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常微分方程

常微分方程null常微分方程建模（动态模型）常微分方程建模（动态模型）信息学院朱霞数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 1. 了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 2. 通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精练、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3. 在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻画各变量之间的关系，即建立模型。 4. 模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明等）。 5. 模型的分析与检验。...

null常微分方程建模（动态模型）常微分方程建模（动态模型）信息学院朱霞数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 1. 了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 2. 通过对资料的分析计算，找出起主要作用的因素，经必要的精练、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3. 在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻画各变量之间的关系，即建立模型。 4. 模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明等）。 5. 模型的分析与检验。null 常微分方程的主要特点是利用微元分析法，建立瞬时变化率的表达式，然后根据所给条件确定解曲线。因此，对变化率的假设与推导是建立常微分方程模型的关键。null微分方程解的存在唯一性定理：关于初值问题微分方程的解微分方程的解一阶微分方程：可分离变量, 齐次方程,线性方程等.二阶微分方程:null微分方程的稳定性理论 :一、一阶方程的平衡点及稳定性(自治系统)null判断方法：1.求解原方程用定义判断 2.当原方程不易求解时将f(x)在x0作Taylor展开，只取一次项，即方程（1）近似为null二、二阶微分方程的平衡点及稳定性二阶微分方程一般可化为两个一阶方程表示则平衡点是稳定的，否则不稳定。null线性常系数方程原点是其唯一的平衡点，其稳定性由（4）的特征方程的根决定null若p>0,q>0则平衡点稳定若p<0,q<0则平衡点不稳定微分方程的稳定性理论将平衡点分为节点、焦点、鞍点、中心等类型，这完全取决于p,q 的值。对于一般的非线性方程（3），可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性。而对于任意高阶的微分方程都可以化为一阶微分方程组来处理。模型一：交通管理中的黄灯问题模型一：交通管理中的黄灯问题 ◆问题的提出：十字路口亮红灯之前要亮一段时间的黄灯，这是为了让正在行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则，那么，黄灯应当亮多久才比较合适？ ◆问题的分析： I. 根据法定速度v求出停车线的位置 II 根据停车线位置和v确定黄灯该亮多久 ◆模型假设及构造求解： ◆模型假设及构造求解：假设驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间t1（据统计数据可假设为1秒），刹车后需行驶一段距离称刹车距离，使机动车减速的摩擦力系数为f,汽车质量m,刹车制动力为fmg。由牛顿第二定律，有 null刹车时间刹车距离从而停车线到路口的距离为等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。黄灯时间的计算黄灯时间的计算记街道的宽度为D,平均车身长度为H，这些车辆应通过的路程最长可达到L+D+H,因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应为 null模型二：国民经济的增长问题的提出：消费资金国民收入主要用于投入再生产的积累资金共设施开支讨论国民收入与这三者之间的关系null模型假设： 1）记 Y(t)——t时刻的生产水平（国民收入平） C(t)——t时刻的消费水平 G——用于公共设施的开支水平 I(t)——t时刻用于投资再生产的投资水平2）设消费水平与生产水平成正比 C=kY, 0r，则结果相反。只要捕捞适度（Er）时，鱼量将减至x1=0,从而谈不上获得持续产量。下面讨论当渔场鱼量稳定在x0的前提下，如何控制捕捞强度E使得持续产量最大的问题，用图解法nullnull 由图易知当y=Ex和y=f(x)在抛物线顶点p*相交时，h达到最大hm,此时平衡点为 x0*=N/2 单位时间的最大持续产量为 hm=rN/4 进而可得 E*=r/2 综上，得到产量模型的结论是当捕捞强度控制在 E*或者说渔场鱼量保持在最大鱼量N的一半时，可以获得最大的持续产量。 null二、效益模型模型假设：设鱼的销售单价为 P 单位捕捞强度的费用为 C 则单位时间的收入 T=Ph(x)=PEx 单位时间的支出S=CE模型构造与分析：单位时间的利润为 R=T-S=PEx-CE 在稳定条件x=x0 R(E)=T(E)-S(E)=PNE(1-E/r)-CE null令R’E(E)=0,得出使R(E)达到最大的捕捞强度为进而可得最大利润下的渔场稳定量及单位时间的持续产量null与产量模型中的各指标相比较可得出在最大效益原则下 i）捕捞强度E和持续产量均有所减少，稳定鱼量 x0有所增加. ii）减少和增加的比例随捕捞成本C的增大而变大，随销售价格P的增长而变小。null三、捕捞过度模型令R(E)=0,得其解当E0,盲目经营者会加大捕捞强度当E0，由上式知P>C/N,且有成本越低，售价越高， Es越大，进而得到盲目捕捞下渔场稳定鱼量为 Xs=C/Pnull Xs完全由成本、价格比决定，随着价格的上升和成本的下降，Xs将迅速减少，出现捕捞过度，比较可得 Es=2ER 即盲目捕捞强度比最大效益下捕捞强度大一倍。 nullLeslie模型：以上所讲的捕鱼模型都是简化了的模型，在实际捕鱼中，则需考虑到鱼的年龄、产卵、孵化等因素。Leslie模型能普遍适用于动物种群的增长问题，如人口增长问题等。为简化讨论，只考虑两性种群中的雌性。null1.年龄分段设在某种群中，任一雌性最大可达年龄为L年，从而把种群雌性分为n个年龄类，每类跨越的年龄均为L/n年。年龄类年龄区间 1 ( 0,L/n ] 2 (L/n,2L/n] . . . . . . n ((n-1)L/n,L]null2.观察时间离散化隔若干时间观察一次种群，且观察的时间间隔的长度和年龄分类区间的长度一致，即 t0=0 , t1=L/n , …. , tk=kL/n 记在时刻tk观察时第i类的数目是xi(k),i=1,2,…n，则在没有死亡者时，有xi+1(k+1)=xi(k),即tk+1时刻观察到的第i+1类种群的数目应等于tk时刻观察到的第I 类种群的数目。记Xk=(x1k,x2k,…,xnk)T为在时刻tk的年龄分布向量，X0表示初始年龄分布。null3.状态的转移由于出生、死亡和成熟（进入下一阶段），观察的n类的数目将不断变化记 ai—〉第i类中一个雌性生雌性的平均数 i=1,2,…,n bi—〉第i类中一个雌性能活着并变成第i+1类的平均数i=1,2,…,n-1ai≥0, 00，否则没有出生过程。null（1）对于ai>0的年龄类称为能生育年龄类，则在tk第1类中雌性数目等于在tk-1~tk间各类雌性生雌性的数目之和，即（2）时刻tk第i+1类中雌性的数目就是在时刻tk-1 第i类雌性中活到时刻tk的数目，即null根据（1），（2）利用矩阵可表示为简记为其中L即称为Leslie模型null4.Leslie矩阵分析通过分析Leslie矩阵的特征值和特征向量以及相关定理，进而得到种群分布的长期性态。

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