2018年教师资格数学基础知识8

2018教师资格证数学科目三主讲：吴倩粉笔教师招考粉笔教师内容导视与考情介绍2.离散型随机变量的方差若离散型随机变量的分布列为⑥D(X)=E(X2)-[E(X)]2（一）正态分布的概念y-+x（1）图像法求概率【15】【2013年下半年-高级中学-选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 】已知随机变量X服从正态分布N（3,1）且P（2≤X≤4）=0.6826，则P（X>4）=()。A.0.1585B.0.1586C.0.1587D.0.1588（2）公式法求概率【16】【2016年下半年-初级、高级中学-简答题】王强是一位快递员，他负责由A地到B地的送货任务，送货方式为开汽车或骑电动车。他分别记录了开汽车和骑电动车各100次所用的送货时间，经过数据分析得到如下结果：开汽车：平均用时24分钟，方差36骑电动车：平均用时34分钟，方差4（2）分别用X和Y表示开汽车和骑电动车所用的时间，X和Y的分布密度曲线如图所示（假设这些曲线具有对称性），为达到准时送达的目的，如果某次送货有38分钟可用，应该选择哪种送货方式？如果某次送货有34分钟可用，应该选择哪种送货方式？请说明理由。初级中学高级中学2014年上：4，2014年上：102014年下：102014年下：102015年上：102015年上：102015年下：4,112015年下：3,112016年上：112016年上：11，172016年下：6,11Lo2r0e1m6年ips下um：d6o,1lo1rsitamet2017年上：5,112017年上：5,112017年下：5,102017年下：5,10，172018年上：5,172018年上：5,17一、早期算术与几何的历史（一）古埃及数学古埃及数学:兰德纸草书（分数分解成单位分数的结果、纸草书还给出圆面积的计算方法：将直径减去它的1/9之后再平方）莫斯科纸草书特别重要地位：分数算法，即把所有分数都化成单位分数(即分子是1的分数)的和。一、早期算术与几何的历史（二）两河流域的数学两河流域的数学：美索不达米亚（发明了十进制法和十六进制法）和古巴比伦的数学（60进制来书写数字）古巴比伦几何学的主要特征：代数性质。例如，涉及平行于直角三角形一条边的横截线问题时引出了二次方程，讨论棱锥的平头截体的体积时出现了三次方程。。二、古希腊数学的历史（一）泰勒斯被称为“科学和哲学之祖”和“希腊七贤之首”。泰勒斯在数学方面划时代的贡献是引入了命题 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 的思想，标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。二、古希腊数学的历史（二）毕达哥拉斯最早把数的概念提到突出地位。企图用数学解释一切，宣称数是天才宇宙万物的本原，研究数学的目的并不在于使用而是为了探索自然的奥秘。毕达哥拉斯本人以发现勾股定理著称于世。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数仅限于可共度的量，因此，无理数的发现，对毕达哥拉斯学派“万物皆数的信条带来震撼，引发了“第一次数学危机”。二、古希腊数学的历史（三）欧几里得被称为“几何之父”。他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公式，欧几里得几何被广泛地认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品，是几何学的奠基人。二、古希腊数学的历史（四）阿基米德享有“力学之父”、“数学之神”的美称。他利用“逼近法”算出地球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家将这种方法发展为近代的“微积分”。被称为“积分学先驱”。“阿基米德螺线”就是为纪念他研究出螺旋形曲线的性质而命名的。另外他在《恒河沙数》一书中，介绍了一套记大数的方法，简化了记数的方式。二、古希腊数学的历史人物头衔著作或成就泰勒斯命题证明的思想毕达哥拉斯勾股定理欧几里得几何之父《几何原本》阿基米德积分学先驱逼近法，《恒河沙数》【真题演练】【2014年下半年-高级中学-选择题】【例1】发现勾股定理的希腊数学家是（）。A.泰勒斯B.毕达哥拉斯C.欧几里得D.阿基米德三、中国古代数学的历史（一）刘徽1.《九章算术注》和《海岛算经》2.最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则，改进了线性方程组的解法。在几何方面，刘徽提出了“割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率。三、中国古代数学的历史（二）赵爽赵爽弦图：赵爽是最早给出勾股定理理论证明的数学家。（三）祖冲之第一次将圆周率值计算到小数点后7位，即3.1415926到3.1415927之间。他提出约率等和密率，这一密率值是世界上最早提出的，比欧洲早1100年，所以有人主张叫它“祖率”，也就是圆周率的祖先。他将自己的数学研究成果汇集成一部著作，名为《缀术》。三、中国古代数学的历史（四）秦九韶《数书九章》。该书是一部划时代的巨著，它完整保存了中国算筹式记数法及其演算式，论述了自然数、分数、小数、负数，还第一次用小数表示无理根。该书还对“大衍求一术”（一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）等进行了十分深入的研究。三、中国古代数学的历史人物著作或成就刘徽《九章算术注》、《海岛算经》、割圆术赵爽赵爽弦图、最早给出勾股定理理论证明祖冲之祖率秦九韶《数书九章》、第一次用小数表示无理根【真题演练】【2013年下半年-初级中学-选择题】【例2】下面哪位不是数学家?（）A.祖冲之B.秦九韶C.孙思邈D.杨辉四、平面解析几何产生的历史（一）笛卡尔创立了解析几何学，发表《几何学》许多数学符号都是笛卡尔最先使用；笛卡尔还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称之为欧拉—笛卡尔公式，微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的。补充：《几何学》分三部分：尺规作图；讨论曲线的性质；讨论代数问题，第一次出现变量和函数的概念。四、平面解析几何产生的历史（二）费马费马独立于笛卡尔发现了解析几何的基本原理。他在论文《平面与立体轨迹引论》中指出：“两个未知量决定的一个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。”笛卡尔是从轨迹来寻找它的方程，而费马则是从方程出发来研究轨迹。【真题演练】【2014年下半年-初级中学-选择题】【例3】创立解析几何的主要数学家是（）。A.笛卡尔、费马B.笛卡尔、拉格朗日C.莱布尼茨、牛顿D.柯西、牛顿五、微积分产生的历史（一）牛顿《自然哲学的数学原理》《光学》《二项式定理》《微积分》；发明了微积分；牛顿发表了历史上第一篇系统的微积分文献《流数简论》：流数的概念、讨论了如何借助于微分的反运算来求面积的问题，将面积计算看成是求切线的逆过程，从而建立了“微积基本定理”；牛顿不断对其进行修改，逐步完善，陆续发表《分析学》《流数法和无穷级数》《曲线求积术》五、微积分产生的历史（二）莱布尼茨论文：《一种求极大极小的奇妙类型的计算》在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。他还发明了一套符号系统；发表了《微积分的历史和起源》一文， 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分；莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则。五、微积分产生的历史（三）费马法国数学家费马提出求函数极值的代数方法；费马也是微积分的先驱者；费马是从研究透镜的设计和光学理论出发，致力于探求曲线的切线的。他1692年在《求最大值和最小值的方法》手稿中就提出了求切线的方法。【真题演练】【2013年下半年-初级中学-选择题】【例4】下面数学家不是微积分创始人或者先驱者的（）。A.伽罗瓦B.牛顿C.费马D.莱布尼兹六、几何作图三大难题的历史（一）尺规作图尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。六、几何作图三大难题的历史（一）几何作图三大难题著名的古代几何作图三大难题：1.三等分角问题：将任一个给定的角三等分。2.立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。3.化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。六、几何作图三大难题的历史（二）从阿贝尔到伽罗瓦阿贝尔利用置换群的理论证明了一般五次以上的代数方程，它们的根式解法是不存在的。阿贝尔一方面证明了有的方程不能用根式解，另一方面也举例证明有的方程能用根式解。伽罗瓦把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。称为该方程的伽罗瓦群；作为这个理论的推论，可以得出用圆规、直尺（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能等结论。七、集合论发展的历史（一）集合论的诞生德国著名数学家康托尔创立的。（二）集合论的发展罗素悖论提出集合论的漏洞。这就是数学史上的第三次数学危机。策梅洛提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。八、随机思想发展的历史（一）概率论法国数学家帕斯卡和费马最终解决了“赌金分配问题”，这个问题的解决直接推动了概率论的产生。伯努利建立了概率论中的第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。棣莫弗和拉普拉斯又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）；拉普拉斯的《分析的概率理论》，明确给出了概率的古典定义；切比雪夫、马尔可夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式，科学地解释了为什么实际中遇到的许多积分随机变量近似服从正态分布。八、随机思想发展的历史（一）概率论勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度与积分理论，为概率公理体系的建立奠定了基础，在这种背景下，苏联数学家阿尔莫哥洛夫在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系，他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起到积极的作用。八、随机思想发展的历史（二）近代统计学数理统计学派的原创始人凯特勒其最大的贡献是将法国的古典概率引入统计学，用纯数学的方法对社会现象进行研究；社会统计学派的首倡者是德国的克尼斯，他认为统计研究的对象是社会现象，研究方法为大量观察法，在近代统计学的发展过程中，这两学派的矛盾是比较大的。九、算法思想发展的历史（一）算法思想的历史在“算法”这个词被提出之前，人们早就知道了有关算法的实例，如现在被称作欧几里得算法的找两个数最大公约数的步骤；虽然在中国古代数学典籍中并未明确提出“算法”一词，但实际上已经孕育了构造算法的基本思想即程序思想。刘徽的《九章算术注》开创了中国传统数学构造性和机械化的算法模式。如“贾宪三角”、“增乘开方法”、“正负开方术”、“大衍求一术”、“天元术”和“四元术”（高定方程组的解法）等都是中国古代数学中的算法。九、算法思想发展的历史（二）计算机算法第一，算法首先必须是正确的，即对于任意一组输入，包括合理的输入与不合理的输入，总能得到预期的输出，如果一个算法只是对合理的输入才能得到预期的输出，而在异常情况下却无法预料输出的结果，那么它就不是正确的。第二，算法必须是由一系列具体步骤组成的，并且每一步都能够被计算机理解和执行．而不是抽象和模糊的概念。第三，每个步骤都有确定的执行顺序，即上一步在哪里，下一步是什么，都必须明确，无二义性。第四，无论算法有多么复杂，都必须在有限步之后结束并终止运行，即算法的步骤必须是有限的，在任何情况下，算法都不能陷入无限循环中。十、近代数学史上的两大巨匠（一）欧拉欧拉是把微积分应用于物理学的先驱者之一。欧拉大力引进和推广数学符号，他是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，他还推广使用三角函数现代符号，用表示自然对数的底，用字母i来表示虚数单位，此外还发现了著名的欧拉公式。(数学分析；函数概念；“哥尼斯堡七桥”问题；欧拉示性数；数学符号)十、近代数学史上的两大巨匠（二）高斯有“数学王子”之称。高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献。他还发明了最小二乘法原理，高斯的《算术研究》奠定了近代数论的基础；他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念，发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。高斯撰写的《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。十一、近代中学数学教育改革概况（一）贝利—克莱因运动：20世纪第一个数学教育现代化运动（二）新数学运动：由美国率先带动（三）回到基础运动（四）多样化改革发展：大众数学、问题解决、服务性学科【真题演练】【2015年下半年-高级中学-选择题】【例5】20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是（）。A.贝利—克莱因运动B.大众教学C.新数学运动D.PISA项目（国际学生评估项目）第三节概念教学与命题教学(讲义P331）一、概念教学二、命题教学一、概念教学1.数学概念的意义数学概念是一类特殊的概念，是其所反映的事物在现实世界中的空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。例如，平行四边形这个数学概念，“四条边”“两组对边分别平行”就是平行四边形这个概念的本质属性；“圆的概念”，反映了“平面内到定点的距离等于定长的点集”这一圆的本质属性；“方程”的概念，反映了“含有未知数的等式”这一方程的本质属性。一、概念教学1.数学概念的意义数学概念的产生和发展有各种不同的途径：有的数学概念是从它的现实模型中直接反映得来。例如，几何中的点、线、面、体都是从物体的形状、位置、大小关系等具体形象抽象概括得来的；有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得到的。例如，直线这个概念所反映的“直”和“可以无限延伸”等特征是从笔直的条形物体的形象理想化、纯粹化得来的。有一些数学概念是从数学内部的需要产生出来的。例如，为了数的乘法通行，规定一个数与０的积是０。又如，为了把正整数指数幂的运算法则扩充到有理数指数幂，以至实数指数幂，在数学中产生了零指数、负数指数、分数指数、无理数指数等概念。有一些数学概念是根据理论上有存在的可能性而提出来的。例如，自然数集、无限远点、无理数等概念都是在一定的理论基础上提出来的。有些数学概念是在一定的数学对象的结构中产生出来的。例如，多边形的顶点、边、对角线、内角、外角等概念都是从多边形的结构中得来的。一、概念教学2.概念的内涵与外延概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和。概念的外延就是概念所反映的事物的总和。概念的内涵与外延是分别对事物的质和量的规定。内涵越多外延越少：例如：四边形-平行四边形-菱形-正方形（内涵逐渐增多，外延逐渐减少）一、概念教学3.概念间的关系（1）相容关系①全同关系（同一关系或者重合关系）：无理数和无限不循环小数；②交叉关系”：“矩形”和“菱形”；“等差数列”和“等比数列”③从属关系（包含关系）：概念A的外延是概念B的外延的真子集。外延较大的概念叫做属概念，外延较小的概念叫做种概念。正整数这个概念，其属概念可以为整数、有理数、实数、复数，而其种概念可以是正奇数，可以是正偶数，还可以使质数，合数等一、概念教学3.概念间的关系（2）不相容关系①对立关系（反对关系）在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延之和小于属概念的外延，而且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为反对关系或者对立关系。一、概念教学3.概念间的关系（2）不相容关系②矛盾关系在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概念的外延，而且这两个种概念具有全异关系，那么这两个种概念的关系为矛盾关系。一、概念教学4.概念的定义（1）定义的结构任何定义都是由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。被定义项就是其内涵被揭示的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来联接被定义项和定义项的，常用的定义联项：“是”、“叫做”、“称为”等等。例如：三条边都相等的三角形是等边三角形。一、概念教学4.概念的定义（2）定义的方法①属加种差定义法（最常用的定义方式）对某一概念有若干属概念，从最邻近的属概念出发来定义，即把被定义的概念归入另一个较为普遍的概念（属概念）。被定义的概念=最邻近的属概念+种差。概念的种差，就是在同一个属概念里，一个种概念与其他种概念之间本质属性的差别。例如：有一个角是直角的平行四边形是矩形。例如：一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形”。邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式：（1）发生式定义方法。它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差来下定义的。例如，“在平面内，一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做圆”即是发生式定义。在其中，种差是描述圆的发生过程。（2）关系定义法。它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。例如，。即是一个关系定义概念。一、概念教学4.概念的定义（2）定义的方法②揭示外延的定义方法数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的定义。例如（逆式定义法）实数是有理数和无理数的总称。整数和分数统称为有理数。正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等例如（约定定义法）一、概念教学5.概念的教学（1）注重从多角度揭示概念的内涵（2）形成概念体系（3）加强概念的应用二、命题教学4.命题教学的一般过程（1）引入命题（2）证明命题（3）明确命题（4）巩固命题（5）灵活运用命题