角的认识

第一章 初一数学竞赛系列讲座(13) 角的认识 1、​ 知识要点 具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。 与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。 2、​ 例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 精讲 例1．​ 如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线， OD平分AOD，OE在BOC内，BOE＝ EOC，DOE＝70°，求EOC的度数。 分析：易得EOC＝ BOC，而BOC +AOB＝180°，结合OD平分AOB，可作BOC平分线，结合DOE可求出BOC，从而求EOC的度数 解：作BOC平分线OF，则 BOF＝COF＝ BOC ∵　OD平分AOB ∴　AOD＝DOB＝ AOB 又∵　BOC +AOB＝180° ∴　DOB+BOF＝90°　即　DOF＝90° ∴　EOF＝DOF-DOE＝20° 又∵　EOF＝BOF-BOE 而BOF＝ BOC，BOE＝ BOC ∴EOF＝ BOC- BOC＝ BOC ∴BOC＝6EOF＝120° ∴EOC＝ BOC＝ ×120°＝80° 即　EOC＝80° 例2．​ 一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（　　　　） A．锐角　　B．直角　　C．钝角　　D．不能确定 分析：设该锐角为，它的余角（90°-）的补角应为180°-（90°-）＝90°+，与的差（90°+）-＝90°　　故选B 例3．​ 已知的余角是的补角的 ，＞110°，求的范围。 分析：显然是锐角，由互余和互补的定义及条件可求出与的关系，再由的范围，可求出的范围。 解：的余角为90°-，的补角为180°- 由题意，得90°-＝ （180°-） ∴　　＝5-270° ∵　　＞110° ∴　　5-270°＞110° ∴　　＞76° 又由条件知为锐角　　∴　＜90° 故的范围是76°＜＜90° 评注：本例把转化到进而求出的范围。要把相关概念进解透彻，否则就会忽略＜90°这一条件。 例4．​ 当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？ 解：时针每小时转1大格，即30°，所以每分针转0.5°，而分针每分转6°，当时针指向整点时，分针指向12点。因此，我们以指向12点作为角的始边，在2点32分时，时针与12点构成的角度是2×30°+32×0.5°＝76°分针与12点构成的角度是32×6°＝192°，从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192°-76°＝116° 评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于180°时，则需用360°减去这个角，例如：2点50分时，按上述方法求得的角是50×6°-(2×30°+50×0.5°) =300°-85°=215°＞180° 则时针与分针的夹角为360°-215°＝145° （2）对于确定的时间，例如x点y分时，试写出用x、y 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示时针与分针的夹角的表达式。 例5．​ 如图射线OA表示北偏东60°，射线OB表示东南方向，∠BOC是∠AOB的余角，射线OD是射线OC的反向延长线，写出射线OD所表示的方向。 解：∠AOB=30°+45°=75° ∠AOB的余角∠BOC=90°-75°=15° ∴OC表示南偏东30°，OC的反向延长线OD所表示方向是北偏西30° 评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线OC就有在∠AOB外部和内部两种不同位置，求OD的方向也就需要分两种情况求解。 例6．​ 如图，OA1，OA2，…，OA10是以O为端点的十条射线，∠A1OA10＜90°，则图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个？ 解法一：以O为端点，以十条射线OA1，OA2，…，OA10的任意两条为边组成的角，取决于从十条射线OA1，OA2，…，OA10中选出两条配成的对数。 共有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45对， 所以图中以O为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有45个。 评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数。 解法二：也可化为数线段的问题。如图作一直线，分别交OA1，OA2，…，OA10于A1，A2，…，A10，则每一个角对应于A1 A10上的某一条线段。反过来，A1 A10上的每一条线段又对应于某一个角，如∠A4OA6，它对应线段A4A6，而线段A4A6恰好对应线段于∠A4OA6，因此，要数图中角的个数，只要数A1 A10上的线段数即可， 而A1 A10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45条 因此，图中共有45个角 例7．​ 求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。 证明：如图，AB、CD相交于O，则AOC与BOD成对顶角。设OE、OF分别为AOC、BOD的平分线， ∵ AOE= AOC BOF= BOD 且 AOC=BOD ∴ AOE=BOF 又∵ BOF+FOD+DOA=180° ∴ AOE+FOD+DOA=180° 即 EOF=180° ∴ OE、OF在同一直线上。 评注：与对顶角有关的问题比较多，解这类题时，主要运用对顶角的定义来解题 例8．​ 已知：直角AOB，以点O为端点在AOB的内部画出1995条射线，以OA、OB及这些射线为边的锐角的个数是多少？ 解：设以O为端点在AOB的内部画出的1995条射线逆时针方向分别为射线OP1，OP2，OP3…，OP1995 则以OA为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP1，OP2，OP3…，OP1995） 以OP1为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP2，OP3，…，OP1995，OB） 以OP2为始边，逆时针方向旋转，形成1994个锐角（终边分别为射线OP3，OP4，…，OP1995，OB） …… 以OP1995为始边，逆时针方向旋转，形成1个锐角（终边为射线OB） ∴　共有1995+1995+1994+1993+…+2+1＝1993005（个） 3、​ 巩固练习 选择题 1、两个角 的补角互余，则这两个角的和 的大小是 A.180° B.135° C. 270° D.90° 2、如图，OM是AOB的平分线，射线OC在BOM内部，ON是BOC的平分线，已知AOC＝80°，则MON为　（　　　） A．30°　B．40°　C．45°　　D．50° 3、已知一个直角∠ 以 为端点在∠ 的内部画10条射线，以 以及这些射线为边构成的锐角的个数是（ ）个。 （A）110 （B）132 （C）66 （D）65 4、O是直线AB上的一点，AOD＝120°，COAB于O ，OE是BOD的平分线，则图中彼此互补的角共有（　　） A．4对　　B．5对　　C．6对　　D．7对 5、一张长方形的纸 如图将 角折起到 处，作∠EFB的平分线 ，则∠ 的大小是（ ） （A）锐角 （B）直角 （C）钝角 （D）无法确定 6、当时间是3点40分时，时针与分针的夹角度数是（　　） A．110°　　B．130°　　C．120°　　D．150° 第5题 填空题 7．已知角a的补角等于角a的3.5倍，则角a等于＿＿度。 8．如图， 是一条直线， ，OB、OD分别是 角平分线则图中的钝角共有＿＿个。 9．不相等的两角 和 的两边分别平行，其中 角比 角的3倍少20 ，则 的大小是＿＿＿。 第8题 10、船停在海面上，从船上看，灯塔的方向在北偏东30°，那么，从灯塔看，船的方向在 。 11、O为平面上一点，过O在这个平面上引2001条不同的直线l1，l2，l3，…，12001，则可形成 对以O为顶点的对顶角。 12、图中三角形的个数是　　　　　。 解答题 13、一个角的余角的2倍和它的补角的 互为补角，求这个角的度数。 (第12题) 14、如图所示的五角星形中 共可数出多少个三角形。 15、 ABC是锐角三角形，D、E、F分别为BC、AC、AB上的点，连DE、EF、DF，图中大于0°小于180°的角有多少个？ 第15 题 16、如图，求A+B+C+D+E+F的值。 17、如图，BE、DE是ABC、ADC的角平分线 求证：E= (A+C) 18、某人下午6点多钟外出买东西，看表上的时针与分针的夹角是110°，近7点钟返回时，发现时针与分针的夹角又是110°，则此人外出共用了多少时间？ 19、证明：一个锐角一半的余角的2倍，减去这个锐角2倍角的补角，仍等于原角。 20、已知AOB是120°，以O为端点在OA与OB之间作射线使它们与OA、OB之间形成的角的度数均是整数，最多可得到多少个角？多少不同的的度数？