【最新北师大版】数学八下易错题(含答案)分析

八年级下册易错题第一章三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D）A．7㎝B．9㎝C．12㎝或许9㎝D．12㎝考察知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：随意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等，因此只能是：5cm，5cm,2cm.2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D）A．40°B．50°C．60°D．40°或70°考察知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当40°是顶角时，底角就是70°；②40°就是一个底角.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则最长边上的高是（D）B.3cmC.4cmD.4.8cm提示：设最长边上的高为h,由题意可得△ABC是直角三角形，利用面积相等求，即1.6.81.10.h22解得h=4.84.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是3或33.解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠ABD=30°AD=1AB=1×6=3，2AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=1∠BAD=1(90°-30°)=30°，22∴∠ABD=∠ABC，∴底边上的高AE=AD=3；②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30°∴∠A=90°-30°=60°，∴△ABC是等边三角形，∴底边上的高为3×6=332综上所述，底边上的高是3或335.到三角形三个极点的距离相等的点是三角形（B）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高考察的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个极点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三1边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”】6.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于8考察的知识点：垂直平分线上的点到线段两头点的距离相等7.用反证法证明：一个三角形中起码有一个内角小于或等于60°.答案：已知：△ABC,求证：△ABC中起码有一个内角小于或等于60°证明：假定△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即每一内角都大于60°则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假定不可立．∴△ABC中起码有一个内角小于或等于60°考察知识：反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假定求证的反面成立，推出与题设、定理等相矛盾的结论，进而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到，除非是题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】如下图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上随意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，若PE=2cm，则PD=_________cm．解：过点P作PF⊥OB于F，∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=15°，∵PD∥OA，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴∠DPO=∠AOP=15°，∴∠BOC=∠DPO，PD=OD=4cm，∵∠AOB=30°，PD∥OA，∴∠BDP=30°，∴在Rt△PDF中，PF=1PD=2cm，2∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB,PE=PF，∴PE=PF=2cm2如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A.6B.7C.8D.9解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=BM+CN，∵BM+CN=9，∴MN=9考察知识点：平行+平分，必有等腰三角形如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（B）解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵在△AED和△AMD中∴△AED≌△AMDSVADESVADM∵DE=DG，DM=DE，∴DM=DG，∵AD是△ABC的外角平分线，DF⊥AB，3∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴SVMDGSVADGSVADM=50-39=11SVDNMSVDEF1SVMDG=1×11=5.522考察知识点：角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（A）A.B.C.D.解：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=AC2BC29212215过C作CD⊥AB，交AB于点D，1则由SVABC=1AC．BC=1AB．CD，得CD=AC.BC=9x12=3622AB155考察知识：利用面积相等法12.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（A）A.1B.2C.3D.44解：∵AD⊥BC，∴∠EAH+∠B=90°，∵CE⊥AB，∴∠EAH+∠AHE=90°，∴∠B=∠AHE，EH=EB，在△AEH和△CEB中，∴△AEH≌△CEB（ASA）CE=AE，EH=EB=3，AE=4，∴CH=CE-EH=4-3=1考察知识：利用三角形全等求线段长度.如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2,则DF的长为3.2解：延伸CF交AB于点G，∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF，AF垂直CG，∴∠AFG=∠AFC，在△AFG和△AFC中，5∴△AFG≌△AFC（ASA）∴AC=AG，GF=CF，又∵点D是BC的中点，DF是△CBG的中位线，DF=1BG=1（AB-AG）=1（AB-AC）=32222点评：本题考察了三角形的中位线定理，解答本题的重点是作出协助线，一般出现既是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延伸线于F.求证：∠CAF=∠B.解：∠B=∠CAF.FE垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠FAD=∠ADF∵AD为∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，∴∠B=∠CAF点评：本题考察了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA、OB 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内成立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的地点．解：①作∠AOB的角平分线；②连结MN，作MN的垂直平分线，交OM于一点，交点就是所求货物中转站的地点．6如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．证明：∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠ACD=∠AED=90°又∵AD=AD，∴△ACD≌△AED2）解：∵△ACD≌△AEDDE=CD=1∵∠B=30°，∠DEB=90°，BD=2DE=217.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连结CF．1）求证：BF=2AE；2）若CD=，求AD的长．1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°∴∠ABD=∠45°=∠BAD∴AD=BD∵BE⊥AC∴∠CAD+∠AFE=90°∵AD⊥BC∴∠FBD=∠BFD=90°7又∠AFE=∠BFD∴∠CAD=∠FBD又∠ADC=∠BDF=90°∴△ADC≌△BDFAC=BFAB=BC，BE⊥ACAC=2AEBF=2AE(2)解：设AD=x，则BD=xAB=BC=2+x∵△ABD是等腰直角三角形AB=2AD∴2+x=2x解得x=2+2即AD=2+2如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延伸线上，且AD=BE.求证：DC=DE证明：延伸BE至F，使EF=BC∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°，AB=BCAB=BC=EFAD=BE，BD=AB+AD,BF=BE+EFBD=BF∴△BDF是等边三角形∴∠F=60°，BD=FD在△BCD和△FED中，BC=EFB=∠F=60°BD=FD∴△BCD≌△FED（SAS）8DC=DE如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延伸线于E，且AE=1BD，求证：BD是∠ABC的角平分线.2证明：延伸AE、BC交于点F∵AE⊥BE∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°∴∠DBC=∠FAC在△ACF和△BCD中∴△ACF≌△BCD（ASA）AF=BD1又AE=BD2AE=EF,即点E是AF的中点AB=BF∴BD是∠ABC的角平分线如图，在△ABC中，分别以AC、AB为边，向外作正△ACD，正△ABE，BD与AE相交于F，连结AF，求证：AF平分∠DME9证明：过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,分别交BD，CE于M，N两点∵△ABE和△ACD均为等边三角形，∴∠EAB=∠CAD=60°，AD=AC，AB=AE∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC，∴△EAC≌△BAD，∴SVEAC1CE.ANSVBAD1BD.AMCE=BD22∴AN=AM∴AF平分∠DME（在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）21.如图，已知：AB=AC，∠A=90°，AF=BE,BD=DC求.证：FD⊥ED.证明：连结AD.∵∠A=90°AB=ACD是BC的中点∴AD⊥BC∠ADB=90°∠B=45°=∠CADAD=BD（直角三角形中，中线等于斜边的一半）且BE=AF∴易证△BED≌△AFD（SAS）∴∠BDE=∠ADF∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90°∴∠ADF+∠ADE=90°∴ED⊥FD10第二章不等式(组)不等式基本性质例：如果x＞y，那么下列各式中正确的选项是（C）A．x-2＜y-2B．x＜yC．-2x＜-2yD．-x＞-y221.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，排除未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果知足题意则要取，不知足题意就不取】【自己做】（1）已知对于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围.(2)已知对于x的不等式（1-a）x＞2的解集为x＜2a＞1.，则a的取值范围是1a提示：利用不等式的基本性质三：a-1＜0xa0（3）如果不等式组的解集是30的解集为（C）．A．x>0B．x<0C．x<2D．x>2（2）直线l1:yk1xb与直线l2:yk2x在同一平面直角坐标系中的图象如下图，则对于x的不等式k1xbk2x的解为x<-1124.一元一次不等式（组）应用题◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证赢利不低于8%，则此商品最多打9折.商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②赢利是在进价的基础上赢利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×x10解：设能够打x折．x那么（600×-500）÷500≥8%10解得x≥9．故答案为：9．◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价钱为每斤x元；下午，他又买了20斤．价钱为每斤y元．以后他以每斤xy元的价钱卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B）xy2C．x≤yD．x≥y解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是30x20y50以每斤xy元的价钱卖完后，结果发现自己赔了钱，则230x20y＞xy502解得：x＞y∴赔钱的原因是x＞y（1）某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元。该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购置金额打九折付款。八年级（2）班的小明想为本班书法兴趣小组购置这种毛笔10支，书法练习本x（x≥10）本。试问小明应当选择哪一种优惠方式才更省钱？（利用一次函数与不等式（组）的知识进行解答）解：（1）y1=25×10+（x-10）×5=5x+200；y2=（25×10+5x）×0.9=4.5x+225．（2）①y1＞y2时，即5x+200＞4.5x+225，解得：x＞50；②y1=y2时，13即5x+200=4.5x+225，解得：x=50；③y1＜y2时，即5x+200＜4.5x+225，解得x＜50．（3）甲 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ：25×10+50×5=500元；乙方案：（25×10+60×5）×0.9=495元；两种方案买：25×10+50×5×0.9=475元，（2）甲、乙两家超市以相同的价钱销售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购置商品高出300元之后，高出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品高出200元之后，高出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元（x>300）．1）请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的原因．解：（1）设应付金额为y则在甲超市购物所付的费用是：y=300+0.8（x-300）=0.8x+60在甲超市购物所付的费用是：y=200+0.85（x-200）=0.85x+30(2)①当0.8x+60>0.85x+30时，解得x＜600，而x＞300∴300＜x＜600即顾客购物超过300元且不满600元时，到乙超市更优惠；②当0.8x+60=0.85x+30时，解得x=600∴当顾客购物600元时，到两家超市所付费用相同；③当0.8x+60＜0.85x+30时，解得x＞60014∴当顾客购物超过600元时，到甲超市更优惠；（3）去年6月份广州市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲货车可装荔枝4吨和香蕉1吨。乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨：①该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 出来；②若甲种货车每辆要付出运输费2000元。乙种货车每辆要付出运输费1300元，则该果农应选择哪一种方案使运费最少？最少是多少？解：（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车10-x辆，由题意得解得5≤x≤7∵x是整数x取5、6、7因此，安排甲、乙两种货车有三种方案：方案1：甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：甲种货车7辆，乙种货车3辆.方案1需要运费：2000×5+1300×5=16500（元）方案2需要运费：2000×6+1300×4=17200（元）方案3需要运费：2000×7+1300×3=17900（元）∴该果农应选择方案1运费最少，最少运费是16500元.（4）某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木材0．5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木材0．7m3，工厂现有库存木材302m3．①有多少种生产方案?②现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用=生产成本+运费）③按②的方案计算，有没有节余木材?如果有，请直接写出用节余木材重生产以上两种型号的桌椅，最多还能够为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明原因．解：（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500-x）套，由题意得解得240≤x≤250x是整数，∴有11种生产方案(2)由题意得y=（100+2）x+（120+4）×（500-x）=-22x+62000(240≤x≤250)-22＜0，y随x的增大而减小∴当x=250时，y有最小值∴当生产A型桌椅250套、B型桌椅250套时，总费用最少，为-22×250+62000=56500元15（3）有节余木材，[302-(05+0.7)×250]÷0.5×2=8或302-(05+0.7)×250=2＜3∴有以下几种方案：①全部做A型可做4套，②全部做B型可做2套，③一部分做A型一部分做B型最多3套，比较可知，应选第①中方案，故最大值应为8∴最多还能够为8名学生提供桌椅.（5）本学期我校展开了课外兴趣小组活动，有好多同学参加了书法兴趣小组。小刚代表兴趣小组的同学去文具店购置毛笔。一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购置毛笔100枝以上（包括100枝），能够按批发价付款；购置100枝以下（不包括100枝）只能按零售价付款。小刚到达该店购置毛笔，如果给兴趣小组的同学每人购置一枝，那么只能按零售价付款，需270元；如果多购置10枝，那么能够按批发价付款，同样需270元。①请问参加书法兴趣小组的同学人数在什么范围内？（3分）②若按批发价购置10枝与按零售价购置9枝的款相同，那么参加书法兴趣小组的同学有多少人？解：①设有x人则由题意可得：90≤x＜100且x为整数②设批发价为m元，零售价为n元则获得10m=9n还有条件得xm=(x+10)n∴xn9x10m10解得x=90（6）若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？宿舍有几间？解：设宿舍有x间，则学生有4x+20人，由题意可得：解得：5＜x＜7x为整数，∴x=6∴学生有4×6+20=44（人）答：学生有44人，宿舍有6间.（7）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共l0016个，按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?（2）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰巧用完．已知a306，求a的值．解：（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒（100-x）个，由题意得：解得38≤x≤40∴有3种生产方案，如下：方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个.（2）设竖式纸盒x个，横式纸盒y个，由题意得：解得648-5y=a290＜a＜306290＜648-5y＜306解得68.4＜y＜71.6∵y为整数，y只能取69、70、71∴对应的a的取值为303、298、293.第三章图形的平移与旋转1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（C）A．4个B．3个C．2个D．1个2.在如下图的单位正方形网格中，△ABC经过平移后获得△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，获得对应点P2，则P2点的坐标为（C）17A.(1.4，-1)B.(1.5，2)C.(1.6，1)D.（2.4,1）3.如下图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转获得的，则这个点的坐标是（0,1）.解：如图，连结AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O′，其坐标是（0,1）4.如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求达成下列操作：先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°获得△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射获得△A2B2C2．5.如图1，已知：Rt△ABC和Rt△DBE，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，DB=EB．181）如图1，点D在△ABC外，点E在AB边上时，求证：AD=CE，AD⊥CE；2）若将（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC的内部，如图2，则（1）中的结论是否仍旧成立？请证明；3）若将（1）中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC的外部，如图3，请直接写出AD，CE的数量关系及地点关系．解：（1）证明：如图图1所示，在△ABD和△CBE中，∴△ABD≌△CBE（SAS）∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，∵∠BCE+∠BEC=90°，∠AEF=∠BEC，∴∠BAD+∠AEF=90°∴∠AFE=90°∴AD⊥CE2）（1）中的结论AD=CE，AD⊥CE仍旧成立，原因为：证明：如图图2所示，∵∠ABC=∠DBE=90°∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE，即∠ABD=∠CBE在△ABD和△CBE中，∴△ABD≌△CBE（SAS）∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，∵∠BCE+∠BOC=90°，∠AOF=∠BOC，∴∠BAD+∠AOF=90°∴∠AFE=90°∴AD⊥CE(3)AD=CE，AD⊥CE，原因为：证明：如图图3所示，设AF和BC相交于点M∵∠ABC=∠DBE=90°∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE19在△ABD和△CBE中，∴△ABD≌△CBE（SAS）∴AD=CE，∠BAD=∠BCE，∵∠BAD+∠AMB=90°，∠AMB=∠CMF，∴∠BCE+∠CMF=90°∴∠AFC=90°∴AD⊥CE6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是；2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，获得线段DF，连结BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延伸线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°∴∠B=60°∵点D是AB的中点，DB=DC,∴△DCB为等边三角形∵DE⊥BC，203∴DE=BC223(2)BF+BP=DE，原因如下：3∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，获得线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF，而∠CDB=60°∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，在△DCP和△DBF中∴△DCP≌△DBF（SAS）CP=BF而CP=BC-BPBF+BP=BC3∵DE=BC2BC=23DE3BF+BP=23DE3（3）如图，与（2）同样可证明△DCP≌△DBFCP=BF而CP=BC+BPBF-BP=BCBF-BP=23DE3点评：本题考察了全等三角形的判断与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等，也考察了等边三角形的判断与性质以及含30度的直角三角形三边的关系.第四章因式分解★因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式；【由此可见：分解因式”和“因式分解”实质是同样的（是一回事）】；★分解因式时一定要分到不能分解为止；如：xy2不能再分解了；再如：(a24)2还可21以分解为(a2)2(a2)2★分解因式的方法：①提公因式法；②公式法（平法差公式完全平方公式）③十字相乘法.十字相乘法：简单的归纳为：把多项式中第一个和第三个数竖着写成相乘的形式，然后再十字相乘，相加，要等于多项式里中间的那个数，最后横着分解出来即可（如上图）1.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是:（D）A.12a2b=3a·4abB.（x+3）（x－3）=x2－92x23x4x1x4C.4x+8x－1=4x（x+2）－1D.2.下列各组代数式中没有公因式的是（B）A．4a2bc与8abc2B．a3b2+1与a2b3–1C.b(a–2b)2与a（2b–a）2D.x+1与x2–142(331)．3.将–x–3x+x提取公因式–x后，剩下的因式是xxx若4a4–ka2b+25b2是一个完全平方式，则k=±20．【提示：完全平方式有两个，中间是±2ab】5.若一个正方形的面积是223m4n．9m+24mn+16n，则这个正方形的边长是6.已知x2+y2—4x+6y+13=0，则x=2，y=-3.提示：(x2)2(y3)207.若x24x30，那么3x212x5的值为4提示：由x24x30得x24x3，∴3x212x53(x24x)548.已知119×21=2499，则119×213－2498×212等于212.提示：119×21×212-2498×212=2499×212-2498×212=212×（2499-2498）=2129.多项式x24xm能够分解为(x3)(x7)，则m的值为（C）A.3B.－3C.－21D.212210.若(2x)n81(4x29)(2x3)(2x3)，则n等于（B）．A．2B．4C．6D．811.分解因式（我只写了答案，在答卷子时一定要写过程）①a2124a2=(a1)2(a1)2②8ax216axy8ay2=8a(xy)2③（1）﹣9x3+6x2﹣x=x(3x1)2④a4﹣8a2+16=(a2)2(a2)2⑤3ax23ay4=3a(xy2)(xy2)⑥4()()24=(ab2)2abab12.计算①2009220082010=20092(20091)(20091)200922009211②20142+16﹣8×2014=20142﹣8×2014+16=(20144)2=20102=40401009992﹣1002×998=9992(10002)(10002)9992100024(9991000)(9991000)4199513．（1）利用因式分讲解明：367612能被210整除．证明：∵36761261461262.612612612(621)35.61211210.611∴367612能被210整除（2）若a、b、c是△ABC的三边，且a2b2c2abacbc，试探索△ABC的形状，并说明原因。解：a2b2c2abacbc=2(a2b2c2)2(abacbc)=(a22abb2)(a22acc2)(b22bcc2)0=(ab)2(ac)2(bc)20解得：a=b,a=c,b=ca=b=c23∴△ABC为等边三角形已知多项式(a2+ka+25)–b2，在给定k的值的条件下能够因式分解．（1）写出常数k可能给定的值；【答案】k=±10（2）针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．解：当k=10时，原式=(a5)2b2=(a5b)(a5b)★★★15.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．解：因看错一次项，分解为，所以二次项和常数项对；因看错常数项，分解为所以二次项和一次项对所以原多项式为：=认真阅读下面例题，解答问题：2例题：已知二次三项式x﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：模仿以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．解：设另一个因式为（x+m），得2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+m）=2x2+(2m-5)x-5m∴2m-5=3-5m=-k解得m=4,k=20∴另一个因式为：（x+4）根据条件，求下列代数式的值：（1）若x（y﹣1）﹣y（x﹣1）=4，求的值；解：∵x（y﹣1）﹣y（x﹣1）=4xy-x-xy+y=4y-x=424∴(yx)2y22xyx216∴x2y2162xy∴x22y2xy162xyxy82（2）若a+b=5，ab=3，求代数式3223的值．ab﹣2ab+ab（3）利用“配方法”分解因式：a2－6a+8.解：原式=2691(3)21(4)(2)aaaaa4）若a+b=5，ab=6，求：a4+b4的值.解：a4b4(a2b2)24a2b2[(ab)22ab]24(ab)2(5212)24x6225第五章分式及分式方程★分母上含有字母的式子叫分式（不要约分，直接进行判断）如：5x2也是分式x★分式的基本性质：给分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.★分式存心义：使分母不为零，分子存心义（主假如分子中含有平方根的情况）如：4x51则4x-5≥0x2x-2≠0解得x≥5且x≠24★分式值为零：分子为零，且分母不为零；最简分式：分子分母不能再进行约分的分式叫最简分式★分母中含有未知数的等式叫分式方程；★解分式方程时，解完后一定要查验，若算出的解使公分母为零，则该解为分式方程的增根；若算出的解使公分母不为零，则该解为分式方程的根.★增根：使公分母为零的根（或解）1.已知有理式：4，a，1，3x，1x2，1+4其中分式有（B）A．2个B.3个C.4x4x-y42a个D.5个▲在盒子里放有三张分别写有整式a+1、a+2、2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（112C）A.B．C．3633D．4x2.使分式存心义的x取值范围是（D）A.x0B.x2C.x2D.x2x225▲若y与x的函数关系式是y=2，自量x取范x1.x13.若分式xy中的x、y的都原来的3倍，分式的（A）xyA.不B.是原来的3倍11C.是原来的D.是原来的364.若将分式ab中的a与b的都大原来的2倍，个分式的将（C）4a2A.大原来的2倍B.分式的不C.小原来的1D.小原来的124下列各式中最分式是（B）A.12aB.2x1C.x1D.5a15b6x3x3a6.若分式x21的零，x的-1x17.若对于x的方程x1m1生增根，m是(A)A.4B.2C.3D.1x2x2▲若对于x的分式方程xm23x32无解，m的±x3acega＋c＋e＋gm2m＋n58.若：b=d=f=h=3，b＋d＋f＋h=3；若：n=3，n＝3.9.若4x3y0，xy=1y4提示：利用特殊法：x=3,y=410.如果xy3，xy4，那么2xxy2y=23x2xy3y1711.算a1(a1)的果是1aaa112.有一数是1，3，2，5，⋯⋯第100个数是101438200解：1，3，2，5，⋯⋯=2，3，4，5⋯n143824682n101∴第100个数是2613.符号“ababbc，请你根据上述规”称为二阶队列式，规定它的运算法例为：adcdcd21定求出下列等式中的x的值．11=1则x=．41xx1解：由题意得：211x11x解得x=4经查验，x=4是原方程的根14.计算题（我只写了答案，在考试时一定要写过程）（1）2m11114m2m2=1m2m（2）9a2a23a1=06a9a3aa2（3）1xyx2y2=yx2yx24xyxy4y2（4）x21x22xx=2x22x1x2x1x（5）先化简，再求值，x2x2x14x216其中x22x22x4xx24x解：原式=1，将x22代入得，原式=1(x2)22▲先化简再求值x24x2其中x=2x24x4x2解：原式=8x，将x=2代入得，原式=422x4（6）若a2bc5，且2ab3c21,求4a3bc的值.346解：设a2bc5=k，则a=3k-2，b=4k，c=6k-53462（3k-2）-4k+3(6k-5)=21解得k=2a=4，b=8，c=7274a3bc=-1(7)已知2x4AB，求A，B的值.(x1)(x1)x1x1解：∵2x4ABA(x1)B(x1)(AB)xAB(x1)(x1)x1x1(x1)(x1)(x1)(x1)A+B=2A-B=-4解得A=-1，B=315.解方程：（我只写了答案，在考试时一定要写过程）①63x5x1xx(x1)解得：x=1经查验，x=1是原方程的增根②23x26x1x11解得：x=1经查验，x=1是原方程的增根③x31x22x解得：x=2经查验，x=2是原方程的增根16.分式方程应用题在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（C）.A.v1v2千米B.v1v2千米C.2v1v2千米D.无法确定2v1v2v1v2解：设上坡的行程为S千米，则下坡行程也为S千米，由题意得：2s2v1v2ss=v1v2v1v2(2)一项 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 ，A独自做m小时达成。A，B合作20小时达成，则B独自做需20mm2028小时达成.解：由题意得：120m11m2020m(3)我市从今年1月1日起调整居民用水价钱，每立方米水费上升1。小明家去3年12月份的水费是15元，现在年7月份的水费则是30元。已知小明家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价钱是每立方米多少元？解：设去年的水费为每立方米x元，则今年为每立方米4x元，由题意得：33054xx3解得x=32经查验，x=3是原方程的根且切合题意23×4∴今年居民用水的价钱是每立方米=2元23答：_____________________________(4)小明带15元钱请朋友喝饮料，如果买一种A饮料，正好付15元且自己能够多喝一瓶，但售货员建议他买一种新口胃的B饮料，这种B饮料比A饮料价钱高出1，因此，他也只能喝一瓶，问这两种饮料的价钱各是多少？4解：设买A饮料所需钱为x元，买B饮料所需钱为5x元41515x4解得x=3经查验，x=3为原方程的根且切合题意∴B种饮料的价钱是3×5=3.75元4答：A饮料的价钱是3元，B饮料的价钱是3.75元29(5)甲、乙两人都从A地出发到B地，已知两地相距50千米，且乙的速度是甲速度的2.5倍.现甲先出发1小时30分，乙再出发，结果乙反而比甲早到1小时，问两人速度各是多少？解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为2.5x千米/小时，由题意得：50501.51x2.5x解得x=12经查验，x=12为原方程的根且切合题意∴乙的速度12×2.5=30千米/小时答：_____________________________(6)为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限企业主动担当了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天达成．（1）按此计划，该企业平均每日应生产帐篷2000顶；2）生产2天后，企业又从其余部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，经过技术改革等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25％，结果提早2天达成了生产任务．求该企业原计划安排多少名工人生产帐篷?解：（1）2000（2）设该企业原计划安排名工人生产帐篷，由题意得：，解得．经查验，是所列方程的根，且切合题意．答：该企业原计划安排750名工人生产帐篷．第六章平行四边形平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；性质：（1）两组对边分别平行302）两组对边分别相等3）一组对边平行且相等4）两组对角分别相等5）对角线互相平分判断：【证明平行四边形的方法】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形；三角形中位线1）定义：三角形两边中点的连线叫三角形的中位线；2）性质：中位线平行于第三边且等于第三边的一半；推论：过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边.中点四边形：顺次连结四边形个边中点组成的新四边形，新四边形一定是平行四边形.多边形【如：n边形有n个极点、n条边、n个内角】（1）多边形内角和公式：（n-2）.180°（2）所有多边形的外角和都是360°（3）对角线：从一个极点能够引n3条对角线；总合有n(n3)条对角线.2★正多边形：每条边都相等，每个内角都相等镶嵌（密铺）：用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留缝隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。【即用整数个全等的图形将一点围成360°（能够有多种图形组合）】平行四边形平行四边形拥有而非平行四边形的图形不拥有的性质是（C）A．内角和与外角和都是360°B．不稳定性C．对角线互相平分D．最多有三个钝角在下列命题中，结论正确的选项是（B）A．平行四边形的邻角相等B．平行四边形的对边平行且相等C．平行四边形的对角互补D．沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够完全重合下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（A）A．AB=CD，AD∥BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB∥CD，AD∥BCD．AB=CD，AD=BC下列说法：①平行四边形的随意一条对角线把平行四边形分红两个全等三角形．②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．③平行四边形的两条对角线把平行四边形分红四个面积相等的小三角形．④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（C）A．1个B．2个C．3个D．4个31下列命题中错误的命题是（C）A．（-3）2的平方根是±3B．平行四边形是中心对称图形C．单项式5x2y与-5xy2是同类项D．近似数3.14×103有三个有效数字已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线α的取值范围为（B）A．4＜α＜16B．14＜α＜26C．12＜α＜20D．以上答案都不正确解：如图，已知平行四边形ABCD中，AB=10，AC=6，求BD的取值范围，即a的取值范围.∵四边形ABCD是平行四边形a=2OB，AC=2OA=6∴OB=1a，OA=32∴在△AOB中：AB-OA＜OB＜AB+OA即14＜α＜26点评：考察“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”以及“平行四边形对角线互相平分”的性质7.如图，在?ABCD中，AB=8，AD=6，∠DAB=30°，点E，F在AC上，且AE=EF=FC，则△BEF的面积为（B）A．8B．4C．6D．12【提示：由题意能够算出平行四边形面积为24，而△ABC的面积是平行四边形面积的一半，故△ABC面积为12，△AEB、△EFB、△FCB是三个等底同高的三角形，因此它们面积相等，是△ABC的面积的1，所以△BEF的面积为4】3在?ABCD中，AD=2，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F．若EF=1，则?ABCD的周长为10或14.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB‖CD，BC=AD=2，AB=CD，∴∠EAB=∠AED，∠ABF=∠BFC，∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，∴∠DAE=∠BAE，∠CBF=∠ABF，∴∠AED=∠DAE，∠BFC=∠CBF，∴AD=DE，BC=FC，32DE=CF=AD=2，由图①得：CD=DE+CF+EF=2+2+1=5，∴?ABCD的周长为14；由图②得：CD=DE+CF-EF=2+2-1=3，∴?ABCD的周长为10．∴?ABCD的周长为10或14．如图，E是?ABCD的边AD的中点，CE与BA的延伸线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不可立的是（B）A．AD=CFB．BF=CFC．AF=CDD．DE=EF9.如图③，过三角形内一点分别作三边的平行线，如果三角形的周长为6cm，则图中三个阴影三角形的周长和为（A）A．6cmB．8cmC．9cmD．10cm已知△ABC的面积为36