中学数学解题的理论建设与实践体验

数学解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的基本定位与理论建设 解题教学是解题活动的教学 陕西师范大学数学系 罗增儒 邮编 710062 电话 029-85308872 13609297766 Emil：zrluo@snnu．edu．cn 1 什么叫数学题 1-1 数学题的基本含义 给数学题作出一个严格的界定是一件困难的事情，我们就把数学上回答起来有困难需要解决的事情作为数学题的宽松界定． 数学题(简称题)是指数学上要求回答或解释的事情，需要研究或解决的矛盾．其之所以成为数学题（而不是语文题、化学题等）还因为它须运用（或构建）数学概念、理论、方法等数学内容才能解决． 对数学家而言，仅当命题的真假未被判定时才成为问题，如“哥德巴赫猜想”，而一旦解决了就称为“定理”(公式)，不成为问题了．这更多地体现了“需要研究或解决的矛盾”． 在数学教学中，则把结论已知的命题也称为题，因为它对学生而言，与数学家所面临的问题，情景是相似的、性质是相同的，这时候的数学题是指：为了实现教学目标而要求师生们解答的题目，重点在“要求回答或解释的事情”上．内容包括一个待进行的运算、一个待推理的证明、一个待完成的作图、一个待建立的概念、一个待论证的定理、一个待解决的实际问题等．呈现方式有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的作业、测验、考试以及师生共同进行的探究性、研究性课题等． 1-2 数学题的深入理解 数学题的标准形式包括两个最基本的要素：条件与结论，条件是问题解决的起点，结论是问题解决的目标，问题的关键在于，达到目标相对于问题解决者来说存在一定的障碍．因此，问题具有目标性，障碍性和相对性，问题的实质是：从初始状态到目标状态之间的障碍，由现有水平到客观需要之间的矛盾（图1）． 图1 在问题情景中，“未知的”一方面像空着的位置，需要加以填充，另一方面又由“已知的”客观决定着，构成“已隐蔽地确定”与“未明显地给出”的统一．解题的思维活动，正是从已明确地给予的、已知的东西出发，去发现隐蔽存在的、待求解（证）的结论．这是一个积极而生动的发现过程、创造过程． 在数学教学中，出于巩固知识内容和熟练常规思路的目的，大多使用结构良好的封闭题，其内容是熟知的，形式是标准的，方法是现成的，答案是确定的，条件恰好不多不少．学生通过对教材的模仿和操作性练习，基本上就能完成．题目的挑战性不是没有，而是还不算很强，这类题目可以称为常规“练习题”． 作为数学教育口号的“问题解决”，对问题的障碍性和探究性都提出了较高的要求，倡导情境、开放和非常规．1988年第6届国际数学教育大会的一份 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 指出：“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境．”这类题目可以称为“问题”．而“问题解决”则是指：综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题． 日常教学既需要常规“练习题”又需要启发创新精神的“问题”．下面是几个“好问题”的例子． 例1　如图2，表示某人从家出发任一时刻到家的距离 与时间 之间的关系，请根据图象编一个故事． 讲解1 从上一世纪九十年代开始，经多年、多地、多次测 试，同学们（包括初中、高中和大学）说的故事很多，但抽象出来的运动特征基本上都是： ●在 上匀速直线运动； ●在 上静止； ●在 上匀速直线运动． 图2 这里的认识封闭在于，面临“到一定点的距离为定长”的数学情景时，只想到静止、想不到运动（圆周运动），数与形的双向流动不够通畅．从知识上看，可能还有“距离”与“路程”的混淆：随着时间的推移而路程不变，当然是静止，但随着时间的推移而距离不变，则可能是静止也可能是运动．（封闭1） 值得注意的是，当进一步问会有多少种运动方式时，对“静止或运动”也存在认识封闭现象，普遍没有考虑到在圆周上既可以运动又可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以另路返回．（封闭2） 讲解2 这是一个体现问题解决的“好问题”，接受性，障碍性，探究性，情景性，开放性全都体现了： （1）自然涉及“圆”的概念和逻辑“或”，触及“明确知识的认识封闭现象”，并且有明显的3个层次． ①一种情况：在 上静止．有静无动，能背熟圆的定义，面临圆的情景时看不见圆． ②两种情况：看到 静止时全静止，看到 运动时全运动．有进无退，逻辑“或”对 的全程． ③无数种情况：看到 静止或圆周运动，可以前进也可以后退，有静有动，有进有退；逻辑“或”对 的每一点． （2）考察了数学的核心知识——函数，广泛涉及： ①函数的概念，包括定义域、值域、对应关系． ②函数的表示方法，突出了一次函数的解析式与图象这两种表示法． ③一次函数的增减性与图象形状的关系． ④通过生活情景和图象很自然的出现分段定义函数． ⑤可考察学生分析实际情景，认识函数变化规律的基本能力． （3）设计为开放题． ①需要将一次函数的图象和性质赋予实际意义，而学生根据自己的生活体验和对数学知识的理解，编拟出来的实际情节将是不惟一的． ②每个学生都可以回答问题，但不同的水平到达不同的层次． 例2 “糖水加糖变甜了”（糖水未饱和），请以这一生活常识为背景提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明． 讲解 这是一个好问题： （1）来源于日常生活中再简单不过的常识（托儿所小孩子都知道的生活现象），沟通生活与数学的联系非常自然．但是，“糖水”里有数学吗？能提炼出数学命题吗？能提炼出什么数学命题呢？如此等等，思维的齿轮启动了，趣味性、启发性与探究性都有了． （2）含有“真分数不等式”的必要因素与必要形式，提供了一个简单而又典型的“数学建模”过程： ●怎样进行“变甜、变淡”状态的数学描述——用不等式； ●怎样进行“甜、淡”本身的数学描述——用浓度； ●怎样进行“加糖”的数学描述——分子、分母同时加一个正数． 这就得到：若 ， ，则 ． （3）可以有分析法、综合法、反证法、放缩法，构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等10多种证明方法，非常典型． （4）情境本身有很大的拓展空间： ①将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同．由这一情境可得等比定理： ． ②将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡．这又是托儿所小孩都知道的事实，但这里有“中间不等式”的必要因素与必要形式：对 ， ，有 ． ③取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大呢？这已经是一个有挑战性的问题了，需比较 与 的大小，而这两者的关系是不确定的． 例3 （作图表示） （ ）． 不存在　　　　　 （2010江西理科4题5分） 讲解 （1）没有学过极限，我先来解释一下 ，（线段、面积） 对3长的线段三等分，取一份；对取出的1长线段三等分，取一份；对取出的 长线段三等分，取一份；……如此类推，对取出的线段越来越小，无限接近于0（参见图3）． …… 　　 图3　　　　　　　　　　　　　　　　 对应为数列： 当 增大时， 接近于0； 当 越来越大时， 越来越接近于0； 当 很大很大时， 很接近很接近于0； 当 很大很大很大时， 很接近很接近很接近于0； …… 当 无限增大时， 无限接近于0． 这一段板书，配上不断加重语气的解说，将有助于理解 的本质．“很接近”是一个特征但还不是本质，无限接近才是．那么怎样来讲授无限呢？这里是用多次重复来暗示“无限”，是用语言夸张来提示“无限”；省略号的地方既是停顿更是联想（此时无声胜有声），让学生的思维按照上面步步加强的暗示和提示去相信并接受“无限”． 数学上用两个不等式来反映两个无穷过程： ——无限增大的量化刻画， ——无限接近的量化刻画． 这样，无限变化就可以进行运算了． （2）你能类比猜想： 图3中，当中间的线段趋向于0时，两边的线段之和都趋向于 ，应是 （3）找出 的一个几何解释． 如图4， 的矩形中每个小矩形的面积为1．，将其三等分，左右各放一等分，留下中间的小矩形（实现求和的第1项）；将中间小矩形三等分，左右各放一等分，留下中间的小矩形（实现求和的第2项）；……如此类推，则中间留下的部分面积趋于0，而左右两边小矩形面积之和趋于 ． 图4 （4）再找出一个几何解释．（能找出就真明白了） 　　这两个直观演示有两个特点： 特点１　能同时演示两个无穷过程，其一是通项趋向于0： ，其二是部分和趋向于 ．即 ． 特点２　将无穷的过程始终置于我们视野之内的有限图形之中，看得清楚，听得明白，直观、显浅． 例4 阅读下述事实，先给出数学解释，然后对自身的解题活动写一篇认知分析小论文． （1）事实：网上发布了“明天的气温是今天气温2倍”的信息，各地有不同的反应： ●一位南方的网友作出的第一反应是：“明天升温了”； ●一位北方的网友作出的第一反应是：“明天降温了”； ●另一位北方的网友作出的第一反应是：“明天的气温没有变化”． 请从数学上解释为什么会有不同的反应． （2）认知分析小论文：在上述数学活动中，无论你作出了何种解释，你一定都进行了认真的数学思考，并积累起数学活动经验．请把你做了什么、怎样做的、做得怎么样等进行自觉的反思与理论的小结，然后写成不少于600字的教育叙事，充分展示你的数学功底和教育理论修养．（2009年本科师范生选修课 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 ） 讲解 这个问题的数学背景是实数的三岐性．设今天的气温为 ，则明天的气温为 ，将两天的气温作比较，有 所以，位于不同环境的人作出了不同的反应． 学生在写作小论文时谈到了： ● 网友获得的不仅仅是“明天的气温是今天气温2倍”，人对输入的信息总是以已有知识经验为基础，对信息进行主动选择、推理、判断，从而建构起关于事物及其过程的表征．（建构主义） ●体现了数学与生活的联系． ●体现了环境与认知的关系． ●数学建模、“数感”的培养等． 例5 麻雀会数数吗？ 讲解 这是一个问题，谁来回答？要由数学界来回答.怎样回答？做实验. 窑洞里放着麦粒，一群麻雀飞进去吃．有1个人进去，麻雀“呼”的飞出来了，落在窑洞门口的桐树上，人不出来它们不进去，人一出来它们就飞进去，这说明麻雀会数“数1”；有2个人进去，麻雀“呼”的又飞出来，落在窑洞门口的桐树上，人不出来它们不进去，1个人出来它们还不进去，2个人出来它们就飞进去了，这说明麻雀会数“数2”；4个人进去，麻雀“呼”的飞出来，落在窑洞门口的桐树上，第1个人出来它们不进去，第2个人出来它们还不进去，第3人一出来它们就飞进去，看见里面有人“呼”的又飞出来了，这说明麻雀对“3以上”的数已经数不清楚了． 这已经是数学教育研究了，用人代表数字，用麻雀的行为来显示会不会数数．麻雀对人的到来必然会作出反应，那么不同的数量会不会作出不同的反应呢？结论是：麻雀会数“数1，2”（对1，2个人作出合理反应），但不会数“3以上”的数（对3以上个人作不出合理反应）．这种情况与原始人对数字的认识类似． 这几个小例子已经从单纯解答老师的题转变到也自己提出问题，已经从单纯获得结果转变到兼而经历过程，已经从形式化习题的形式化解法转变到也提供合理解释，已经从单纯算答案转变到也写教育叙事．而对这几个数学题的讲解亦已经涉及到数学解题了． 2 什么叫解题 2-1 数学解题的基本含义 解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案．这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题的解的活动．小至一个学生算出作业的答案，一个教师讲完概念的构建与定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论，一个数学技术应用于实际、构建出适当的模型等，都叫做解题． 这种界定很好理解，但只是对解题作了形式上的描述，而对数学解题的实际过程或思维实质缺少揭示．出于对解题的过程与性质的不同认识，人们还对解题谈了很多更具实质性的看法． 2-2 数学解题的多维理解 （1）常规的数学题包括两个要素：条件与结论．解题就是沟通条件与结论之间的联系（论证），又包括解和解题依据（论据），因此解题一共有4个要素：①条件，②结论，③解（沟通条件与结论的联系），④解题依据． （2）解题就是将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程． （3）解题是一种心理活动，即面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理办法的一种心理活动． （4）波利亚说：解题就是“解决问题”，即求出问题的答案．“掌握数学就是意味着善于解题”．波利亚的《怎样解题表》把解题分解为4个步骤：弄清问题，拟定 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 ，实现计划，回顾． （5）如果把解题看成是问题解决的一项工作，那么，我们可以从问题解决的角度来认识什么叫解题:问题解决是一种心理活动;问题解决是一个过程;问题解决是一个目的;问题解决是一种能力． （5）唐以荣教授认为解题的规律是连续化简：指在合乎逻辑的前提下，连续地把原题转化为比较容易的题目，一直到所得的新题目已经成为一项基础知识为止． 待解题 中继题 …… 基本题 （6）弗里德曼认为：解数学题，这就是要找到一种一般数学原理的序列 ，把这些原理用于习题的条件 或者条件的推论 ，得到习题所要的东西 ，即习题的答案： （7）如图5所示，数学解题就是解题者在数学思想方法的指导下，运用数学基础知识和数学基本技能分析问题、解决问题的过程．它是促使学生熟练掌握基础知识、基本技能、基本方法，积累基本经验，发展智力，特别是数学思维能力，培养良好的心理品质的重要手 段． 　 图5 （8）解题是这样一个三位一体的工作：有用捕捉、有关提取、有效组合．这三个步骤往复循环、依信息的反馈而由大脑来调节． （9）解题就是消除目标差的过程．如果我们把系统的现状与系统运动要达到的目标之间的差异称为目标差，那么，解题的本质就在于设计一个目标差不断减少的过程．即通过系统不断地控制后果与目标作比较，使得目标差在一次又一次的控制中慢慢减少，最终达到解题的目的． （10）在解题坐标系上，解题是连结条件与结论间的一条折线．（参见图6） 图6 （11）解题的心理机制是这样一个扩散——激活的过程：在问题的条件及结论的启发下，激活记忆网络中的一些 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ，然后沿接线向外扩散，依次激活新的有关知识，同时，要对被激活的知识进行筛选、组织、评价、再认识和转换，使之协调起来，直到条件与结论之间的线索接通，建立起逻辑演绎关系．（参见图6）． 这些看法，在下面的展开中都会（或重或轻）有所体现，读者可以参照某个（些）看法指导解题，并最终形成自己的解题观点． 2-3 数学解题在数学教育中的重要性 解题能力是数学职业的核心竞争力，是数学教师的专业制高点．波利亚说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，数学解题在数学学习中至少三个无以替代的重要性． （1）数学解题是数学学习中不可或缺的核心内容，数学解题的思维实质是发生数学 解题是一种认识活动，是对概念、定理的继续学习，是对方法的继续熟练，而不仅仅是“规则的简单重复”或“操作的生硬执行”．寻找解题思路的过程就是寻找条件知识与结论知识之间逻辑联系或转化轨迹的过程，在这个过程中，我们激活知识、检索知识、提取知识、组织知识，使解题与发展同行． ●当解题由一个步骤推进到另一个步骤时，其实就是知识点之间的联系与生成； ●当解题由一个关系结构对应到另一个关系结构时（比如由形到数、或由数到形），其实就是关系结构之间的联系与生成； ●当解题并列着多个解法时，其实就意味着产生不同解法的知识点之间存在逻辑联系或对应关系． 如果说数学教育包含着数学与教育的话，那么数学学习中真正发生数学的地方都一无例外地充满着数学解题活动．如上所说，概念的抽象概括、定理的发现证明、习题的探究解答、数学的实际应用等等，都是在解题．尚未出现解题的数学学习总给人一种尚未深入到实质或尚未进入到高潮的感觉：人们会问，这是数学吗? 这是在学数学吗?再说了，我们的青少年需要那种缺少数学概念、缺少数学定理、缺少数学习题、缺少数学应用的数学吗？ 把解题仅仅理解为“形式化习题的推理演算”，既缩小了“数学问题”的外延，又缩小了“数学解题”的外延．这是一种认识的自我封闭和解题功能的自我削弱．在例1中根据图象编一个故事是在解题，在例2中由“糖水加糖变甜了”提炼出一个数学命题也是在解题，在例3中提供极限的直观图景是在解题，在例4中给生活现象提出解释还是在解题．认为“概念的抽象概括、定理的发现证明”不算解题，实在是一种数学无知！ （2）数学解题是数学学习中不可替代的实质活动，解题活动的核心价值是掌握数学 　　如果说学生的数学活动可以有多种形式的话，那么解题就是一种最贴近数学思维的实质性活动．概念的生成、定理的理解、技能的熟练、方法的掌握、能力的发展、数学语言的熟悉、数学思想的领悟、数学观点的培养、数学意识的形成、数学文化的积淀等等，都离不开解题实践活动．没有勤奋而得法的解题训练，谈不上掌握数学！解题活动是掌握数学、学会 “数学地思维”的关键途径． 是的，“解题不等于数学”，“数学不仅仅是解题”，我们还应该有解题之外的更多数学活动，甚至还应该有更远大、更人文的数学目标需要追求，然而，谁要是由此隐喻：“疏于解题也能学好数学”、“不深入数学也能领会数学精神”的话，那谁也就是在误解数学、离开数学，始作俑者是给数学来个“斧底抽薪”． 对于掌握数学来说，解题不是万能的，但离开解题是万万不能的． （3）数学解题是评价数学能力时不可削弱的主体构成，解题测试的基本理念是呈现数学 “通过解题水平来看数学思维水平”由来已久，尽管不应视为唯一的方法，也是当前用得最多、操作最方便、公众认可度最高的重要方法．课堂内容的掌握情况，主要通过包括解题在内的练习、作业和考试来捡测；学业水平、升学选拔、能力竞赛等，基本上都通过解题来评定；测试量表、对话访谈、论文答辩等评价形式亦离不开解题．大量的事实表明（包括高考），“解题水平”与“数学思维水平”之间存在中度正相关． 如果说当前的很多解题测试还存在“重知识、轻能力”的弊端的话，那也不是因为用了“解题测试”这种方式，而是如何用好这种方式的问题．是的，数学工作者中有“解题能力强而数学成就不大”的，但没有“数学成就大而解题能力不强”的，这也主要不是“解题测试”的毛病，而是：“数学成就大”只能是“解题能力强”的子集． 3 解题教学的案例分析 案例1——突发事件的处理． 教师进行解题教学，讲解： 题目 已知 ，请讨论 与 有哪些可能的关系． 教师：集合 中的元素 ，加上括号{ }之后， 表示一个集合． 因而 与 是两个集合之间的关系：（1）如果 是单元素集合，则 = ；（2）如果 是多元素集合，则 ．在这个问题上最容易出错的是得出第三个关系： ，把两个集合之间的关系混为元素与集合的关系． 这时，有一个学生提出，如果 ，那么第三个关系 也是成立的…（阅读到此结束，下面回答问题） （1）如果你就是现场教师，你会如何处理这个突发事件？ （2）说出你这样处理的理论依据． （2007年陕西师范大学课程与教学论（数学）硕士招生考试题） （学生的情况） ●肯定学生，坦言教师考虑不周． ●推迟判断，组织讨论． ●中学范围暂不考虑． ●表扬学生，但学生是错的， 是假命题． ●陷阱，故意说错，考验你们看不看得出来． 案例2——认识局限的处理． 这是发生在数学课堂上的一个案例：教师请同学们在同一坐标系上，作出 时函数 与 的图象（草图）；完成后，教师请同学们回答，方程组 （F） （ ） 有几个解？ 图7 同学们作出了图7， 异口同声回答：方程组（F）有且只有1个解． 教师没有肯定也没有否定，只是布置了一道数学题（见数学问题），让同学们独立解答之后，再继续这个问题的讨论． …… 数学问题．题目 已知 ， 为正整数． （1）求证 ； （2）若点 在指数函数 （ ）的图象上，则对同一个 ，点 也在对数函数 的图象上． （阅读至此完毕，下面转入解答问题） 1．求解案例叙述中的数学问题； 2．根据课堂活动和你对数学问题的求解，自选角度写出案例分析． （2007年陕西师大课程与教学论（数学）博士招生考试题） 解 （1）由已知有 得 （2）由上证 ，有 ． 又由点 在指数函数 的图象上，有 按定义 ． 这表明，对同一个 ，点 在对数函数 上．显然 ，因而点 是方程组（F）的1个解，但不在 上．由对称性知 也是方程组（F）的1个解．（可以证明这时方程组恰有3个解）．比如 时（相当于方程 ），除了 的解外，还有 ，这3个解靠徒手画图是不容易显示出来的． 要求： （1）条理清楚，结构完整，内容能从数学和教学两方面作出分析． （2）数学方面的分析，能指出学生粗糙的直观有误，所求解的数学题构成了反例；在此基础上，有数形结合的理论分析． （3）教学方面的分析，能从教学理念、教学设计、教学方法等方面提炼出本案例的二、三个特点． 案例3——解题教学的示例． 题目 若实数 满足 ，则 的取值范围为　　．（2010，10，新疆） 第一、解题思路的探求（扩元） 解法1 设 ，有 ，与 联立，消去 ，得关于 的二次方程 ． ① 由 为实数，有判别式非负 　　　　　 ， 即 ， 解得　　　 ． ② 得 的取值范围为 ． 解法2 设 ，有 ，与 联立，消去 ，得关于 的二次方程 ． ③ 由 为实数，有判别式非负 　　　　　 ， 解得　　　　 ． ④ 　得 的取值范围为 ． 第二、解题过程的第一次反思． （1） 的取值范围 中是包括0的，当 时能肯定①、③必定为二次方程吗？ （2）你怎么知道②、④中的 能够取到 呢？方程①中的 不能取全体实数，判别式能否取等号要不要验证？ （3）消去 与消去 哪个稍好一些？ 学生看出消去 稍好一些，让学生在原解答的基础上修订解答． 解法3 （解法1的修订）设 ，当 时，易知 ， ，此时点 满足题设条件． 当 时，让 与 联立，消去 ，得关于 的二次方程 ． ⑤ 由 为实数，有 　　　　　 ， 即 解得　　　 ． ⑥ 　　当 时，相应的 合并⑤、⑥得 的取值范围为 ． 解法4 （解法2的修订）设 ，当 时，易知 ， ，此时点 满足题设条件． 当 时，让 与 联立，消去 ，得关于 的二次方程 ． ⑦ 由 为实数，有 　　　　　 ， 解得　　　　 ． ⑧ 　　当 时，相应的 合并⑦、⑧得 的取值范围为 ． 第三、解题过程的第二次反思． 解法4完善了解法2，但还有反思的余地： （1） ， 既讨论又合并，有无多余的思维回路？ （2）除了引进 还有什么思路？ 注意到，判别式与配方法是相通的，改用配方法可以避开讨论．请看：由求根公式 ， 只需 ， ⑨ 只需 ， 只需 ， 只需方程两边乘以4a ． 这时，式⑨揭示了判别式 的实质，它是一个完全平方式 ，并且在方程的观点之下它是配方的结果，因而就具有配方法与实数平方的双重功能． 解法5 （配方法）设 ，与 联立，消去 ，得 ， 两边乘以 后，配方 ， 有 ， ⑩ 得 ． 当 时，由⑩知 ，从而 ；当 时，由⑩知 ，从而 ．所以 的取值范围为 ． 第四、解题过程的第三次反思． 以上引进 是扩元，这道题只有扩元的思路吗？否定扩元，可以保元也可以消元．先说消元，可以消去 也可以消去 ，消去 好一些． 解法6 把 代入 ，有 ， 当 时取等号，得 的取值范围为 ． 解法7 把 代入 ，有 ， 当 时取等号，得 的取值范围为 ． 还有一个不易想到的消元见解法10． 第五、解题过程的第四次反思． （1） 做分母，要不要讨论 的情况？分情况讨论是不是必要的？ （2）要不要验证不等式取等号? 改分母缩小为分子放大，便可以避免分母为0． 解法8 把 代入 ，有 ， 等号当 ，从而 时等式成立，得 的取值范围为 ． 第六、解题过程的第五次反思．（命题背景的揭示） （1） 切线斜率背景：（数形结合） 的几何意义是抛物线， 的几何意义是抛物线上的点 与点 的斜率 ，而 取最值的几何意义是过点 作抛物线切线的斜率．这是一般性． 但本例还有特殊性，那就是点 恰好在准线 上，如图6 从更关注直线转移到更关注抛物线，你能对题目产生什么新的认识？ 是抛物线上的点 到准线的距离，它等于抛物线上的点 到焦点的距离，由抛物线的定义知 等价于（ ） ． 由此可以得出新的解法． （2）抛物线背景 解法9 易知抛物线的焦点为 ，准线为 ，由抛物线的定义知 等价于 图9 ， 有　　　　　 ，（点到直线间的距离，垂线最短） 当 时， 可以分别取到最大值１、最小值－１，故 的取值范围为 ． 第七、解题过程的第六次反思． 抛物线背景的揭示，我们可以获得消元法的新处理 解法10 由 有 当 时， 可以分别取到最大值１、最小值－１，故 的取值范围为 ． 注消去分母 会出现分母为0，不如消去分子． 解法11 设 ，则 ， 当 时， 可以分别取到最大值１、最小值－１，故 的取值范围为 ． 领悟 题目由一个等式去确定一个不等式．可以从结论出发也可以从条件出发，可以有代数的视角也可以有几何的视角，可以扩元、消元也可以保元．没有思路的时候，要努力获得思路．有了初步思路的时候，要学会反思，通过反思学会解题． 案例4——微型实验：“自发领悟”是存在的． 为了便于说明问题，我们选择一个初中“四边形内角和”教学的微型实验，分三步介绍如下： 第1步：教学过程． 教师在两个水平相当的班上所进行的学习活动是一样的，都组织学生去探究，找出的解题途径也大体相同，如图10所示． 图10 教师总结讲评后，在一个班（记为 班）增加了一个环节，组织学生讨论在这“一题多解”的背后，有什么共同的地方——“化归为三角形的内角和”；另一个班（记为 班）没有这个环节，学生印象最深的是“一题多解”． 第2步：能力测试． 25天后，组织了一次测试，求图11中各角之和（凹五边形的内角和），结果， 班有89 %的学生能够完成， 班有25%的学生能够完成．在所完成的同学中，多数都是连结两条辅助线 （如图12），转化为3个“三角形的内角和”之和来解决． 图11 图12 第3步：案例分析． 这是一个简明而又富于启发性的案例，可以作出多方面的分析．如 （1）进行数学思想方法的提炼是可行和有效果的． 在 班的讨论显化了数学内容和数学方法所隐含的本质思想——化归；在 班没有这一提炼，学生的认识停留在“一题多解”的操作层面和化归思想的“渗透”阶段．结果，进行思想方法显化提炼的 班89%通过测试，未进行显化提炼的 班只有25%通过测试，差异十分显著，因而“进行数学思想方法的提炼是可行和有效果的”．这应该是我们从案例的叙述中所获得的最明显的印象，用数据说话也很有份量． （2）注意防止“认知基础”异化为“认知障碍”，努力提供高认知水平的教学． 如图13，其实联结 一条辅助线就够了——化归为一个三角形的内角和加上一个四边形的内角和（也可以如图14，连 ，用减法），学生普遍用图12来求解表明，学生对“化归为三角形的内角和”有直接的依赖，化归认识还停留在当初学习“四边形内角和”之前的水平上，而没有表现出学习水平的提升．这提醒我们：要注意防止“认知基础”异化为“认知障碍”，要努力提供高认知水平的教学．其实，“四边形内角和”还可以化归为梯形的内角和（图15），或集中为一个周角等． 图13 图14 图15 （3）优秀学生存在“自觉领悟”． 首先，“ 班有25%的学生能够完成”表明，不管教师进不进行“数学思想方法的提炼”，两个班的优秀生都会自觉领悟“化归为三角形内角和”；同时，据询问，两个班中有10多个同学就是转化为图10来求解的，这说明“10多个同学”已经摆脱了对三角形情景的依赖，把四边形内角和也纳入到解决新情景的认知基础中，或已经有了“化凹图形为凸图形”的想法，从而对“化归为已经解决问题”有所领悟．这两方面都是一种默会学习，都是一种“自发领悟”． 案例5——“自觉分析”是有益的． 题目 已知 为互不相等的实数，且 ，求 ． （1951年高考数学第4题） 讲解 由于直接对三个比例式用等比定理会出现分母为0的问题 　　　　　　　　　　　　　　　　① 　　　　 ？ ② 所以，有一个流行的说法，此题不能用等比定理．设比例系数 是一个经典的处理，并被认为是最关键的步骤： 解法1 设 ， ③ 则有　　　 ④ 得　　 　 ⑤ 　 ⑥ 　 ． ⑦ 反思分析 整体分解这个解题过程我们看到三个步骤（解题过程的结构分析）： 第1步，引进参数 ，把三个外形不同而比值相等的代数式 用同一个符号 来表示，可以有效防止“形异”对“值同”的干扰．（体现了“用字母表示数的思想”和“换元法”的应用） 第2步，把 与 分离，以便于计算 的值．（方法就是变形） 第3步，计算 的值，这是实质性的运算，其最基本的想法是转化为 有关式的计算，关键步骤是第⑤式．（有“转换化归的思想”） 根据这个分析，设比例系数 的作用有两个：第一，有效防止“形异”对“值同”的干扰；第二，把 与 分离以便于计算 的值．但这都只是辅助步骤，前两步并未开始 的求和，真正产生解题实质性进展、并反映问题深层结构的是第３步，抓住实质性的第3步提出问题： （1）（正面思考）有与 功能类似的替代式吗？ （2）（反面思考）不用 还能计算 吗？ 回应1 如果对 “等值”看得很清楚，那就可以把第③式直接代入式⑤，取代 得 解法2 ⑧ 回应2 如果⑧式中的“形异”对“值同”的干扰还比较大，想不到作这样的变形，看不清当中的公因式，那可以直接用 来表示 ，有 解法3 由已知有 ， ， 相加得　　　 　　　　　　　 ． 这样，我们就有了不增设参数 的２个解法，只要作解题反思，人人都能做到．但是，反思还没有结束． 反思再深入 至少还可以再指出两点：结论也是已知信息，障碍也是隐含条件． （1）结论也是已知信息． 我们还浪费了一个信息，就是当我们分析解题过程时，结论已经成为了已知信息： 　　 　 ， ⑨ 即 　 ． ⑩ 这就如同摸索在黑房子里拉开了电灯，原来我们只须证⑩式（当初并不知道），这用等比定理是可以做到的． 解法4 对已知式的前两项用等比定理，有 ， 即 ， 得 ， 得 ． 原来，在我们的心里有一个误区（涉及解题的情感态度），对三项连比式用等比定理时，会产生分母为零，就吓得两项都不敢用等比定理了．我们说，用比例的性质来处理比例问题，更接近问题的本质（也使得设比值 成为多余）． （2）障碍也是隐含条件． 让我们再来看①、②中用等比定理时产生分母为0的问题 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 　　　　 ？ ② 这时候的“分母为０”构成了我们解题的一个障碍，但在上述的众多解法中又都用到了“分母为０”这个运算式： 　　　　 ，　　　　　　　　　　　　　 所以，与其说②式给我们带来了麻烦，不如说②式显化了题目的一个隐含条件式．这是一个积极的收获，当我们对尚未成功的②式“视而不见”、而把目光同时注视①、式时，①式让我们看到了两条直线重合： 　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 ， 而式告诉我们直线通过点 ，因而直线也通过点 ，得 ．（可记为解法5） 说明 确实，反思得出的新解法，无论是在逻辑关系上还是在书写长度上，都不比解法1麻烦，相反，还都有一种高屋建瓴之势，对解题思路看得更透彻了，对知识联系看得更清楚了．这些新解法可以认为是解题分析的一个有益成果．但是，我们倡导的解题分析并不满足于多找出几个解法，而是希望通过解题过程的分析，去领悟：怎样解题？怎样学会解题？本着这样的理念，我们来自觉总结在本案例活动中的三个基本收获： （1）通过解题分析学会解题． 聪明的学生也许一开始就能找到后面的解法，但是，如果我不算聪明、甚至还有点笨呢，那么上述历程告诉我们，我也可以通过解题过程的分析，自己学会聪明，自己学会解题，使数学解题与智力发展同行．我们的解题教学应该有“学会聪明”这个环节． （2）解题分析包括认知与元认知两个阶段． 上述过程表明，解题分析包括解题思路的探求分析与探求结果的反思分析． ①解题思路的探求分析主要是在还没有思路时，努力找出思路的认知过程，人们已经有了很多共识．在本例中表现为用等比定理去试做和解法1的获得． ②探求结果的反思分析主要是在获得初步思路后，对初步思路进行反思的元认知过程，这方面有大量的事情可做．在本例中表现为解法2～解法5的获得． （3）解题经验的自觉积累． 基本活动经验的积累可以因人而异，我们从技术层面着重指出三点： ①学会解题过程的结构分析．具体是把解法1“分解”为三个步骤，然后组织为新的结构． ②抓住实质性的第3步正面、反面提出问题．具体是思考：有与 功能类似的替代式吗？不用 还能计算 吗？ ③体验到了“结论也是已知信息”、“障碍也是隐含条件”． 案例6——学会理解题意． 有这样一个方程问题，人们把它作为“补集思想解题”的范例由来已久： 题目 已知三个方程 中至少有一个方程有实根，求实数 的取值范围． 讲解 若正面求解，三个方程至少有一个方程有实根，将出现7种可能，情况复杂，但其反面则只有一种情况：三个方程都没有实根，问题变得极为简单．有 即 得 ． 再求补集，得三个方程至少有一个方程有实根时实数 的取值范围为 ． 这是一个经典的处理（简称“处理”），作为数学，策略对头、思路清晰、答案正确．但作为教学，这个“处理”对审题的看法却是有问题的．分步解释如下： （1）审题的两种观点． “处理”的一开头，对比了审题的两种观点．第一种观点是把“三个方程至少有一个方程有实根”理解为“7种可能”：某个方程有实根3种可能、某两个方程有实根3种可能、三个方程都有实根1种可能． 设第一个方程有实根时实数 的取值范围记为 ， 第二个方程有实根时实数 的取值范围记为 ， 第三个方程有实根时实数 的取值范围记为 ． 则“7种可能”为 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 图16 接下来是7种情况的合并，形式上看这阵势，确实书写量较大．（反思如图16，你在图16中看到了什么？） 第二种观点是看到这一思路“情况复杂”，提出“反面”理解： 然后求补集 ． 两种观点相比较，曾形成了一些根深蒂固的认识： ①正面理解“三个方程至少有一个方程有实根”就是分7种情况讨论； ②正面求解是麻烦的； ③反面求解是正面求解“麻烦”、“困难”等情况下的一种选择； ④反面求解才是经济的、简捷的、策略的、辩证的． （2）审题的第三个观点． 如上所说，第一个方程有实根时实数 的取值范围记为 ， 第二个方程有实根时实数 的取值范围记为 ， 第三个方程有实根时实数 的取值范围记为 ． 那么，由“三个方程至少有一个方程有实根”你能得出哪些认识？（结合图13） 就是第一个方程有实根、或第二个方程有实根、或第三个方程有实根，得“求 的并集”． 新解法：“三个方程至少有一个方程有实根”就是第一个方程有实根、或第二个方程有实根、或第三个方程有实根，得 或 ， ① 或 或 ， ② 或 或 ， ③ 求①、②、③的并集，可得三个方程至少有一个方程有实根时实数 的取值范围为 ． （3）启示 新解法的“正面求解”并不比原解法的“反面求解”麻烦．可见，第二种观点比第一种观点优越不等于“反面求解”比“正面求解”优越，原因是“7种可能，情况复杂”不等于“正面求解，情况复杂”，第二种观点是“只知其一，不知其二”，只审清了题意的一半．没有看出对题意的理解还存在第三种观点：“三个方程至少有一个方程有实根”就是第一个方程有实根、或第二个方程有实根、或第三个方程有实根， （4）审题的第四个观点． 又一解法：要“三个方程至少有一个方程有实根”只须三个判别式之和不小于0 得 或 ．为什么答案不一样？ 原因是，条件只是充分的，确实能保证“三个方程至少有一个方程有实根”，但并不必要，当 时还有可能存在某个判别式不小于0． 评析 由上面的两个解法可以看到 （1）问题表征影响解题方向与解题长度．将“三个方程至少有一个方程有实根”表征为7种可能：某个方程有实根3种可能、某两个方程有实根3种可能、三个方程都有实根1种可能，接下来还有7种情况的合并，书写量确实较大；解法1只看到这一思路“情况复杂”，没有看透复杂的原因，其提出的“反面求解”思路虽然可行，但未必就比“正面求解”的解法2平坦；所以，我们从这三个思路中看到了问题表征对解题方向与解题长度的影响． （2）知识影响解题．其实，由集合运算的性质 知，解法1与解法2是等价的，解法1的作者要是调动起了这一知识，就不至于对“正面求解”一概得出消极的结论． （3）反思有助于理解． 如果对列举“7种可能”的思路作反思就会看到，这种先分后合的步骤，其实已使得后4种情况的书写成为简单重复或多余回路；同样，如果对解法1作反思，也有机会发现“反面求解”其实有“正面求解”的等价思路． 案例7——解题思路的探求． 题目 （2010江西理科第4题5分）过正方体 的顶点 作直线 ，使 与棱 ， ， 所成的角都相等，这样的直线 可以作 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 讲解 （1）条件是什么： ①正方体．可以作出一个正方体图形，正方体中的所有性质视为已知． ②过点 的直线 与棱 ， ， 所成的角都相等．这里，涉及空间中线线夹角的知识，构成解题的关键与难点．正方体的“棱”本义均为线段，但当说夹角时是指棱所在的直线，因而， ●棱 ， ， 是可以延长的； ● 与棱 ， ， 的夹角是指不大于 的角． 学生普遍只认识到这两点，这就把选择题当解答题了，其实，四个选择支还提供条件，并且，可以作为沟通条件与结论的桥梁． ③ 的条数存在且不超过4条． （2）结论是什么:求 的条数． （3）沟通条件与结论联系． 思路1：从条件③出发． 第一件工作：题目说， 至少有1条，你能找出1条来吗？（正方体内找） 正方体内，过点 与棱 ， ， 所成的角都为 的体对角线 为所求，这样的直线 有1条．（图17） 第二件工作：你还能再找出1条来吗？ 要突破仅在正方体内找的思维定势，关 图17 键是思考棱的延长线：以点 为顶点，三条棱落在直线 ， ， 上的正方体不只1个（参见图18），每一个都有过点 的体对角线与三条棱 ， ， 所成的角都相等，这就又将问题还原为在正方体内找体对角线． 解法1 以点 为顶点，三条棱落在直线 ， ， 上的正方体有8个（参见图18），每一个都有过点 的体对角线与三条棱 ， ， 所成的角都相等，去掉重合的得4条直线，即图18中大正方体 的4条体对角线．选（D）． 图18 领悟 实质上是先从小正方体中找1条体对角线，然后再从大 正方体中找4条体对角线，在这个过程中可以考查线线夹角的知识和空间想象能力，有分类（正方体内1条、正方体外3条）和化归转化的思想方法． 思路2 因为与两相交直线夹角相等的直线在两个垂直平分面上，我们可以通过轨迹相交法找出 ． 解法2 如图18，与棱 ， 所成的角都相等的直线在两个垂直平分面 ，与棱 ， 所成的角都相等的直线在两个垂直平分面 上，两类垂直平分面间的交线与棱 ， ， 所成的角都相等，有4条: 选（D）． 案例8——数与形的双向沟通． 题目 已知 求证 ． ① （1）认识——证明１． 有一种说法“代数解法是麻烦”，年复一年地出现在各种报刊上的是图形构造法． 分析1 由每一个根号想到余弦定理 图19 在 中， ， ， ． 同理 ，在 中， ， ，． 在 中， ， ． 再由三个根号想到“三角形两边之和大于第三边” 于是想到，将图16的三角形拼接起来，由于 ，故图16的三个三角形恰好拼接为一个平面三角形（图17）． （若 则拼接为三棱锥） 证明１ 由余弦定理可构造 如图20，使 ， 则 ， ， 同理 　　由三角形两边之和大于第三边可得 图20 　　 ， 也就是 ． （2）再认识——解题认识． 人们赞赏图形的构造是有道理的，但说代数解法麻烦却是认识的封闭． 易知，问题的求解可以分成两步： 首先是依题意构造图形．其由数到形的过程为：由根号想起距离，由根号下的代数式想起余弦定理，由两个根号之和大于第三个根号想起“三角形两边之和大于第三边”． 然后是在 中由“两边之和大于第三边”得出结论．不等式的几何实质正是“两边之和大于第三边”． 抓住本质步骤，观察图13，我们可以看到还有一个更简单的 ，也有“三角形两边之和大于第三边” 又由“大角对大边”有 得 ② 把直观上看到的事实，还原为代数解法（由形到数）．有 证明２　由 为正数知 相加得， ③ 这个新解法只用到简单的放缩常识，节省了解题力量（可以由差异分析法直接找出）；更重要的是，经历了一个“由数到形”、又“由形到数”的数形结合过程——真正的、完整的数形结合．②式的直观恰与③式的简捷构成“一一对应”． 由上面的例子不难看到，分析典型例题的解题过程可以分为两步： 第1步，整体分解．即把原解法的全过程分拆为一些信息单元，看用到了哪些知识，哪些方法，它们是怎样组合在一起的？最本质的步骤是什么？对这些信息单元或步骤，可以正面理解，也可以反面否定． 第2步，信息交合．即抓住整体分解中提炼出来的本质步骤与反思认识，将信息单元转换或重组成新的信息块． 值得继续反思的是，为什么我们长期只看见 ，而看不见 ． 说明 还可以抓住距离作转换得出更多解法．现请考虑推广：对 是否有 ？ （罗增儒．解题分析——“柳卡问题”新议．中学教研（数学）2002，2） 案例9——一个方程的深入思考 题目 解方程 ． 第一、解题思路的探求 若去分母会增加干扰．两条出路 （1）退到简单情况 （1992高考题），再一般化． （2）分子分母等比数列求和． 解法1 显然 不是方程的根，方程的左边应用等比数列求和公式可以化为 （面临如何化简的问题？1992高考题 ） ，（约分的化简出路——由此产生什么启示？） 原方程可以化为 ， 解得 ． 第二、解题过程的反思 反思这个解法可以分解为两步：（1）化简方程的左边（一求和，二约分）；（2）解简单指数方程．由第一步可以看到，方程的左边是可以约分的，直接约分，可以用同样的方法产生一批解法． 解法2 原方程即 ， 得 ， 解得 ． 解法3 方程即 ， 有 ， 得 ， 解得 ． 解法4 方程即 ， 有 ， 得 ， 解得 ． 这都是由多到少，能否由少到多呢？ 解法5 由 ， 用等比定理，有 ， 得 ， 解得 ． 第三、解题成果的扩大 一般化 ：对3的依赖是非实质的，有 （1） ，（ ）． 忘了 时 为全体实数；只有 且 时 ． （2） ，（ ）． 答案： 时 为全体实数； 且 时 ． 第四、命题背景的揭示 1992高考题 的解为 ， 解　两边乘以 得 ． ① 两边乘以 ，得关于 的二次方程 ② 两边除以 得 ． ③ 分析解题过程． 是的，这是一个很常规的解法，检验知答案也是对的，然而，在得出这个答案之后，我们还收获了什么新的认识呢？如果我们只是收获“ ”，那就是“进宝山而空还”． 下面，让我们通过解题过程的分析来获得题目结构及其解法的更多理解，分析从解法的“整体分解”开始，可以得到３个步骤： （1）运用同解原理处理分母（化整），将原方程化为①式； （2）运用同解原理处理负指数（消元），将原方程继续化为二次方程②式； （3）分解降次，归结为解简单指数方程③式，得 ． 这就显化了原解法的思维过程，其中特别值得注意的是，第（1）步方程两边乘以 与第（3）步方程两边除以 会不会是多余的思维回路？由于第（1）、（2）两步的运算没有依赖关系，完全是独立的，因而，交换解题顺序（搁置第（1）步）、先进行第（2）步应该不违反逻辑规则，让我们尝试对方程两边乘以 ，有 ， ④ 用同底比较或两边取对数都可以立即得出方程的解． 可见，第（1）、（3）两步的思维回路是可以消除的，解题顺序的调整还真影响解题长度．并且，尝试的结果向我们展示了原方程左边结构上的一个特点，即分子、分母有相同的非零因式，可以相约；而导致相约的一个关键运算是 ，据此，原解法的第（2）步也可以通过相反的运算替换为方程的左边自行化简，有 左边= ，（分子提取后约分） ⑤ 或 左边= ．（分母提取后约分） ⑥ 再一想，设 （或 ），代入原式消除指数上的差异（亦即消元），也有同样的效果． 于是，上面的简单分析已经颠覆了原解法的全部3个步骤，并可获得诸多收获，我们称为开发出“解题智慧”（其反面是存在“解题愚蠢”）． 主要收获． （1）通过解题思维过程的结构分析，弄清了题目是怎样解的，化简是怎样进行的，运用了什么原理，使用了哪些方法等． （2）通过解题分析，找出了一个多余的思维回路．即第（1）步方程两边乘以 与第（3）步方程两边除以 是可以删除的，由④直接解出 ，解题长度将大幅度缩短． （3）通过交换解题顺序，揭示了这个具体方程的特殊结构．从试题编制的角度，可以将④、⑤、⑥理解为：由已知方程 出发，让左右两边分别乘以 ，得 ． 更一般地，让 左右两边分别乘以 ，则得方程 ． 再变可得出我们的例子． 案例10——2009高中联赛填空题的新视角． 题目 （2009年高中联赛）若函数 且 ，则 ． （1）评分标准： ， ， …… ． 故 ． （2）认知框架的转移．下面我们重新理解题意． 对 作理解，既有 ，又有 ，若着眼于 ，则 是定义在实数 上的函数，若着眼于 ，则 是一个数列（可补充定义 ）．又由于是求 当 时的函数值，所以可不妨设 ，下面，我们用孰知的方法来求数列 的通项．设 则 ． 可见， 是公差为1的等差数列， ， 即 ， 得 ， 取 ，有 案例11——2010高中联赛解答题的新视角． 题目（本小题满分16分）已知 ，当 时， ．试求 的最大值．（2010年高中联赛） （1）评分标准： ， 由 （4分） 得 ， （8分） 所以 ． （12分） 又易知 （ 为常数）满足题设条件，所以 的最大值为 ．（16分） （2）一般性的视角． 反思1 为什么取 ？ 中变其中一个能得出正确答案吗？ 反思2 怎么得出 的跳跃太快，也就是为什么 能取等号？为什么 ？ 反思3 得出 是必要条件的过程，其充分性的验证是一个大步骤，由三个点满足 得出的 ，需要有 “当 时， ．”的验证过程，特别是党 不等于 时，是否为 难免有歧义． 解 易知 ，取函数的3个值 ， 及 ， 有 ① 消去 ，可得 再消去 ，得 ② 由已知条件，有 ， 代入②，得 ③ 又由基本不等式，有 ， ④ 等号成立的条件为 ． ⑤ 由③知 不超过 的最小值，故 ， 要取到最大值 ．需③、④式同时取等号，即 解得 ， 相应的函数为 ． 对 ，有 ， 满足条件，所以 的最大值为 ． （3）背景． 本例源于国外的一道竞赛题，1998年曾作为“希望杯高三”赛题： 若函数 对一切 ，恒有 ． （Ⅰ）对所有这样的 ，求 可能的最大值． （Ⅱ）试给出一个这样的 ，使 确实取到上述最大值． 后来，2004年曾在杂志上进行过热烈的讨论 【1】杨之、王雪芹．与二次三项式有关的一个极值问题．中学数学，2004，5 【2】徐彦明．一道流行难题的解法研究．中学数学教学参考，2004，8 【3】孙国富．“一道流行的难题”再研究．中学数学教学参考，2004，12 【4】陈云峰． 二次关系数和的最大值． 中学数学教学参考，2006，3～4 …… 本竞赛题主要作了两个变化（成题改编）： ①改变了条件．先给二次函数升次，然后再求导回到二次函数，增加了一个条件，多考察了一个知识点． ②改变了结论，不求 最大值，只求 的最大值，情况略为简单，基本过程相同． （4）推广 推广1：若函数 对一切 ，恒有 ，求 的最大值． 解 取函数的3个值 ， 及 ， 有 ① 消去 ，可得 再消去 ，得 ② 由已知条件，有 ， 代入②，得 ③ 又由基本不等式，有 ， ④ 等号成立的条件为 ． ⑤ 由③知 不超过 的最小值 ，故 ， 要取到最大值 ．需③、④式同时取等号，即 解得 ， 相应的函数为 ． 对 ，有 ， 满足条件，所以 的最大值为 ． 推广2：若函数 对一切 ，恒有 ，求 的最大值． 解 取函数的3个值 ， 及 ， 有 ① 消去 ，可得 再消去 ，得 ， ② 由已知条件，有 ， 代入②，得 ， ③ 又由基本不等式，有 ， ④ 等号成立的条件为 ． ⑤ 由③知 不超过的 最小值 ，故 ， 要取到最大值 ．需③、④式同时取等号，即 解得 ， 相应的函数为 ． 对 ，有 ， 满足条件，所以 的最大值为 ． 推广3：若函数 对一切 ，恒有 ，求 的最大值． 解 取函数的3个值 ， 及 ， 有 ① 消去 ，可得 再消去 ，得 ， ② 由已知条件，有 ， 代入②，得 ， ③ 又由基本不等式，有 ， ④ 等号成立的条件为 ． ⑤ 由③知