“任意角的三角函数”教学认识与设计

I- 孔小明 (浙江省金华市第一中学) 本文首先对三角函数定义的教学进行从整体到局部的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ， 并在此基础上给出定义教学的主干问题设计． 一 、 整体把握，使教学线索清晰，层次分明 三角函数是以函数为主线，刻画周期现象的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 模型．高中 学习的三角函数是在初中学过的锐角三角函数的基础上 ，通过用 旋转的观点将角的概念推广到任意角，并使角与实数建立一一对 应关系，然后结合平面直角坐标系 (以下简称坐标系)和单位圆 重新定义任意角的三角函数．因此 ，三角函数是函数的下位概念， 同时又是锐角三角函数的上位概念．教学时要以函数思想为指导， 以坐标系和单位圆为定义工具，以初中学过的锐角三角函数概念 为认知的起点，促进任意角三角函数定义的有效生成． 教材在完成任意角三角函数定义的基础上衍生出：(1)三角 函数值在各个象限的符号；(2)单位圆中的三角函数线；(3)同 角三角函数的基本关系；(4)三角函数的诱导公式；(5)三角函 数的图象与性质等．可见，三角函数的定义在三角函数教学中可 谓重中之重 ，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关 的各部分内容并起着关键作用． 本节课的学习目标是理解任意角三角函数 (正弦、余弦、 正切)的定义，经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函 数定义的推广过程 ，体验三角函数概念的产生、发展过程 ，领 悟坐标系和单位圆的功能，丰富数形结合的经验． 三角函数的定义内涵丰富、外延广泛 ，同时用单位圆上点 的坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的任意角三角函数定义，与学生初中学过的锐角三 角函数定义有一定的距离 (一个侧重几何的边长与边长的比值 表示，一个侧重代数的坐标 (比值)表示)，与学生熟悉的一般 函数定义也有距离 (一般函数是实数到实数的对应，而三角函 数首先是 实数 (弧度数)到点的坐标的对应，然后才是 实数 (弧度数)到实数 (横坐标或纵坐标)的对应)，学生理解该定 义很难一步到位，需要分成几个层次 ，逐步加深提高．促进学生 理解定义的关键是让学生经历定义的形成过程，增强学习活动 的体验，在教师的引导下独立思考、19主探究 ，完成定义的意 义建构． 教材中任意角三角函数定义的得出经历了以下四个循序渐 进、不断深化的过程：(1)回忆用直角三角形边长的比值产生的锐 角三角函数的定义；(2)把锐角 放在坐标系中，用角的终边上 点的坐标表示锐角 的三角函数；(3)由相似三角形的知识可 知三角函数值只与 的大小有关 ，与点在终边上的位置无关 ， 因此可用单位圆上点的坐标表示锐角 的三角函数；(4)类比 得出用单位圆定义任意角三角函数，并将它纳入到一般函数概 念的范畴． 教材这样设计改变了以往纯学术形态的形式，一定程度上 具有了教育形态的特征 ，体现了数学知识的产生 、发展过程 ， 反映了数学的 “来龙去脉”，通过有效的铺垫，使之符合学生的 认知规律，从锐角三角函数 自然过渡到任意角三角函数，有利 于学生步步加深对三角函数定义本质的理解．因此，教学设计时 无须 “另起炉灶”，只要在此基础上 ，依据学生的认知特点，进 行教学法的深加工即可． 二、抓住关键，使教学精炼、简约而高效 由于教材 自身特点的限制，教材还不能成为教师教学用的 教学设计 ，根据教材的内容、要求以及编写意图，教师还需要 一 个再加工、再创造的过程．具体地 ，就是将教材中得出任意角 三角函数定义经历的四个环节进一步教学化，使之符合学生的 认知特点和规律 ，包括内容研究的必要性 ，坐标系、单位圆引 入的自然性 ，以及用单位圆定义的可行性 、合理性等．把它变成 适合学生认知特点的具体的教育形态 ，使学生感受 “数学是 自 然的、清楚的、水到渠成的”． 当前 ，高中数学新课程比大纲课程的内容有所增加 ，初中 数学对高中数学的支持减弱，新课程赋予数学教学更多的价值 取向，要让课堂的所有环节都让学生有深度思考 、自主探究并 展示结果是不现实也是没必要的．事实上，学生在校以学习间接 经验为主，学生的学习主要是 “接受一建构”式的，因此 ，对 教学中关键的内容 ，要留给学生充分的思考与交流的空间，其 他内容教师可多讲授与引导，发挥先行组织者作用 ，使教与学 达到平衡 ，让教学效益达到最大化． 在引导学生回忆初 中学过的锐角三角函数定义之前 ，先解 决 “学习的必要性”问题 ，明确要研究的内容．教材将 “三角函 数”作为重要的基本初等函数 ，是周期现象的基本模型，教师 可借助本章的章头语，完成课题的引入． 由于初中学过的锐角三角函数定义不能推广到任意角的情 形，从而引发学生认知冲突，激发学生进一步探究的欲望．用什 么定义、怎样定义、这样定义是否合理等，自然成为继续研究 的问题．之前，在任意角内容的学习中，学生已经有 了在坐标系 内讨论角的经验，但教学实践表明，学生仍不能自然想到引入 坐标系工具，利用坐标来定义任意角三角函数．笔者认为，从帮 助学生理解定义的实质，体会坐标思想与数形结合的思想，教 师可利用适当的语言，引导学生重点解决 “如何用坐标表示锐 中国数学教育[2009年第5期 7 角三角函数”的关键问题． 需要提及的是 ，陶维林老师设计的问题 (即 “现在，角的 范围扩大了，由锐角扩展到了0。～360。内的角，又扩展到了任意 角，并且在坐标系中，使得角的顶点与原点重合，始边与 轴的 正半轴重合．在这样的环境中，你们认为，对于任意角Ot，sin 怎样定义好呢?”)具有如下的启示性． 上述问题提得 “大气”，既能使学生的学习围绕关键问题展 开，又突出正弦函数的概念分析．当然，若能依教材先做锐角情 形的铺垫，教学更符合学生 “最近发展区”，提高教学效率． 这里，需要引导学生从函数的观点认识用坐标表示的锐角 三角函数，有助于从函数的本质特征来认识三角函数． 在第三个环节中，首先是如何 自然引入单位圆的问题． 用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点，其中最主 要的是使正弦函数 、余弦函数从 自变量 (角的弧度数)到函数 值 (单位圆上点的横、纵坐标)之间的对应关系更清楚 、更简 单 ，突出了三角函数的本质 ，有利于学生利用已有的函数概念 来理解三角函数 ，其次是使三角函数反映的数形关系更直接， 为后面讨论函数的性质奠定了基础． 但单位圆的这些 “优点”要在引入单位圆后才能逐步体会 到．因此，引入单位圆的 “理由”应该另辟蹊径，白涛老师在引 导学生完成用角的终边上任意一点的坐标表示锐角三角函数之 后，从求简的角度设置问题，不愧为 “棋高一招”：大家有没有 办法让所得到的定义式变得更简单一些? 在学生得出当 z+ ：1时定义式最简单后，白涛老师引入 单位圆，引导学生利用单位圆定义锐角三角函数．至此，学生就 有了第四环节中用单位圆定义任意角三角函数的认知准备． 由于 “定义”是一种 “规定”，因此 ，第四环节中，教师可 类比用单位圆定义锐角三角函数的情形 ，直接给出任意角三角 函数的定义，对学生而言 ，关键是理解这样 “规定”的合理性， 对定义合理性的认知基础就是三角函数的 “函数”本质——定 义要符合一般函数的内涵 (函数三要素)． 三、精心设计问题 ，让课堂成为学生思维闪光的舞台 基于上述认识，对定义部分的教学，给出如下先行组织者 和主干问题设计． 先行组织者 1：周期现象是社会生活和科学实践中的基本现 象，大到宇宙运动 ，小到粒子变化，这些现象的共同特点是具 有周期性，另外潮汐现象、简谐振动、交流电等也具有周期性， 而 “三角函数”正是刻画这些变化的基本函数模型． 三角函数到底是一种怎样的函数?它具有哪些特别的性质? 在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用?本 节课从研究第一个问题人手． 【设计意图】明确研究方向与内容． 问题1：在初中，我们已经学习了锐角三角函数，它是怎样 定义的? 【设计意图】从学生已有的数学经验出发，为用坐标定义三 角函数作准备． 问题2：现在，角的概念已经推广到了任意角，上述定义方 法能推广到任意角吗? 【设计意图】引发学生的认知冲突，激发学生求知欲望． 问题 3：如何定义任意角的_二角函数? 【设计意图】引导学生探索任意角三角函数的定义． 先行组织者 2：我们知道，坐标系是展示函数规律的载体 ， 是构架 “数形结合”的天然桥梁，上节课我们把任意角放在坐 标系内进行研究 ，借助坐标系，可以使角的讨论简化 ，也能有 效地表现出角的终边位置 “周而复始”的现象．坐标系也为我们 从 “数”的角度定义任意角三角函数提供有效的载体． 【设计意图】引导学生借助坐标系来定义任意角三角函数． 问题4：先考虑锐角的情形，如图 1， 在坐标系中，你能用点的坐标来表示锐 角 的三角函数吗? 【设计意图】引导学生用坐标表示 锐角三角函数． 问题 5：各个比值与角之间有怎样 P 0 的关系?比值是角的函数吗? 【设计意图】把三角函数知识纳入函数知识结构，突出变量 之间的依赖关系或对应关系，增强函数观念． 先让学生想象思考，作出主观判断 ，再用几何画板动画演 示 ，得出结论：三个 比值分别是以锐角 为自变量 、以比值为 函数值的函数． 问题 6：既然可在终边上任取一点，那有没有办法让所得的 对应关系变得更简单一些? 【设计意图】为引入单位圆作铺垫． 教师给出单位圆定义之后，可引导学生进一步明确：正弦、 余弦、正切都是以锐角 为自变量、以单位圆上点的坐标 (或 比值)为函数值的函数． 问题 7：类比上述做法 ，设任意角 O／的终边与单位圆交点 为 P( ，Y)，定义正弦函数为 Y=sinOt，余弦函数为 =COSOt， 正切函数为上 =tan ．你们认为这样定义符合函数定义要求吗? 【设计意图】给出任意角三角函数的定义，引导学生用函数 三要素说明定义的合理性，明确任意角三角函数的对应法则、 定义域、值域． 引导学生思考定义的合理性，先让学生作出主观判断，再 用几何画板动画演示，同时做好解释说明，得出结论：正弦、 余弦、正切都是以任意角 Ot为自变量、以单位圆上的坐标或坐 标的比值 (如果存在的话)为函数值的函数．接着给出任意角三 角函数的定义域、值域． 参考文献： [1]曹才翰，章建跃．数学教育心理学[M]．北京：北京师范 大学出版社，2006 [2]吴明华．多元取向 合理取舍：对 “古典概型”教学的 反思[J]．中国数学教育，2008(4) [3]孙枫，等．对三角函数概念的思考 [J]．中学数学教学参 考，2008(1O) 8 ~2一oo一9笨 一苦萌 画薮车薮膏⋯一一一⋯⋯～一一⋯～⋯～一一⋯一 一一～⋯～