分块矩阵的应用2

在复数域上，关于分块矩阵及其初等变换的研究已 有深刻的结果，但对于高职高专的学生，这部分的 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 介 绍不多。本人在文献[1]中研究了四分块矩阵在特殊情形下 的行列式，为了更全面地了解分块矩阵，本文将继续给出 分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及证明矩阵秩的不等式 上的应用，以开拓学生的思维，从而培养创新能力。 一、利用矩阵分块的方法计算行列式 定理1 设M=ABCD! "是一个四分块n阶矩阵，其中 A、B、C、D分别是r×r，r×（ n-r)、（ n-r）×r、（ n-r）×（ n-r）、阶矩 阵， （ 1）、若A可逆，则 M=A D-CA -1 B. （ 2）、若D可逆，则 M=D A-BD -1 C. 证明：（ 1）、因为 E O -CA -1 E! "ABCD! "E-A -1 B 0 E! " = A 0 0 D-CA -1 B ! "，两边同时取行列 式，有 M=ABCD! "=A 00 D-CA-1B! "=A D-CA-1B. （ 2）、又因为 E -BD -1 0 E! "ABCD! " E O-D-1C E! " =A-BD -1C O 0 D! "， 则 M=ABCD! "=A-BD -1C O 0 D! "=D A-BD-1C。 定理2 设M=ABCD! "是一个四分块n阶矩阵，其中 A、B、C、D分别是r×r，（ n-r）×（ n-r）、（ n-r）×r阶矩阵， （ 1）、若C可逆，则 （ 2）、若B可逆，则 证明：（ 1）因为 Er-AC -1 0 En-r ! "ABCD! "=0 B-AC -1D C D! "， 两边取行列式，得 M=ABCD! "=0 B-AC -1D C D! " =（ -1） r×(n-r) C B-AC-1D; （ 2）、若B可逆，由 ABCD! " En-r 0-B-1A Er! " = 0 BC-DB-1A D! ",得 AB CD = 0 B C-DB-1A D（ -1） (n-r)×r B C-DB-1A。 利用这两个定理，在有些情况下计算行列式显得很方便。 例1：计算行列式 解：M是一个n+1阶行列式。先对矩阵M进行如下分 块。令A=[1 1 ⋯ 1 1]，B=a0， , 分块矩阵的应用 严坤妹 （ 福建商业高等专科学校，福建福州，350012） 摘要:分块矩阵在线性代数中是一个基本工具,研究许多问题都要用到它。本文借助分块矩阵的初等变换探 讨了分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵的秩方面的应用。 关键词:行列式;逆矩阵;矩阵的秩;分块矩阵;应用 中图分类号:O151.21 文献标识码:A 文意编号:1008-7346(2006)05-0071-03 收稿日期:2006-08-30 作者简介:严坤妹(1966-),女,福建莆田人,福建商业高等专科学校基础部讲师。 ��( 1) .��M C B AC D× − −= − − ��( 1) .��M B C DB A× − −= − − 0 1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n n a a a M a a − = � � � � � � � � � � � � � 0 0 0 1 0 0 0 1 , 0 0 0 1 0 0 0 1 a a C D a a −             = =            � � � � � � � � � � 2006年第5期 总第59期 JournalofFujianRadio& TV University No.5,2006 General,No.59 福建广播电视大学学报 71 因为 所以当a1a2⋯an-1an≠0时， C可逆， 且 由定理2可得： 二、利用矩阵分块的方法求逆矩阵 定理1、设P=ABCD" #是一个四分块方阵，其中B为r阶 方阵，C为k阶方阵，当B与(C-DB-1A)都是可逆矩阵时，则P 是可逆矩阵，并且 。 特例：（ 1）、当A=0，D=0，B与C都可逆时，有P-1=0 C -1 B-1 0" $. （2）、当A=0，D≠0，B与C都可逆时，有P-1=-C -1DB-1 C-1 B-1 0% $. (3)当A≠0，D=0，B与C都可逆时，有P-1= 0 C -1 B-1 -B-1AC-1" $ 证明：设P可逆，且P-1= X YZ W" $，其中Y为k阶方阵，Z 为r阶的方阵。则应有P-1P=X YZ W" $A BC D" $=E,即 XA+YC XB+YD ZA+WC ZB+WD" $=Ek 00 Er" $, 于是得到下面等式 XA+YC=Ek (1) XB+YD=0 (2) ZA+WC=0 (3) ZB+WD=Er (4) & ( (( ’ ( (( ) 因为B可逆，用B-1右乘（ 2）式可得X=-YDB-1，代入（ 1）式得 Y-(C-DB-1A-1),则X=-（ C-DB-1A）-1DB-1. 用B-1右乘（ 4）式可得 Z=(Er-WD)B-1=B-1-WDB-1，代入(3)式得W=-B-1A(C-DB-1A)-1， 则 可得Z=B-1+B-1A（ C-DB-1A）-1DB-1. 所以P-1=X YZ W% # -(C-DB -1A)-1DB-1 (C-DB-1A)-1 B-1+B-1A(C-DB-1A)-1DB-1 -B-1A(C-DB-1A)-1% #。 定理2、 设Q=ABCD% #是一个四分块方阵，其中A为r 阶方阵，D为k阶方阵，当A与(D-CA-1B)都是可逆矩阵时，则 Q是可逆矩阵，并且 Q-1=ABCD% #-1 =A -1+A-1B(D-CA-1B)-1CA-1 -A-1B(D-CA-1B)-1 -(D-CA-1B)-1CA-1 (D-CA-1B)-1% # 特例：（ 1）、当B=0，C=0，A与D都可逆时，有Q-1=A -1 0 0 D-1% #. （ 2）、当C=0，B≠0，A与D都可逆时，有Q-1=A -1 -A-1BD-1 0 D-1% #. (3)、当C≠0，B=0，A与D都可逆时，有Q-1= A -1 0 -D-1CA-1 D-1% #。 此结论的证明参考定理1。 ��� �� ( 1) ,C a a a a− − = − � � � � � � � � 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 a a C a a − − − − − −     =      � � � � � � � � � [ ]��� ��� � � � � � �� � � � � ���� ����� ( 1) 10 0 0 10 0 0 ( 1) ( 1) . 1 1 1 1 10 0 0 10 0 0 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) M C B AC D a a aa a an a a aa a a a a a an − + + − − − − − − − − − − − = − −         = − − −                = − − ⋅       = − � � � � �� � � � � � � � � � �� ��� ��� ���� � �� [ ( )] ( 1) ( ). 1 aa a a a a an n n aa a a an i i + − − − − − + + + = − − = ∑ � � � ( ) ( ) ( ) ( ) C DB A DB C DB A P B B A C DB A DB B A C DB A − − − − − − − − − − − − − −  − − − =   + − − −  3 7 4 1 0 2 5 9 0 1 2 ,.. .0 0 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 6 0 0 1 0 0 3 7 4 1 0 .., .., 0 0 .., 0 4 0 . 2 5 9 0 1 0 0 0 0 6 1 0 0 5 7 1 ., 0 0 2 3 4 10 0 6 M M A B C D A D − − − −   − − −  = −    −  −    −        = = = =        − − −        −      −     = =   − −   −  ��� � ��� �� ��� ., 1 0 0 5 7435 7 4 1 0 1 4 6 . . 0 0 . 2 3 9 0 1 1 14 191 2 20 0 6 2 5 75 7 43 4 6 1 12 3 19 2 2 0 0 1 0 0 10 0 0 0 4 10 0 0 0 6 A BD A A BD M O D − − − − − − −    −   − −    −      − = − =        − − −      −      −    − −    − − −  −   = = −          −  ��� ��� ..  福建广播电视大学学报(总第59期） 2006年10月25日 72 0 0 0 1 2 0 0 0 3 5 3 .4 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 1 2 .., .., 0 2 0 .., 0 0 . 0 0 0 3 5 0 3 4 0 0 1 0 0 4 5 2 1 .., 0 0 ., 3 1 2 3 10 8 4 1 M A B C D B C M − − −     =                 = = = =                      −    = =    −     −   ����� ���� �� �� ��� 10 0 0 0 4 10 0 0 0 2 ..3 10 0 0 8 4 5 2 0 0 0 3 1 0 0 0 O C B O − −        = =       −   −  −   三、利用分块矩阵证明矩阵秩的不等式 定理 设M=A0CB! "，A为m×n矩阵，B为k×l矩阵，则 有r(M)≥r(A)+r(B). 且当C=0时,r(M)=rA0CB! "=r(A)+r(B)， 利用这个定理及初等变换可证明一些秩的不等式 命题1：设A，B都是m×n矩阵，则r(A+B)≤r(A)+r(B). 证明：因为r(A)+r(B)=rA 00 B! "=rA BC B! " =rA A+B0 B! "≥r(A+B). 命题2：设A为m×n矩阵，B为n×l矩阵，若AB=0， 则r(A)+r(B)≤n. 证明:因为 r(A)+r(B)=rA00B! "≤rA 0-En B! "=r0 AB-En B! " =r0 0-En B ! "=r0 0-En 0! "=n 所以r(A)+r(B)≤n. 命题3: 设A、B、C、D分别为m×n，n×l,l×s,s×t矩阵,则 r(ABCD)≥r(ABC)+r(BCD)-r(BC). 证明：因为r(ABC)+r(BCD) =rABC 00 BCD! "≤rABC 0BC BCD! "， 因为rABC 0BC BCD! "=r0 -ABCDBC BCD! " =r0 -ABCDBC 0! " =r-ABCD 00 BC! "， 所以rABC 0BC BCD! "=r-ABCD 00 BC! " =r(-ABCD)+r(BC)=r(ABCD)+r(BC) 即r(ABC)+r(BCD)≤r(ABCD)+r(BC)， 于是r(ABCD)≥r(ABC)+r(BCD)-r(BC).证毕。 命题4 设A、B、C为n阶矩阵，且r(C)=n,A(BA+C)=0, 则r(A)+r(BA+C)=n. 证明：因为r(A)+r(BA+C)=rA 00 BA+C! " =rA A0 BA+C! " =r A A-BA C! "≥r(C)=n, 又因为A(BA+C)=0,由命题2知r(A)+r(BA+C)≤n， 所以有r(A)+r(BA+C)=n.得证。 综上所述可知,利用分块矩阵及初等变换证明矩阵的 秩的不等式,计算行列式,求逆矩阵时,思路很清晰,充分体 现了分块矩阵的优越性. 参考文献: [1]严坤妹.分块矩阵的行列式的恒等式[J].福建商业高 等专科学校学报,2005,(3). [2]陈大新编.矩阵理论[M].上海:上海交通大学出版社, 1997. 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