nullnull§2.2 函数的求导法则 求导数的方法称为微分法. 用定义只能求出一些较简单的函数的导数(常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数), 对于比较复杂的函数则往往很困难. 本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则. 借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数, 从而使初等函数的求导问
题
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系统化, 简单化。一、函数四则运算的求导法则 定理1: 如果函数u(x), v(x)在点x处可导, 则它们的和, 差, 积, 商(分母不为零)在点x处也可导, 并且null证(3): (1), (2)证明略.null 注①: 公式(1)和(2)可推广到任意有限个可导函数的情形:注②: 作为公式(2)的特殊情况即常数因子可以提到导数符号的外面.null再由公式(1)得: 即线性组合的导数等于导数的线性组合——说明求导是一线性运算.注③: 作为公式(3)的一种特殊情况例1:解:例2:解:null例3:解:同理可得:即例4:解:同理可得:即null例5:解:所以null1、反函数的求导法则 定理2: 如果函数x=f (y)在区间 Iy 内单调可导, 且
f ’(y)0, 那么它的反函数y=f -1(x)在区间 Ix={x|x=f (y), yIy }内也可导, 且即: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 证: 由于函数x=f (y)在区间 Iy 内单调可导(因而连续), 则它的反函数y=f -1(x)存在, 且f -1(x)在区间 Ix内也单调且连续. 任取 xIx, 给x以增量x(x0, x+xIx).由y=f -1(x)的单调性可得:y = f -1(x+x) – f -1(x) 0于是有§2.3 反函数和复合函数的求导法则null因y=f -1(x)连续, 故从而例1:解:null同理可得即例2:特别地即null2、复合函数的求导法则 前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经有限次四则运算的结果——的导数, 但是像等函数(复合函数)是否可导, 可导的话, 如何求它们的导数. 先看一个例子.解: 这里我们是先展开, 再求导. 若像 y = (1–x2)1000 求导数, 展开就不是办法. 所以null 由以上两例可见, 由 y=f(u), u=(x)复合而成的函数y=f[(x)]的导数 yx, 恰好等于y对中间变量u的导数
yu与中间变量u对自变量x的导数 ux的乘积, 注意到: 仔细分析一下, 这三个函数同样都为复合函数, 我们从复合函数结构的角度来分析一下上例的结果.null——这就是复合函数求导数的链式法则. 定理3: 如果函数u=(x)在点x处可导, 而 y=f(u)在点u=(x)处可导, 则复合函数 y=f[(x)]在点x处可导, 且其导数为或 即: 复合函数因变量对自变量求导, 等于因变量对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导(链式法则). 即所以null 由于u=(x)在点x处可导, 则必在此点处连续, 所以当x0时,必有u0, 故所以注1. 链式法则——“由外向里, 逐层求导”;注2. 注意适当选择中间变量. 推广: 设y=f (u), u=(v), v=(x), 满足定理3的条件,则复合函数 y=f {[(x)]}的导数为:null例4: 求函数 y = ln sin x 的导数.解: 设 y = ln u, u = sin x,所以例5: 求函数 y = (x2+1)10 的导数.解:null解:例8: 求函数 y = sh x 的导数.即同理可得null的导数.例9: 求幂函数y = x 的导数.即解:null解: y = sn, s = f(t), t = un, u = (v), v = sin w, w = xn. 注1. 在复合函数求导中, 符号(sin xn)与[(sin xn)]
有严格的差异, 前者是对中间变量 v = sin xn求导, 而后者是对最终自变量x求导. 必须引起足够的重视.
注2. 基本初等函数的导数公式和上述求导法则是初等函数求导运算的基础, 必须熟练掌握.
注3. 复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱, 要深刻理解, 熟练应用——注意不要漏层.例11: 求函数 y = f n[ n (sin xn)]的导数.null 注4. 对于分段函数求导问题: 在定义域的各个部分区间内部, 仍按初等函数的求导法则处理, 在分界点处须用导数的定义仔细分析, 即分别求出在各分界点处的左、右导数, 然后确定导数是否存在.解: 当 x 0 时,当 x = 0 时,null即所以则3、初等函数的求导问题1. 常数和基本初等函数的导数公式null2. 函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x), v=v(x)可导, 则null 利用上述公式及法则, 初等函数求导问题可完全解决. 且初等函数的导数仍为初等函数.4. 双曲函数与反双曲函数的导数3.复合函数的求导法则 如果y=f(u)而u=(x)满足条件, 则复合函数y=f[(x)]的导数为:或null五、小结1. 在四则运算求导法则中, 注意: 5. 求分段函数求导时, 分界点处的导数注意用左右导数.2. 反函数的求导法则(注意成立条件). 3. 在复合函数的求导法则中, 注意函数的复合过程, 合理分解正确使用链导法.4. 初等函数都可以利用上述三个法则求其导数.关键: 正确分解初等函数的复合结构.null思考题 若f (u)在点u0处不可导, u=g(x)在点x0处可导, 且u0=g(x0), 则f [g(x)]在点x0处( ).
(1)必可导; (2)必不可导; (3)不一定可导.思考题解答正确的选择是(3).反例: f (u)=|u|在u=0处不可导. (2) 取g(x)=x2, 在x=0处可导.
但 f [g(x)]=|x2|=x2在x=0处可导.(1) 取g(x)=x, 在x=0处可导.
但 f [g(x)]=|x|在x=0处不可导.(1)×(2)×
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