再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它的定义加以替代。（5）分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。（6）尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。（7）研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。（8）改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“展望”。（9）万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题，研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示。*************************************************************附录：波利亚给出了详细的“怎样解题”表，在这张表中启发你找到解题途径的一连串问句与建议，来表示思维过程的正确搜索程序，其解题思想的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把数学解题看成为问题化归的过程，即最终归结为熟悉的基本问题加以解决。13