第二章 方程与不等式第7课 一元二次方程1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)常用的解法：配方法、因式分解法、公式法．(2)求根公式：____________________.一、考点知识2.b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式:(1)当b2－4ac＞0时，方程有两个不等的实数根．(2)当b2－4ac＝0时，方程____________________． (3)当b2－4ac<0时，方程________________．(4)当方程有两个实数根时，b2－4ac与0大小比较：__________．有两个相等的实数根3.方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1，x2，则______________没有实数根b2－4ac≥0【例1】解下列方程：(1)4x2－2x－1＝0； (2)(x＋4)2＝2x＋8.【考点1】解一元二次方程二、例题与变式解：(1)提示:用求根公式法求解.(2)方法一：方程化为一般形式，得x2+6x+8=0.配方得(x+3)2=1.开方得x+3=±1.解得x1=－2,x2=－4.方法二：用因式分解法求解.方程变形为(x+4)2=2(x+4).移项,得(x+4)2－2(x+4)=0.方程左边分解因式得(x+4)(x+4－2)=0.解得x1=－2,x2=－4.【变式1】解下列方程：(x＋1)2－5(x＋1)＝0.解：x1=－1，x2=4.提示:用因式分解法求解.【考点2】一元二次方程根的判别式【例2】如果一元二次方程mx2－4x＋1＝0有两个不等的实数根，求m的取值范围．解：方程有两个不相等的实数根，∴(-4)2－4m＞0,即－4m＞－16.解得m＜4．又∵二次项系数m≠0.∴m的取值范围是m＜4且m≠0.【变式2】关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m2，m为实数．求证：该方程有两个不等的实数根．解：方程化为一般形式x2－5x+(6－m2)=0,根的判别式=(－5)2－4(6－m2)=1+4m2,∵m为实数，∴1+4m2>0,∴方程有两个不等的实数根.【考点3】一元二次方程根与系数关系【例3】关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0的实数根是x1和x2.(1)求k的取值范围；(2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值．解：（1）方程有实数根，∴根的判别式=22－4(k+1)≥0，解得k≤0.∴k的取值范围是k≤0（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=－2,x1x2=k+1.∴x1+x2－x1x2=－2－(k+1)，由已知,得－2－(k+1)＜－1，解得k＞－2.由（1）,得方程有两个实数根，则k≤0，∴－2＜k≤0，∵k为整数，∴k的值为－1和0.【变式3】已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2,求m的值和另一个根．解：m=1，另一根x1=－3.方法一，把x=2代入方程，求出m的值，再利用两根和或两根积的关系求出另一根;方法二，利用两根积的关系求出另一个根，再利用两根和的关系或方程根的定义求m的值.A组1.一元二次方程x2－x＋2＝0的根的情况是( )A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有两个不等的实数根D．无法确定三、过关训练3.若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两根，则x1＋x2的值为________，x1x2的值为__________．2.关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，则k的取值范围是__________．Bk≤2－1－14.解方程：(1)x2＝2x； (2)2y2＋2y－1＝0；(3)(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)．解:x1=－2，x2=3.提示:用因式分解法求解.解:提示:用求根公式法求解.解:x1=0,x2=2提示:用因式分解法求解.B组5．若a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根．求下列各式的值：(1)ab2＋a2b；(2)(3)(a＋1)(b＋1)；(4)a2＋b2.解：由根与系数关系得a+b=5,ab=2.(1)ab2+a2b=ab(a+b)=2×5=10.(2)(3)(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=2+5+1=8.(4)a2+b2=(a2+b2+2ab)－2ab=(a+b)2－2ab=52－2×2=21.6．已知关于x的一元二次方程x2＋(k＋1)x－3＝0.(1)求证：该方程一定有两个不等的实数根；(2)若方程的一根为2，求方程的另一根．（1）
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：根的判别式=(k+1)2－4×(－3)=(k+1)2+12＞0，所以方程一定有两个不等的实数根.（2）解:设方程的另一根为x1,则2x1=－3.解得.所以另一根为.7．已知关于x的一元二次方程mx2－(2m＋1)x＋m－1＝0.(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；(2)若3是方程的一个根，求m的值和另一个根．解：（1）方程根的判别式=(2m+1)2－4m(m－1)=8m+1，∵方程有两个实数根，∴8m+1≥0，解得，又∵m≠0，∴m的取值范围是且m≠0.（2）把x=3代入方程,得9m－3(2m+1)+m－1=0,解得m=1.所以把m=1代入原方程,得x2－3x=0,设另一根为x1,则根据根与系数关系得3x1=0.解得x1=0.所以m的值为1，方程的另一根为0.C组8．若关于x的一元二次方程x2－2(2－k)x＋12＝0有实数根α，β.(1)求实数k的取值范围；(2)设t＝，求t的最小值．解：（1）∵一元二次方程x2－2(2－k)x+k2+12=0有实数根α,β，∴方程根的判别式≥0，即4(2+k)2－4(k2－12)≥0，解得k≤－2.（2）由根与系数的关系,得：α+β=－［－2(2－k)］=4－2k，∴∵k≤－2，∴，∴，即t的最小值为－4．
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