非线性电阻电路分析

“十一五”规划教材—电路基础 第四章 非线性电阻电路 „ 4.1 非线性电阻元件的特性 „ 4.2 非线性电阻电路的方程 „ 4.3 图解分析法 „ 4.4 小信号分析法 „ 4.5 分段线性分析法 „ 4.6 数值分析法 „ 4.7 应用实例：温度测量与控制电路 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 4.1 非线性电阻元件的特性非线性电阻元件的特性 本章介绍非线性电阻电路方程的建立方法，分析非 线性电阻电路的一些常用方法，如图解分析法、小信号 分析法、分段线性化方法、数值分析法等。 一、非线性电阻元件一、非线性电阻元件 定义：在u−i平面或i−u平面上的伏安特性曲线不是通过 原点的直线。 非线性电阻的电路符号 + -u i 非线性电阻不 满足欧姆定律 u=f(i)或 i=g(u) 1.伏安关系 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 / 1qu kTSi I e⎡ ⎤= −⎣ ⎦如：PN结二极管的伏安特性 从伏安特性可看出其u和i呈现单调关系，所以其 伏安特性也可表示为： 1ln 1 S kTu i q I ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦ 二、非线性电阻按伏安特性关系的分类 1.单调型 其电压既可表示为电流的单值 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数，电流也可表示为电 压的单值函数 PN结二极管及其伏安特性曲线 u i i u SI O http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 u i i uO 充气二极管及其伏 安特性曲线 i u1u 2u 3u 0i O 隧道二极管及其伏 安特性曲线 从充气二极管的伏安特性可见，u是i的单值函数，只 能取电流i作为控制变量，为流控型非线性电阻 。 从隧道二极管的伏安特性可见，i是u的单值函数，只 能取电压u作为控制变量，为压控型非线性电阻 。 2.流控型、压控型 其电压可表示为电流的单值函数或电流可表示为电 压的单值函数 u i u=f(i) i=g(u) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 3.既非压控又非流控电阻 可看出方程既无法把u表达成i的单值函数，也无法 把i表达成u的单值函数。 注意：与线性电阻不同，非线性电阻一般不是双向电阻。 例如PN结二极管，就必须明确地用标记将其两个端钮区别 开来，在使用时必须按标记正确接到电路中。 其电压−电流关系不能表达为一个变量的单值函数 0 0 ( , ) 0 0 i u f u i u i = <⎧= ⎨ = >⎩ 对所有 对所有 如：理想二极管 i uO u i http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 4.2非线性电阻电路的方程 从列写电路方程的两个基本依据来看： 2.不同的是元件本身的特性。由于非线性电阻元件的 电压−电流关系不是线性的，所以得到的方程将是非 线性的。 1.基尔霍夫电流定律（KCL）、基尔霍夫电压定律 （KVL）只与电路的结构有关，而与元件的性质无关。 因此就列写KCL和KVL本身方程，非线性电阻电路与线 性电阻电路无区别。 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 1 5 3 350u i= 例4.2.1 图示为一非线性电阻电路，其中R1、R2为线性 电阻，R3为非线性电阻，其电压−电流关系为 试列出其电路方程求出相应的变量 1 2 1 2 3 2 1 2 3 3 ( ) SR R i R i u R i R i u + − =⎧⎨− + = −⎩ 解：方法1：网孔法 1 5 3 350u i= 消去i1、u3，可得 1 1 2 5 3 3 1 1 2 50Su R Ri i R R R += − × ① 2R 1R Su 3R 3u 3i 1i 3i1i http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 1 5 3 350u i= 例4.2.1 图示为一非线性电阻电路，其中R1、R2为线性 电阻，R3为非线性电阻，其电压−电流关系为 试列出其电路方程求出相应的变量 解：方法2：节点电压法 3 3 1 2 1 1 1( ) Suu i R R R + = − 5 3 3 550 ui = 5 32 1 2 3 5 1 2 1 2 50 S uR R Ru u R R R R = − ×+ +消去i3，可得 ① 2R 1R Su 3R 3u 3i 1i 3i1i http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 由上面的分析可知，建立非线性电阻电路方程时，非 线性电阻的处理与受控电源的处理类似，只是非线性电 阻的控制量是电阻本身所在支路上的变量（电压或电流） 而已。 2.对电压控制型非线性电阻，采用节点法或割集法进行 分析比较简单，因为用电压变量（节点电压或割集电压） 容易表示电压控制型非线性电阻上的电流。 1.对电流控制型非线性电阻，采用网孔法或回路法进行 分析比较简单，因为用电流变量（网孔电流或回路电流） 容易表示电流控制型非线性电阻上的电压。 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 4.3图解分析法 图解分析法的原理 一、图解法的基本原理：将非线性电路拆分为两个一端口电 路N1和N2，如图所示。拆分的方式可以是任意的，为了列写 电路方程的方便，一般拆分成线性电路部分和非线性电路部 分，也可以拆分成两个非线性电路部分。设N1和N2的电压−电 流关系为： 图解分析方法的思路：因为每个方程代表一条特性曲线， 图解分析方法就是用作图的方法找到这些曲线的交点，即 静态工作点(quiescent operating point)。 2u 2i 1N 1u 2N 1i http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 图解分析法的原理 1 1 1 2 2 2 ( , ) 0 ( , ) 0 f u i f u i =⎧⎨ =⎩ 1 2 1 2 u u i i =⎧⎨ = −⎩ 根据KVL和KCL，有 2u 2i 1N 1u 2N 1i http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 或 1 1 1 2 1 1 ( , ) 0 ( , ) 0 f u i f u i =⎧⎨ − =⎩ 1 2 2 2 2 2 ( , ) 0 ( , ) 0 f u i f u i − =⎧⎨ =⎩ 由上两式，可得 (4.3.3a) (4.3.3b) 用图解法在同一坐标系中画出式(4.3.3a)或式 (4.3.3b)中两个方程的特性曲线，其交点为电路方程 的解。 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 例4.3.1 如图4.3.2(a)所示，设非线性电阻R的电压 −电流关系为， 其中u为非线性电阻两端的电 压(单位为V)。试求非线性电阻R的静态工作点。 6 4010 ( 1)Aui e−= − (a) 解：将非线性电阻R左边的线性电路部分用戴维南电 路等效，如图(b)所示，其中 0.5 2 1V 0.5 0.5OC u = × =+ 0 0.5 0.5 0.75 10.5 0.5R ×= + = Ω+ i 0.75Ω0.5Ω 0.5Ω2V R u (b) uu i i0R OCu http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 则线性电路部分的电压−电流关系为： 1i u= − 非线性电路部分的电压−电流关系为 6 4010 ( 1)Aui e−= − 在同一坐标系中作出两部分电路的伏安特性曲线，如图 (c)所示，其交点为Q，即为非线性电阻R的静态工作点，对 应的坐标为 0.34V 0.66Au i= =， Q O 1i u= − 0.2 u i 0.4 0.8 0.4 6 4010 ( 1)ui e−= − ( C ) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 4.4 小信号分析法 上节图解法是在直流激励下，确定静态工作点，如 果在此基础上再加入幅度很小的随时间变化的信号（小 信号），如何处理呢？ 小信号分析法的基本思路：是在静态工作点确定的 基础上，将非线性电阻电路的方程线性化，得到相应的 小信号等效电路或增量等效电路（线性电阻电路）。利 用分析线性电路的方法进行分析计算。 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 4.4 小信号分析法 0R i u( )i f u= 0U ( )Su t R 任意时刻t 都有 )(0 tuU s>> 图示电路中，直流电压源为U0， 电阻R0为线性电阻，非线性电阻R是 电压控制型的，其伏安特性i=f(u)， 其伏安特性曲线如图4.4.1 (b)所示 图4.4.1（a) O u i ( )i f u= 图4.4.1（b) 小信号时变电压为uS(t) 1.首先按照KVL列出电路方程 分析方法： 0( )S SU u t R i u+ = + (4.4.1) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 Q O 0U u i A ( )i f u= B QU QI 0 0 U R 2.当uS(t)=0时 0S Q QU R I U= + ( )Q QI f U= Q(UQ，IQ)，即静态工作点 3.当uS(t)加入时 u1、i1是由于小信号uS(t)的作用而引起的偏差在 (4.4.2) (4.4.3) 1 1 Q Q u U u i I i = +⎧⎨ = +⎩ (4.4.4) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 在任何时刻t，u1、i1相对(UQ，IQ)都是很小的量。 )(0 tuU s>> 的条件下， 由i=f(u)可得： 1 1[ ]Q QI i f U u+ = + (4.4.5） 1 1( ) Q Q Q U dfI i f U u du + ≈ + 又由于u1很小，可以将上式右边在UQ点附近用泰勒级 数展开，取级数前面两项而略去一次项以上的高次项，上 式可写为 (4.4.6) 1 1 QU dfi u du ≈ 由式(4.4.3)，可得 (4.4.7) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 1 1 1 Q d U d i df G u du R ≈ = =因此有 (4.4.8) Gd为非线性电阻在工作点(UQ，IQ)处的动态电导 (dynamic conductance)，Rd为相应的动态电阻(dynamic resistance)。 由于Gd =1/Rd在工作点(UQ，IQ)处是一个常量，所以从 上式可以看出，小信号电压uS(t)产生的电压u1和电流i1之间 的关系是线性的。 0 1 1( ) [ ]S S Q QU u t R I i U u+ = + + + (4.4.10)所以 0 1 1( )S du t R i R i= + (4.4.11) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 由此可以作出给定非线性电阻在工作点(UQ，IQ)处的 小信号等效电路，如图4.4.2所示。 ( )Su t 0R 1( )i t 1( )u tdR 图4.4.2 小信号模型 0 1 1( )S du t R i R i= + 由小信号电路可得 1 0 1 0 ( ) ( ) S d d S d u ti R R R u tu R R ⎧ =⎪ +⎪⎨⎪ =⎪ +⎩ (4.4.12) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 例4.4.1 在如图4.4.3(a)所示非线性电阻电路中，非线 性电阻的伏安特性为， 现已知当uS(t)=0时，回路 中的电流i为1A。如果uS(t)=cosωtV时，试用小信号分析 法求回路中的电流i。 32u i i= + 2Ω i u Su 5V 解 由题意可知，此电路中的静态 工作点在I0=1A处，工作点处的动态 电阻为 0 2 1 2 3 5d i i I d uR i d i == = = + = Ω 作出小信号等效电路 2Ω 1i 1uSu dR http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 1 1 co s A 2 5 7 Sui tω= =+ 1(1 co s )A 7 i tω= + 故总电流为 可得： 2Ω 1i 1uSu dR http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 4.5分段线性分析法 分段线性分析法(piece−wise linearization analysis) 是一种实用的近似方法，即用一条折线来分段逼近特性曲 线，所以有时也称之为折线法(polygon method)。 思路：就是用若干段斜率不同的折线近似代替非线 性电阻的实际特性曲线，从而将非线性电阻电路转化为 几个线性电路求解，每个线性电路对应一个相应的区间。 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 4.5分段线性分析法 O 2U u i B 3U 1 32 A C 3I 2I 图4.5.1所示为流控型非线性电阻的特性曲线，可 以将非线性电阻的特性分作三段，分别用OA、AB、和BC 三段直线来逼近它。直线方程如果用电流为自变量，其 一般表达式为 k d ku U R i= + 图4.5.1 分段线性逼近 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 其中Uk是第k段直线与u轴交点的坐标。显然，图 4.5.1中的U1=0，U2>0，U3<0。Rdk为动态电阻，等于 第k段直线的斜率，即 dk k d uR d i = k d ku U R i= + O 2U u i B 3U 1 32 A C 3I 2I图中三条线段上，有三个动态电阻 OA段是通过原点的直线 Rd1=RD1>0 AB段是下降的直线段 Rd2<0 RD2<0 Rd2≠ RD2 BC段是上升的直线段 Rd3>0 RD3>0 Rd3≠ RD3 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 由上式可知，第k段非线性电阻Rk的特性可以用 电压源串联线性电阻来等效，如图(b)所示，称为分 段戴维南电路。或电流源并联电导来等效如图(c)所 示，称为分段诺顿电路。 k d ku U R i= + k d ki I G u= +或 kI dkG dkR kU i udkR i u i u 图4.5.2 非线性电阻及其线性化等效电路 (a) (b) (c) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 例4.5.1 试用分段线性分析法求解图4.5.3(a)所示电 路，其中非线性电阻的伏安特性曲线如图(b)所示。 i5Ω 12V u O 3 (A)i Q B 1 2 A (V)u41 2 5 6 7 8 9 10 8V 1V 0.8A 0.2A (a) (b) 图4.5.3 0 1 .5 Vu< < 1 .5 Vu > 解 现在按电压分为两段，分别用OA（ ）、AB （ ）两条直线分段逼近。取u为自变量，直线方程 是 k d ki I G u= + http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 O 3 (A)i Q B 1 2 A (V)u41 2 5 6 7 8 9 10 8V 1V 0.8A 0.2A对OA段，可测得 Ik=0A，Gdk =0.8S， 对AB段，可测得Ik=1.0A，Gdk =0.025S 显然，这是一个虚假解，应该舍弃。 2.4 2.4 0 2.4V 1.5V 0.2 0.2 0.8 k dk Iu G − −= = = >+ + 2.4 2.4 1 6.22V 0.2 0.2 0.025 k dk Iu G − −= = =+ + http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 O 3 (A)i Q B 1 2 A (V)u41 2 5 6 7 8 9 10 8V 1V 0.8A 0.2A 此时正好在AB段的范围内，代入直线方程得到 1 0.025 6.22 1.16Ak dki I G u= + = + × = 注意：对每个线性电路计算后，要根据电压和电流的等效 范围进行校验，仅当工作点在其有关段的等效范围时，其 解才是正确的。否则便是虚假工作点，应予以舍弃。 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 4.6 数值分析法 数值分析法(numerical analysis)一般采用逼近 的方法，使用迭代的点序列逐步逼近非线性方程的解 。逼近的方法有牛顿法、共轭梯度法等。本节主要介 绍牛顿法。 含有一个非线性电阻电路的方程，最终可归结为一 个一元非线性方程，假设电路方程的形式为 ( ) 0f x = (4.6.1) 式中x为待求的电路变量，一般为电压或电流。 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 牛顿法：是基于围绕某一近似解 对函数 进行泰勒 展开给出的，即 ( )kx ( )f x ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 2k k k k k x x x x df d ff x f x x x x x dx dx= = = + − + − +L 如果 很小，则可取一阶近似，得到( )kx x− ( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) k k k x x dff x f x x x dx = = ≈ + − 这是一个线性方程，记其解为 ，则有( 1)kx + ( ) ( 1) ( ) ( )( ) k k k k x x dfx x f x dx + = = + (4.6.3) (4.6.2) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 O ( )f x *x y x kP ( 1)kx + ( )kx 牛顿法的几何意义 图4.6.1 f(x)=0的解x∗可解释为曲线 y=f(x)与x轴的交点的横坐标，见 图4.6.1。设x(k)是x∗的某个近似 值，过曲线y=f(x)上横坐标为x(k) 的点Pk作切线，并将该切线与x轴 的交点的横坐标x(k+1)作为x∗的新 的近似值。注意到切线方程为 ( ) ( ) ( )( ) ( ) k k k x x dfy f x x x dx = = + − 由于这种几何含义，牛顿法也称为切线法 (4.6.4) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 例4.6.1 用牛顿法求解图4.6.2所示电路的电压 和电 流 ，其中iS=0.673A，二极管的电压−电流关系为 2u 2i 2 2 400.1( )A1ui e= − 解 由电路可得KCL方程 1 2Si i i= + 1 2 1 0.4 i u= 2 2 400.1( 1)ui e= − 2u将 和 代入上式并整理，得到以 为变量的非线性电路方程 2 2 2 40 1( ) 0.1( 1) 0.673 0 0.4 uf u e u= − + − = 图4.6.2 对f(u2)求导，得 22 2 40( ) 4 2.5udf u e du = + 2u 1i 2iSi 0.4Ω http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 2 0.047Vu = 将u2的数值代入 式，可得22 400.1( 1)Aui e= − 2 0.555Ai = 因此，牛顿法的迭代公式为 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) 2 2 2 40 40 0.1 2.5 0.773 4 2.5 k k k k k u u e uu u e + + −= − + 其中上标表示迭代次数。取初始值u2=0时的迭代结果为 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 对于含有多个非线性电阻电路的方程，最终可归结 为一个多元非线性方程组，将一元牛顿法进行推广，可 以得到求解多元非线性方程组的牛顿迭代法。假设电路 方程的形式为 1 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0n f f f =⎧⎪ =⎪⎨⎪⎪ =⎩ M x x x (4.6.5) 与求解一元非线性方程类似，设 是第k次迭代值，将式 (4.6.5)在近似解处进行泰勒展开，并只取一阶近似，得到 T 1 2[ , , , ]nx x x= Lx式中 为待求的电路变量，一般为电压或电流。 ( ) ( ) ( ) ( ) T 1 2[ , , , ] k k k k nx x x= Lx ( )kx http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 这是一个线性方程组，写出矩阵形式有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1, 2, , ) k k k k k ki i i i ki n n n f ff f x x x x x x f x x i n x = = = ∂ ∂= ≈ + − + −∂ ∂ ∂+ + − =∂L L x x x x x x x x (4.6.6) ( ) 1 1 1 1 2 ( ) 1 2 2 2 ( ) ( 1) ( ) 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k n k k k k n k n n n n n f f f x x x f f f f fx x x f f f f x x x + = ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ L L MM M L M L x x x x x x x (4.6.7a) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 ( ) ( 1) ( ) ( )'( )( ) ( )k k k k+ − = −f x x x f x 简写成 其中系数矩阵 称为雅可比矩阵(Jacobian matrix) ， 为非线性方程组在 处的函数值向量。如果雅可 比矩阵 是非奇异的，由式(4.6.7b) 解出 得 ( )'( )kf x ( )( )kf x ( )kx ( )'( )kf x ( 1)k+x ( 1) ( ) ( ) 1 ( )[ '( )] ( )k k k k+ −= −x x f x f x 上式可看成牛顿法的迭代公式(4.6.2)的直接推广。 (4.6.8) (4.6.7b) http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 例4.6.2 用牛顿法求解图4.6.3所示电路各支路电流。电 路中各非线性电阻的电压−电流关系分别为 ，31 1i u= 22 2i u= 3/ 2 3 3i u= 1i 2i 2u 1u 1l ① 3u 4A12A ② 3i 图4.6.3 解: 列节点①、②的KCL 方程得 1 2 2 3 12 4 i i i i + = + = 3 2 1 2 2 3/ 2 2 3 12 4 u u u u + = − = 代入非线性电阻的电压−电流关系，得到 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 将上式代入前面两式中，得到 3 2 1 1 3 3/ 2 2 3 1 3 ( ) 12 4 ( ) u u u u u u + − = + = − 2 1 3u u u= − 列出回路l1的KVL方程得 1i 2i 2u 1u 1l ① 3u 4A12A ② 3i 由上式得到关于u1，u3的非线性电路方程组 3 2 1 1 3 1 1 3 2 3/ 2 2 1 3 1 3 3 ( , ) ( ) 12 0 ( , ) ( ) 4 0 f u u u u u f u u u u u ⎧ = + − − =⎪⎨ = − − + =⎪⎩ http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 得到雅可比矩阵为 1 1 2 1 1 3 1 3 1 3 1 / 2 2 2 1 3 1 3 3 1 3 3 2( ) 2( ) '( ) 32( ) 2( ) 2 f f u u u u uu u f f u u u u u u x ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥∂ ∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = ⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥ − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ f x 由式(4.6.8)得到迭代公式为 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 3 12 ( 1) ( ) 1 1 3 1 3 1 1 1 / 2( 1) ( ) 1 3 1 3 33 3 3 2 1 1 3 2 3 / 2 1 3 3 3 2( ) 2( ) 32( ) 2( ) 2 ( ) 12 ( ) 4 k k k k k k k k u u u u u u u u uu u u u u u uu u u u u u u u − + + ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥= − ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤+ − −⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦ http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 对非线性方程组，可能会出现许多组解的情况， 必须取不同的初始值进行迭代试运算。通过不同初始 值的迭代运算，得到两组结果 1 3 2.0000 4.0000 u u ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ 1 3 2.2850 2.5490 u u ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦和 经过验算，它们都是电路方程的解。 3 2 3/ 2 1 1 2 2 3 38A 4A 8Ai u i u i u= = = = = =， ， 3 2 3/ 2 1 1 2 2 3 311.9303A 0.0697A 4.0697Ai u i u i u= = = = = =， ， 由第二组解，得到u2=u1−u3= −0.2641V，从而各支路电流为 由第一组解，得到u2=u1−u3 = −2V，从而各支路电流为 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 4.7 应用实例：温度测量与控制电路 1.1kΩ 5V+ 1kΩ 1kΩ 1kΩ 100kΩ 5V+ 5V+1u Lu Hu tR REFHu REFLu HR LR tu + 1kΩ 1kΩ tu − ∞> 1N ∞> 2N ∞> 3N 图4.7.1 温度测量与控制电路 (100 0.39 )tR T= + Ω http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 例 对图4.7.1所示电路，设计电阻RL、RH，使温度稳 定在85～100℃。 解 如图4.7.1所示，注意到理想运算放大器的“虚断”特性 （同相输入端电流为零），N1的同相端输入电压为 应用叠加定理，同时注意到理想运算放大器的“虚断” 特性（反相输入端电流为零），可求出N1的反相端电压ut– 1000 5 50005 V 1000 1100 2100 t t t t t R Ru R R+ + += × =+ + + 1 1 15 1 1 1 100t u u− = × + ×+ + http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 由理想运算放大器的“虚短”特性，得到 于是得到 t t tu u u+ −= = 1 101( 2.5)tu u= − 将电阻Rt的电阻值随温度T（℃）变化的关系代入上式， 得出u1随温度T变化的关系式为 1 5(100 0.39 ) 5000101 ( 2.5) 0.39 2200 Tu T + += × −+ 1 3.75Vu =当T=85℃时，算得 ，该电压值应该等于电压下 限值uREFL，于是有 得出 L 3kR = Ω L L 5 3.75 1 R R × =+ http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛 “十一五”规划教材—电路基础 当T=100℃时，算得 ，该电压值应该等于电 压上限值uREFH， 1 4.40Vu = H 1 5 4.4 1 R × =+ H 136R = Ω得出 于是有 http://www.elecfans.com 电子发烧友 http://bbs.elecfans.com 电子技术论坛