第 26卷 第 6期
2010年 6月
赤 峰 学 院 学 报 (自然 科 学 版 )
Journal of Chifeng University(Natural Science Edition)
Vo1．26 No．6
Jun．2010
积分中值定理的应用
刘俊先
(邢台学院
数学
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系，河北 邢台 054001)
摘 要：通过实例说明，积分中值定理可用于确定数列及函数极限、判别级数的收敛性、考察函数零点
的分布、
证明
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积分不等式．
关键词：积分中值定理；极限；级数；不等式
中图分类号：0172．2 文献标识码：A 文章编号：1673—260X(2010)06—0003—02
定积分是微积分的重要组成部分，积分中值定
理是定积分的重要性质之一。本文通过几个方面的
实例，归纳总结了积分中值定理在确定数列及函数
极限、判别级数的收敛性、考察函数零点的分布、证
明积分不等式几种相关问题中的应用。
1 用于确定数列极限
例1证明 lim f } dx：0．
分析 此数列通项含有定积分，而定积分不易
求出，可用推广的积分第一中值定理【·化解积分．
证 应用推广的积分第一中值定理有
lira 音dx= lim 七 』 xnax
=
一lim』：击 。 一o．
例2m 证明 lim J 旦坠一dx=0，P为某实数．
分析 此数列通项含有变限积分，而被积函数
属于“积不出”的类型，可用积分第一中值定理【-】化
解积分．
证明 由积分第一中值定理，有 i dx=
·p，专 为介于n与n+p之间的某值，则
≤ ≤j
n+一
p或}≥ ≥jn+一p，而lsin ≤ n 毛n n 毛n
l，由无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量及迫
敛性得lim f dx=0．
2 用于确定函数极限
例 3 设函数 f(x)连续，且 f(0)≠0，求极限lim
J。(x—t)f(t)dt
r‘ ‘
x J。f(x—t)dt
分析 先作变量替换，然后用罗比塔法则，因为
不能判断 f(0)是否存在，所以不能再用罗比塔法
则，可用积分中值定理．
解 令 x—t=u，
则』 t)dt=』 f(u)d(_u)=I~f(t)dt
因为所求函数极限为 型不定式，由罗比塔法
则及积分中值定理有
im 』 二 im』 !!二』
x』：f(x—t)dt x』：f(x—t)dt
= =
)dt+ ‘9卅 ‘ ’
= l im
f(o)
f(
+
O ) =1
2 ．
此处 考介于 0与 x之间一 f(x)j~ l im f(~)--f
课题项目：河北省教育厅科研立项：探究适应高职培养 目标的高等数学课程体系，立项号：Sz090327
— 3 一
(0)．
3 用于判别级数的敛散性
例4口】设f(x)单调下降且非负，a>l，证明∑f
∞与∑akf(ak)有相同的敛散性．
分析 此题目关键在于：由积分判别法将∑f
(k)的敛散等价于J。t(x)ax的敛散，而将J。f(x)dx
表示为积分项级数，再利用积分中值定理及函数的
非负递减性即可．
证明 f f(x)ax：∑f f(x)d ：∑ ∈k)( l-ak) ‘ k
= 0 a k= 0
、
= (a-1) ∈k)a ，∈k∈(ak,a )
因为f(x)递减非负，0≤ a )≤ 锄≤f(ak)，k=O，1，
⋯
，n ，故
∑f(ak~·ak~·≤ f(x)d ≤(a—1)∑f(ak)ak
a k： o J 1 k：o
这表明 f(x)ax-b
： 。
a k)有相同的敛散性．
另一方面，根据积分判别法，J．。f(x)dx-b∑f(k)有 k
= 0
相同的敛散性．由此既得所要的结论．
4 用于确定函数零点分布
例 5 设函数 f(x)在[a,b]J2连续，(a’b)内可导，
且f f(x)dx= f(a)，证明f’(x)在(a，b)内至少有一
个零点．
分析 确定函数零点分布，一般考虑用连续函
数的零点定理、微分中值定理或积分中值定理．
解 由积分中值定理知，在[ 生'b】上存在
一 点c。，使得I．f(x)ax= f(c。)，从而f(c )= a)，故 |a+b
一 4 一
fix)在区间 a，c。】上满足罗尔定理的条件，因此在(a，C。)
内至少存在一点c，使得f’(c)：0，C∈(a，c。)c(a，b)．
5 用于证明积分不等式
例 6嗍 (各类考研第 114页六)设 f(x)在[a’b]ff_
，b ， t b
连续、单调增加，证明J xf(x)dx~> f f(x)dx．
J 二 0
分析 利用定积分的线性性质、关于区间的可
加性、积分中值定理及函数的单调性证明．
， h ． ，b
证明 因为J xC(x)ax一 b_f fl(x)d】【
： x一丁a+b)f(x)ax
韭
= 』 (x一 x+』 (x一 )f(x)ax
韭
：f(5)J (x一 )d +f( (x一丁a+b)dx
丁
(a≤专·≤丁a+b≤ ≤b)
--f( + 2)
= [f( 一 -)]≥0( x)单调增加)
所以 xf(x)dxI> f(x)dx． 所以J 半 J ．
参考文献 ：
[1]华东师范大学数学系．数学分析(上册)[M]．北京：
高等教育出版社，2001．217-218．
[2]郑英元，毛羽辉，宋国栋．数学分析 习题课教程
『M1．北京：高等教育 出版社，1993．186—187．
[3]李世金，赵洁．数学分析解题方法600例【M卜
春：东北师范大学出版社，1992．321．
[4]刘三阳．各类考研数学全真试题与解答[M】．西
安：西安电子科技大学 出版社，2001．114，252．
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