第六章 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和（09年9月最新更新）

七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供Word版教学资源 第六章 数列 第一节 等差数列、等比数列的概念及求和 第一部分 五年高考体 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 荟萃 2009年高考题 一、选择题 1.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B 2.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。 【答案】B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解析】由得得,再由得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63 【解析】故选C. 或由, 所以故选C. 5.（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于 A．1 B C.- 2 D 3 【答案】：C [解析]∵且.故选C 6.（2009辽宁卷文）已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝ A.－2 B.－ C. D.2 【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 ( d＝－ 【答案】B 7.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100 8.（2009宁夏海南卷文）等差数列的前n项和为，已知，,则 A.38 B.20 C.10 D.9 【答案】C 【解析】因为是等差数列，所以，，由，得：2－＝0，所以，＝2，又，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10，故选.C。 9..（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和 二、填空题 10.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则= 答案 24 解析 是等差数列,由,得 . 11.（2009浙江理）设等比数列的公比，前项和为，则 ． 答案：15 解析 对于 12.（2009北京文）若数列满足：，则 ；前8项的和 .（用数字作答） 答案 225 解析 本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题. 属于基础知识、基本运算的考查. ， 易知，∴应填255. 13.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{}的前n项和为。若，则= × 答案：3 解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3 14.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若则 解析 为等差数列， 答案 9 15.（2009辽宁卷理）等差数列的前项和为，且则 解析 ∵Sn＝na1＋n(n－1)d ∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d ∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4 答案 三、解答题 16.（2009浙江文）设为数列的前项和，，，其中是常数． （I） 求及； （II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值． 解（Ⅰ）当， （） 经验，（）式成立， （Ⅱ）成等比数列，， 即，整理得：， 对任意的成立， 17.（2009北京文）设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值. （Ⅰ）若，求； （Ⅱ）若，求数列的前2m项和公式； （Ⅲ）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由. 【解析】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、 分类讨论等数学思想 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ．本题是数列与不等式综合的较难层次题. 解（Ⅰ）由题意，得，解，得. ∴成立的所有n中的最小整数为7，即. （Ⅱ）由题意，得， 对于正整数，由，得. 根据的定义可知 当时，；当时，. ∴ . （Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式及得. ∵,根据的定义可知，对于任意的正整数m 都有 ，即对任意的正整数m都成立. 当（或）时，得（或）， 这与上述结论矛盾！ 当，即时，得，解得. ∴ 存在p和q，使得； p和q的取值范围分别是，.. 18.(2009山东卷文)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 求数列的前项和 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得, 当时,, 当时,, 又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以 （2）当b=2时，, 则 相减,得 所以 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和. 19.（2009全国卷Ⅱ文）已知等差数列{}中，求{}前n项和. 解析：本题考查等差数列的基本性质及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解。 解：设的公差为，则 即 解得 因此 20.（2009安徽卷文）已知数列{} 的前n项和，数列{}的前n项和 （Ⅰ）求数列{}与{}的通项公式； （Ⅱ）设，证明：当且仅当n≥3时，＜ 【思路】由可求出，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出后，进而得到，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法。 【解析】(1)由于 当时, 又当时 数列项与等比数列,其首项为1,公比为 (2)由(1)知 由即即 又时成立,即由于恒成立. 因此,当且仅当时, 21.（2009江西卷文）数列的通项，其前n项和为. (1) 求; (2) 求数列｛｝的前n项和. 解: (1) 由于,故 , 故 () (2) 两式相减得 故 22. （2009天津卷文）已知等差数列的公差d不为0，设 （Ⅰ）若 ,求数列的通项公式； （Ⅱ）若成等比数列，求q的值。 （Ⅲ）若 （1）解：由题设， 代入解得，所以 （2）解：当成等比数列，所以，即，注意到，整理得 （3）证明：由题设，可得，则 ① ② ①-②得， ①+②得， ③ ③式两边同乘以 q，得 所以 （3）证明： = 因为，所以 若，取i=n， 若，取i满足，且， 由（1）（2）及题设知，，且 1 当时，，由， 即， 所以 因此 2 当时，同理可得因此 综上， 【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 解决问题的能力。 23. （2009全国卷Ⅱ理）设数列的前项和为 已知 （I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。 解：（I）由及，有 由，．．．① 　则当时，有．．．．．② ②－①得 又，是首项，公比为２的等比数列． （II）由（I）可得， 数列是首项为，公差为的等比数列． ， 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找． 第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以． 总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 24. （2009辽宁卷文）等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 （1）求{}的公比q； （2）求－＝3，求 解：（Ⅰ）依题意有 由于 ，故 又，从而 5分 （Ⅱ）由已知可得 故 从而 10分 25. （2009陕西卷文）已知数列满足， . 令，证明：是等比数列； (Ⅱ)求的通项公式。 （1）证 当时， 所以是以1为首项，为公比的等比数列。 （2）解由（1）知 当时， 当时，。 所以。 26.（2009湖北卷文）已知{an}是一个公差大于0的等差数列， 且满足a3a6＝55, a2+a7＝16. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式： （Ⅱ）若数列{an}和数列{bn}满足等式：an＝＝，求数列{bn}的前n项和Sn 解（1）解：设等差数列的公差为d，则依题设d>0 由a2+a7＝16.得 ① 由得 ② 由①得将其代入②得。即 （2）令 两式相减得 于是 =-4= 27. （2009福建卷文）等比数列中，已知 （I）求数列的通项公式； （Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。 解：（I）设的公比为 由已知得，解得 （Ⅱ）由（I）得，，则， 设的公差为，则有解得 从而 所以数列的前项和 28（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分） 已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设为数列的前项和，求证：； （Ⅲ）求证：． 解：（Ⅰ），所以 （Ⅱ）由得即 所以当时，于是 所以 （Ⅲ）当时，结论成立 当时，有 所以 2005——2008年高考题 一、选择题 1.（2008天津）若等差数列的前5项和，且，则( ) A.12　　 　 　B.13　　　 　　C.14　　 　　 D.15 答案 B 2.（2008陕西）已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于（ ） A．64 B．100 C．110 D．120 答案 B 3.（2008广东）记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．16 B．24 C．36 D．48 答案 D 4.（2008浙江）已知是等比数列，，则=（ ） A.16（） B.6（） C.（） D.（） 答案 C 5.（2008四川）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是() A.　　　　　 B.　 C.　　　　　 D. 答案 D 6.（2008福建)设｛an｝是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（2007重庆）在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（　　） A．2 B．3 C．4 D．8 答案 A 8.（2007安徽）等差数列的前项和为若（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 答案 B 9.（2007辽宁）设等差数列的前项和为，若，，则（　　） A．63 B．45 C．36 D．27 答案 B 10.(2007湖南) 在等比数列（）中，若，，则该数列的前10项和为（　　） A． B． C． D． 答案 B 11.(2007湖北)已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 答案 D 12.(2007宁夏)已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（　　） A．3 B．2 C．1 D． 答案 D 13.(2007四川)等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 答案 B 14.（2006湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且，则 A．4 B．2 C．－2 D．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数成等差数列可设a＝b－d，c＝b＋d，由可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又成等比数列可得d＝6，所以a＝－4，选D 15.（2005福建）已知等差数列中，的值是 （ ） A．15 B．30 C．31 D．64 答案 A 16.（2005江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( ) A .33 B. 72 C. 84 D .189 答案 C 二、填空题 17.（2008四川）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为______. 答案 4 18.（2008重庆)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= . 答案 -72 19.(2007全国I) 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　． 答案 20.（2007江西）已知等差数列的前项和为，若，则 ． 答案 7 21.（2007北京）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项． 答案 22.（2006湖南）数列满足：，2，3….则　　　　　　. 答案 解析 数列满足： ，2，3…，该数列为公比为2的等比数列， ∴ . 三、解答题 23.（2008四川卷）． 设数列的前项和为，已知 （Ⅰ）证明：当时，是等比数列； （Ⅱ）求的通项公式 解 由题意知，且 两式相减得 即 ① （Ⅰ）当时，由①知 于是 又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。 （Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即 当时，由由①得 因此 得 24.（2008江西卷）数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，. （1）求； （2）求证. 解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数， ， 依题意有① 由知为正有理数，故为的因子之一， 解①得 故 （2） ∴ 25..（2008湖北）.已知数列和满足： ,其中为实数，为正整数. （Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； （Ⅲ）设,为数列的前项和.是否存在实数，使得对任意正整数，都有 ?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由. 本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分） （Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3,即 矛盾. 所以｛an｝不是等比数列. (Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(an-2n+14) =(-1)n·（an-3n+21）=-bn 又b1x-(λ+18),所以 当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b1=(λ+18) ≠0,由上可知bn≠0，∴(n∈N+). 故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知bn= -（λ+18）·（－）n-1，于是可得 Sn=- 要使a3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小. 且…………………………13分 9月份更新 一、选择题 1.（2009滨州一模）等差数列中，，，则的值为 A．15 B．23 C．25 D．37 答案 B 2.（2009上海十四校联考）无穷等比数列…各项的和等于 （ ） A． B． C． D． 答案B 3.（2009聊城一模）两个正数a、b的等差中项是5，等比例中项是4，若a>b，则双曲线的离心率e等于 （ ） A． B． C． D． 答案B 二、填空题 1.（2009上海十四校联考）若数列为“等方比数列”。则“数列是等方比数列”是“数列是等方比数列”的 条件 2.（（2009上海八校联考）在数列中，，且，_________。 答案 2550 三、解答题 1.（2009滨州一模）已知曲线过上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中． （I）求与的关系式； （II）令，求证：数列是等比数列； （III）若（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有cn+1＞cn成立。 (1) 解：过的直线方程为 联立方程消去得 ∴ 即 （2） ∴是等比数列 ，; （III）由（II）知，，要使恒成立由=＞0恒成立， 即（－1）nλ＞-（）n－1恒成立． ⅰ。当n为奇数时，即λ<（）n－1恒成立． 又（）n－1的最小值为1．∴λ<1． 10分 ⅱ。当n为偶数时，即λ>－（）n-1恒成立， 又－（）n－1的最大值为－，∴λ>－． 11分 即－<λ<1，又λ≠0，λ为整数， ∴λ＝－1，使得对任意n∈N*,都有． 12分 2.（2009上海青浦区）设数列的前和为，已知，，，， 一般地，（）． （1）求； （2）求； （3）求和：． （1）； ……3分 （2）当时，（） ， ……6分 所以，（）． ……8分 （3）与（2）同理可求得：， ……10分 设=， 则，（用等比数列前n项和公式的推导方法），相减得 ，所以 ． ……14分 3.（2009上海八校联考）已知点列顺次为直线上的点，点列顺次为轴上的点，其中，对任意的，点、、构成以为顶点的等腰三角形。 （1）证明:数列是等差数列； （2）求证:对任意的，是常数，并求数列的通项公式； （3）对上述等腰三角形添加适当条件，提出一个问题，并做出解答。 （根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分） 解: (1)依题意有,于是. 所以数列是等差数列. 　　　　　　　　.4分 (2)由题意得,即 , () ① 所以又有. ② 由②①得：,　所以是常数．　　　　　　　６分 由都是等差数列. ，那么得 , . ( ８分 故 　　 1０分 (3) 提出问题①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出实数 提出问题②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出实数 解：问题① 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分 当为奇数时,,所以 当为偶数时,所以 　　　　 作轴,垂足为则,要使等腰三角形为直角三角形,必须且只须：. 　　　　　　　　　　　　１３分 当为奇数时,有,即 ① ， 当, 不合题意.15分 当为偶数时,有 ，,同理可求得 当时,不合题意. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1７分 综上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,的值为或或. 　　　　　　　 1８分 解：问题② 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　1１分 当为奇数时,,所以 当为偶数时,所以 　　　　 作轴,垂足为则,要使等腰三角形为正三角形,必须且只须：. 　　　　　　　　　　　　１３分 当为奇数时,有,即 ① ， 当时，. 不合题意．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　15分 当为偶数时,有 ，,同理可求得 . ；；当时，不合题意．1７分 综上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值为 ；；　；1８分 2007——2008年联考题 一、选择题 1.（ 上海市部分重点中学高三第一次联考） 等差数列的前n项和当首项和公差d变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是―――――――――（ ） A、 B.S C、 D、 答案 B 2.(山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试) 各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（ ） A． B． C. D．或 答案 C 3.(湖南省2008届十二校联考第一次考试)在等比数列 （ ） A． B． C． D． 答案 D 4. (200８年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）)正项等比数列满足,,,则数列的前10项和是 A．65 　　 B．－65 　 C．25 　　D. －25 答案 D 5.. (上海市嘉定一中2007学年第一学期高三年级测试（二）) 等差数列{an}共有2n项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且，则该数列的公差为 （ ） A．3 B－3 C．－2 D．－1 答案 B 二、填空题 6.（江苏省省阜中2008届高三第三次调研考试数学） 在等差数列中，若它的前n项和有最大值，则使取得最小正数的 . 答案19 7.（2007—2008学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷）为等差数列的前n项和，若，则= ． 答案 4 解析： 由，即 ，得． ，．故=4． 8.（山东省潍坊市2008年高三教学质量检测） 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则S19=______________． 答案 190 9.(江西省临川一中2008届高三模拟试题)等差数列有如下性质，若数列是等差数列，则当 也是等差数列；类比上述性质，相应地是正项等比数列，当数列 时，数列也是等比数列。 答案 三、解答题 10..（2008江苏省阜中2008届高三第三次调研考试试题）设集合W是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①； ② M是与n无关的常数． (1)若{}是等差数列，是其前n项的和，=4，=18，试探究与集合W之间的关系； (2)设数{}的通项为，求M的取值范围；(4分) 解 (1)设等差数列的公差是d ，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d =－2， 所以，(2分)， 得适合条件①. (4分)； 又， 所以当n = 4或5时，Sn取得最大值20，即Sn ≤ 20，适合条件②， (3分)， 综上，{}. (1分) (2)因为，(2分)， 所以当n≥3时，，此时数列{bn}单调递减；(1分) 当n = 1，2时，，即b1＜b2＜b3， 因此数列{bn}中的最大项是b3=7，所以M≥7．(3分) 11.(山东省潍坊市2007—2008学年度高三第一学期期末考试)已知数列，设 ，数列。 （1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n项和Sn； （3）若一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。 解：（1）由题意知，……………………1分 ∴数列的等差数列……………………4分 （2）由（1）知， …………………………5分 于是 两式相减得 ……………………8分 （3） ∴当n=1时， 当 ∴当n=1时，取最大值是 又 即……………………12分 12.(武汉市2008届高中毕业生二月调研测试文科数学试题)设数列的前n项和，。 （1）求数列的通项公式；(2)记，求数列前n项和 解：（1）数列的前n项之和 在n=1时， 在时， 而n=1时，满足 故所求数列通项………………………………（7分） （2）∵ 因此数列的前n项和………………………（12分） 13.(2007届岳阳市一中高三数学能力题训练汇编)已知点都在直线上，为直线与轴的交点，数列成等差数列，公差为1.　（） (1)求数列，的通项公式； (2)若 ， 问是否存在，使得成立；若存在，求出的值，若不存在，说明理由. (3)求证： …… + (2, ) 解 (1) (2) 假设存在符合条件的 (ⅰ)若为偶数，则为奇数，有 如果，则与为偶数矛盾.不符舍去； (ⅱ) 若为奇数，则为偶数，有 这样的也不存在. 综上所述：不存在符合条件的. (3) 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载