1
概率论与数理统计习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
及
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
习题一
1． 略.见教材习题参考答案.
2.设 A，B，C为三个事件，试用 A，B，C的运算关系式表示下列事件：
（1） A发生，B，C都不发生；
（2） A与 B发生，C不发生；
（3） A，B，C都发生；
（4） A，B，C至少有一个发生；
（5） A，B，C都不发生；
（6） A，B，C不都发生；
（7） A，B，C至多有 2 个发生；
（8） A，B，C至少有 2 个发生.
【解】（1） A BC （2） ABC （3） ABC
（4） A∪B∪C= AB C∪ ABC∪A BC∪ ABC∪A B C∪ABC∪ABC= ABC
（5） ABC = A B C∪ ∪ （6） ABC
（7） ABC∪A B C∪ABC∪ AB C∪A BC∪ ABC∪ ABC = ABC = A∪B∪C
（8） AB∪BC∪CA=ABC∪A B C∪ ABC∪ABC
3. 略.见教材习题参考答案
4.设 A，B为随机事件，且 P（A）=0.7,P（A−B）=0.3，求 P（ AB）.
【解】 P（ AB）=1−P（AB）=1−[P（A）−P（A−B）]
=1−[0.7−0.3]=0.6
5.设 A，B是两事件，且 P（A）=0.6,P（B）=0.7,求：
（1） 在什么条件下 P（AB）取到最大值？
（2） 在什么条件下 P（AB）取到最小值？
【解】（1） 当 AB=A时，P（AB）取到最大值为 0.6.
（2） 当 A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为 0.3.
6.设 A，B，C 为三事件，且 P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3 且 P（AB）=P（BC）=0，
P（AC）=1/12，求 A，B，C至少有一事件发生的概率.
【解】 P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）−P（AB）−P（BC）−P（AC）+P（ABC）
=
1
4
+
1
4
+
1
3
− 1
12
=
3
4
7. 从 52 张扑克牌中任意取出 13 张，问有 5 张黑桃，3 张红心，3 张方块，2 张梅花的概率
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2
是多少？
【解】 p= 5 3 3 2 1313 13 13 13 52C C C C / C
8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；
（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】（1） 设 A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为 75，有利事件仅 1 个，故
P（A1）= 5
1
7
=（
1
7
）5 （亦可用独立性求解，下同）
（2） 设 A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为 65，故
P（A2）=
5
5
6
7
=（
6
7
）5
（3） 设 A3={五个人的生日不都在星期日}
P（A3）=1−P（A1）=1−（ 1
7
）5
9. 略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共 N 件，其中 M 件正品.从中随机地取出 n 件（n
30.
如图阴影部分所示.
2
2
30 1
60 4
P = =
22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：
（1） 两个数之和小于
6
5
的概率；
（2） 两个数之积小于
1
4
的概率.
【解】 设两数为 x,y，则 0
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
：若 P（A｜B）=P（A｜B），则 A，B相互独立.
【证】 ( | ) ( | )P A B P A B= 即 ( ) ( )
( ) ( )
P AB P AB
P B P B
=
亦即 ( ) ( ) ( ) ( )P AB P B P AB P B=
( )[1 ( )] [ ( ) ( )] ( )P AB P B P A P AB P B− = −
因此 ( ) ( ) ( )P AB P A P B=
故 A与 B相互独立.
33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为
1
5
，
1
3
，
1
4
，求将此密码破译出
的概率.
【解】 设 Ai={第 i人能破译}（i=1,2,3），则
3
1 2 3 1 2 3
1
( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( )i
i
P A P A A A P A P A P A
=
= − = −∪
4 2 31 0.6
5 3 4
= − × × =
34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7，若只有一人
击中，则飞机被击落的概率为 0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为 0.6；若三人
都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.
【解】设 A={飞机被击落}，Bi={恰有 i人击中飞机}，i=0,1,2,3
由全概率公式，得
3
0
( ) ( | ) ( )i i
i
P A P A B P B
=
= ∑
=（0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7）0.2+
（0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7）0.6+0.4×0.5×0.7
=0.458
35. 已知某种疾病患者的痊愈率为 25%，为试验一种新药是否有效，把它给 10 个病人服用，
且规定若 10 个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：
（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到 35%，但通过试验被否定的概率.
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9
（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.
【解】（1）
3
10
1 10
0
C (0.35) (0.65) 0.5138k k k
k
p −
=
= =∑
（2）
10
10
2 10
4
C (0.25) (0.75) 0.2241k k k
k
p −
=
= =∑
36. 一架升降机开始时有 6 位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：
（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；
（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；
（3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”；
（4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】 由于每位乘客均可在 10 层楼中的任一层离开，故所有可能结果为 106 种.
（1）
2 4
6
6
C 9( )
10
P A = ，也可由 6 重贝努里模型：
2 2 4
6
1 9( ) C ( ) ( )
10 10
P A =
（2） 6 个人在十层中任意六层离开，故
6
10
6
P( )
10
P B =
（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有 110C 种可能结果，再从
六人中选二人在该层离开，有 26C 种离开方式.其余 4 人中不能再有两人同时离开的情
况，因此可包含以下三种离开方式：①4 人中有 3 个人在同一层离开，另一人在其余
8 层中任一层离开，共有 1 3 19 4 8C C C 种可能结果；②4 人同时离开，有
1
9C 种可能结果；
③4 个人都不在同一层离开，有 49P 种可能结果，故
1 2 1 3 1 1 4 6
10 6 9 4 8 9 9( ) C C (C C C C P ) /10P C = + +
（4） D=B .故
6
10
6
P( ) 1 ( ) 1
10
P D P B= − = −
37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：
（1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；
（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3） 如果 n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.
【解】 （1） 1
1
1
p
n
= −
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10
（2） 2
3!( 3)!, 3
( 1)!
np n
n
−= >−
（3） 1 2
( 1)! 1 3!( 2)!; , 3
! !
n np p n
n n n
− −′ ′= = = ≥
38. 将线段[0，a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率
【解】 设这三段长分别为 x,y,a−x−y.则基本事件集为由
0 − −⎡⎢ + − − >⎢⎢ + − − >⎣
构成的图形，即
0
2
0
2
2
ax
ay
a x y a
⎡ < <⎢⎢⎢ < <⎢⎢⎢ < + <⎢⎣
如图阴影部分所示，故所求概率为
1
4
p = .
39. 某人有 n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.
证明试开 k次（k=1,2,…,n）才能把门打开的概率与 k无关.
【证】
1
1P 1 , 1,2, ,
P
k
n
k
n
p k n
n
−
−= = = "
40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出
一个，试求它有 i面涂有颜色的概率 P（Ai）（i=0,1,2,3）.
【解】 设 Ai={小立方体有 i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.
在 1 千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的
小立方体共有 8 个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂
色的，这样的小立方体共有 12×8=96 个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小
立方体是一面涂色的，共有 8×8×6=384 个.其余 1000−（8+96+384）=512 个内部的
小立方体是无色的，故所求概率为
0 1
512 384( ) 0.512, ( ) 0.384
1000 1000
P A P A= = = = ,
2 4
96 8( ) 0.096, ( ) 0.008
1000 1000
P A P A= = = = .
41.对任意的随机事件 A，B，C，试证
P（AB）+P（AC）−P（BC）≤P（A）.
【证】 ( ) [ ( )] ( )P A P A B C P AB AC≥ =∪ ∪
( ) ( ) ( )P AB P AC P ABC= + −
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11
( ) ( ) ( )P AB P AC P BC≥ + −
42. 将 3 个球随机地放入 4 个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为 1，2，3 的概率.
【解】 设 iA ={杯中球的最大个数为 i},i=1,2,3.
将 3 个球随机放入 4 个杯子中，全部可能放法有 43 种，杯中球的最大个数为 1 时，
每个杯中最多放一球，故
3
4
1 3
C 3! 3( )
4 8
P A = =
而杯中球的最大个数为 3，即三个球全放入一个杯中，故
1
4
3 3
C 1( )
4 16
P A = =
因此 2 1 3
3 1 9( ) 1 ( ) ( ) 1
8 16 16
P A P A P A= − − = − − =
或
1 2 1
4 3 3
2 3
C C C 9( )
4 16
P A = =
43. 将一枚均匀硬币掷 2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】掷 2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，
C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.
可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故 P（A）=P（B）.所以
1 ( )( )
2
P CP A −=
由 2n重贝努里试验中正面出现 n次的概率为
2
1 1( ) ( ) ( )
2 2
n n n
nP C C=
故 2 2
1 1( ) [1 C ]
2 2
n
n nP A = −
44. 掷 n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】设 A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知
P（A）=P（B）
（1） 当 n为奇数时，正、反面次数不会相等.由 P（A）+P（B）=1 得 P（A）=P（B）
=0.5
（2） 当 n为偶数时，由上题知
21 1( ) [1 C ( ) ]
2 2
n
n
nP A = −
45. 设甲掷均匀硬币 n+1 次，乙掷 n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.
【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.
乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.
显然有
>正 正（甲 乙 ）=（甲正≤乙正）=（n+1−甲反≤n−乙反）
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12
=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）
由对称性知 P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反）
因此 P（甲正>乙正）=
1
2
46. 证明“确定的原则”（Sure−thing）：若 P（A|C）≥P（B|C）,P（A|C）≥P（B|C），则
P（A）≥P（B）.
【证】由 P（A|C）≥P（B|C）,得
( ) ( ) ,
( ) ( )
P AC P BC
P C P C
≥
即有 ( ) ( )P AC P BC≥
同理由 ( | ) ( | ),P A C P B C≥
得 ( ) ( ),P AC P BC≥
故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A P AC P AC P BC P BC P B= + ≥ + =
47.一列火车共有 n 节车厢，有 k（k≥n）个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内
至少有一个旅客的概率.
【解】 设 Ai={第 i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则
1 2 1
( 1) 1( ) (1 )
2( ) (1 )
1( ) (1 )
n
k
k
i k
k
i j
k
i i i
nP A
n n
P A A
n
nP A A A
n−
−= = −
= −
−= −
"
"
其中 i1,i2,…,in−1 是 1，2，…，n中的任 n−1 个.
显然 n节车厢全空的概率是零，于是
2 1
1 2 1
1
1
1
2
2
1
1
1 1
1
1
1 2 3
1
1 1( ) (1 ) C (1 )
2( ) C (1 )
1( ) C (1 )
0
( ) ( 1)
n
n
n
k k
i n
i
k
i j n
i j n
n k
n i i i n
i i i n
n
n
n
i n
i
S P A n
n n
S P A A
n
nS P A A A
n
S
P A S S S S
−
−
=
≤ < ≤
−
−
≤ < < ≤
+
=
= = − = −
= = −
−= = −
=
= − + − + −
∑
∑
∑
"
"
"
∪ "
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13
1 2 1
1 2 1C (1 ) C (1 ) ( 1) C (1 )k k n n kn n n
n
n n n
− −= − − − + + − −"
故所求概率为
1 2
1
1 21 ( ) 1 C (1 ) C (1 )
n
k i
i n n
i
P A
n n=
− = − − + − − +∪ " 1 1 1( 1) C (1 )n n kn nn
+ − −− −
48.设随机试验中，某一事件 A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0 如何小，只要不断地独
立地重复做此试验，则 A迟早会出现的概率为 1.
【证】
在前 n次试验中，A至少出现一次的概率为
1 (1 ) 1( )n nε− − → →∞
49.袋中装有 m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，
将它投掷 r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？
【解】设 A={投掷硬币 r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
由题知 ( ) , ( )m nP B P B
m n m n
= =+ +
1( | ) , ( | ) 1
2r
P A B P A B= =
则由贝叶斯公式知
( ) ( ) ( | )( | )
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
P AB P B P A BP B A
P A P B P A B P B P A B
= = +
1
2
1 21
2
r
r
r
m
mm n
m n m n
m n m n
+= = +++ +
i
i i
50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有 N 根火柴，每次用
火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有 r
根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有 r根的概率又
有多少？
【解】以 B1、B2 记火柴取自不同两盒的事件，则有 1 2
1( ) ( )
2
P B P B= = .（1）发现一盒已空，
另一盒恰剩 r根，说明已取了 2n−r次，设 n次取自 B1 盒（已空），n−r次取自 B2 盒，
第 2n−r+1 次拿起 B1，发现已空。把取 2n−r次火柴视作 2n−r重贝努里试验，则所求
概率为
1 2 2
1 1 1 12C ( ) ( ) C
2 2 2 2
n n n r n
n r n r r rp
−
− − −= =i
式中 2 反映 B1 与 B2 盒的对称性（即也可以是 B2盒先取空）.
（2） 前 2n−r−1 次取火柴，有 n−1 次取自 B1 盒，n−r次取自 B2 盒，第 2n−r次取自 B1
盒，故概率为
1 1 1 2 1
2 2 1 2 1
1 1 1 12C ( ) ( ) C ( )
2 2 2 2
n n n r n n r
n r n rp
− − − − − −
− − − −= =
51. 求 n重贝努里试验中 A出现奇数次的概率.
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14
【解】 设在一次试验中 A出现的概率为 p.则由
0 0 1 1 2 2 2 0( ) C C C C 1n n n n n nn n n nq p p q pq p q p q
− −+ = + + + + ="
0 0 1 1 2 2 2 n 0( ) C C C ( 1) Cn n n n n nn n n nq p p q pq p q p q
− −− = + + − + −"
以上两式相减得所求概率为
1 1 3 3 3
1 C C
n n
n np pq p q
− −= + +"
1 [1 ( ) ]
2
nq p= − −
1 [1 (1 2 ) ]
2
np= − −
若要求在 n重贝努里试验中 A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得
2
1 [1 (1 2 ) ]
2
np p= + − .
52.设 A，B是任意两个随机事件，求 P{（ A +B）（A+B）（ A +B）（A+B）}的值.
【解】因为（A∪B）∩（ A∪B）=A B∪ AB
（ A∪B）∩（A∪B）=AB∪ AB
所求 ( )( )( )( )A B A B A B A B+ + + +
[( ) ( )]AB AB AB AB= +∪ ∩
= ∅
故所求值为 0.
53.设两两相互独立的三事件，A，B和 C满足条件：
ABC=Φ，P（A）=P（B）=P（C）< 1/2，且 P（A∪B∪C）=9/16，求 P（A）.
【解】由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC= + + − − − +∪ ∪
2
93 ( ) 3[ ( )]
16
P A P A= − =
故
1( )
4
P A = 或 3
4
,按题设 P（A）<
1
2
,故 P（A）=
1
4
.
54.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 1/9，A发生 B不发生的概率与 B发生 A
不发生的概率相等，求 P（A）.
【解】
1( ) ( ) 1 ( )
9
P AB P A B P A B= = − =∪ ∪ ①
( ) ( )P AB P AB= ②
故 ( ) ( ) ( ) ( )P A P AB P B P AB− = −
故 ( ) ( )P A P B= ③
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15
由 A,B的独立性，及①、③式有
1 1 ( ) ( ) ( ) ( )
9
P A P B P A P B= − − +
21 2 ( ) [ ( )]P A P A= − +
2[1 ( )]P A= −
故
11 ( )
3
P A− = ±
故
2( )
3
P A = 或 4( )
3
P A = （舍去）
即 P（A）=
2
3
.
55.随机地向半圆 00,P（A|B）=1,试比较 P（A∪B）与 P（A）的大小. （2006
研考）
解：因为 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB= + −∪
( ) ( ) ( ) ( )P AB P B P A B P B= ⋅ =
所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P B P A= + − =∪ .
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