第十五章习题课

Wuhan University 第十五章 Bessel 函数习题 课 *本章主要内容： *例题分析： 一、贝塞尔函数的有关性质 二、在柱坐标中 的解0=+Δ uu λ0=Δu 0=+Δ uu λ三、在球坐标中 的解 Wuhan University *本章主要内容 一、亥姆赫兹方程和拉普拉斯方程在柱坐标中的解 0=+Δ uu λ ( ) ( ) ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ Φ= )(zZRu ϕρ令0=Δu } ( ) ϕϕϕ nBnAn nnn sincos02 +=Φ→=Φ+Φ′′ 0])[( 222 =−−+′+′′ RnRR ρμλρρ 0=+′′ ZZ μ ),()(,,,0 2 ρρμλμλ Rxykxk ==−=≥− 记时当 )()(0)()()()( 222 xJxyxynxxyxxyx n=→=−+′+′′ ),()(,,,0 2 ρρμλμλ Rxykxk ==−=−<− 记时当 )()(0)()()()( 222 xIxyxynxxyxxyx n=→=+−′+′′ zkzk edeczZ −+=→ 21)(（若 记 ）,0<μ ,2k−=μ （若 记 ）,0>μ 2k=μ kzdkzczZ sincos)( 21 +=→ Wuhan University ⎩⎨ ⎧ = =−+′+′′ 0)( 0)()()()( 2222 aR RnkRR ρρρρρρ 本征值为： L,2,1, == ma xk n mn m 本征函数为： L,2,1),()( == ma xJkR n m nm ρρ 二、本征值问题： ∑∞ = + ++Γ −= 0 2) 2 ( )1(! )1()( k k k x kk xJ νν ν )()1()( xJxJ n n n −=−∫− −= ππ θθ θπ dexJ nxin )sin(21)( *本章主要内容 Wuhan University （1）母函数关系式 )1()( )1( 2 ∑∞ −∞= − = n n n t tx txJe （2）递推公式： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= = + −− − )3()()]([ )2()()]([ 1 1 xJxxJx dx d xJxxJx dx d ν ν ν ν ν ν ν ν )8()( 2 )()( 2 1 2 0 ml n ln n ln a n mn akJ adkJkJ δρρρρ +=∫（3）正交性 （4）广义傅氏展开 ∑∞ = = 1 )()( m n mnm kJcf ρρ ρρρρ dkJf akJa c a n mn n mn m ∫ + = 0 2 1 2 )()( )( 2 1 三、贝塞尔函数的性质 *本章主要内容 Wuhan University 四、球坐标系中亥母霍兹方程的解 ( ) ( ) ( )⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯=+Δ ΦΘ= ϕθλ rRuuu 令0 0)]1([2 22 =+−+′+′′ yllxyxyx ( ) ϕϕϕ mBmAm mmm sincos02 +=Φ=Φ+Φ ′′ ( ) ( ) )(cos0 sin 1sin sin 1 2 2 θθθθθθθ m lp mll d d d d =Θ=Θ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Θ )(0)]1([2 2222 λ==+−+′+′′ kRllrkRrRr⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ )()(, rRxykrx == )( 2 )()( 2 1 xJx xjxy ll + == π 球Bessel方程 *本章主要内容 Wuhan University 一、贝塞尔函数的有关性质 ?)(.1 1 4 =∫ dxxJx cxJxxJx +−= )(2)( 3324 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= = + −− − )3()()]([ )2()()]([ 1 1 xJxxJx dx d xJxxJx dx d ν ν ν ν ν ν ν ν dxxJxxdxxJx )]([)( 1 22 1 4 ∫∫ = dxxJxdxdx )]([ 222∫= ∫−= dxxJxxJx )(2)( 2324 ∫−= dxxJxdxdxJx )]([2)( 3324 法一： *例题分析 Wuhan University 一、贝塞尔函数的有关性质 ?)(.1 1 4 =∫ dxxJx 法二： )()()3( 01 xJxJ ′−=→ dxxJxdxxJx )()( 0 4 1 4 ′−= ∫∫ 4004 )()( dxxJxJx ∫+−= cxJxxJxxJx +−+−= )(8)(4)( 221304 dxxxJxxJx ])([4)( 0 2 0 4 ∫+−= 2 11 3 0 4 )(4)(4)( dxxJxxJxxJx ∫−+−= dxxxJ dx dxxJx ])([4)( 1 2 0 4 ∫+−= 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ：递推公式 *例题分析 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= = + −− − )3()()]([ )2()()]([ 1 1 xJxxJx dx d xJxxJx dx d ν ν ν ν ν ν ν ν Wuhan University 一、贝塞尔函数的有关性质 ?)(.1 1 4 =∫ dxxJx )7()()()(2 11 xJxJxJx +− += ννννQ →+== )()()(2:1 201 xJxJxJxν →+== )()()(2:2 312 xJxJxJxν )(),()( 210 xJxJxJ → )(),()( 321 xJxJxJ → *例题分析 法一： cxJxxJx +−= )(2)( 3324=∫ dxxJx )(14 (A) 法二： dxxJx )(14∫ cxJxxJxxJx +−+−= )(8)(4)( 221304 (B) 故 (B) (A) Wuhan University 0?,)(.2 0 0 >== ∫∞ − adxbxJeI ax 22 1 ba += dxdeeI ibxax ∫∫ −∞ −= ππ θ θπ sin0 21 θπ π π θ dxde xiba∫ ∫− ∞ −−= 0 )sin(21 θθπ π π diba∫− −= sin121 ∫ = −−= 1 2 )1( 2 1 2 1 z iz dz z z baπ ∫ = −− −= 1 2 2 11 z dz bazbziπ ]),([21 22 b baazfires i +−⋅−= ππ b baaabz 2222 12 +−−−= 一、贝塞尔函数的有关性质 ∫−= ππ θ θπ dexJ ibxsin0 21)( ∫− −= ππ θθ θπ dexJ nxin )sin(21)( θiez =令 知识点：贝赛尔 函数地积分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 *例题分析 Wuhan University ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −= −+= ∑ ∑ ∞ = + ∞ = 1 12 1 20 )()1(2sin )()1(2)(cos .3 m m m m m m xJx xJxJx 试证： 分析： xixeix sincos += )1()( )1( 2 ∑∞ −∞= − = n n n t tx txJe )1( 2 t txix ee −=只要 itt =−→ ) 1( 2 1 0122 =−−→ itt it =→ 一、贝塞尔函数的有关性质 *例题分析 Wuhan University 证明： )1()() 1( 2 ∑∞ −∞= − = n n n t tx txJe 则令 ,it = ∑∑∑ ∞ = −∞ −= ∞ −∞= ++==→ 1 0 1 )()()()()1( n n n n n n n n n ix ixJxJixJixJe )()(2 0 1 xJxJi n n n +=∑∞ = )(])(1)([ 0 1 xJixJ i xJ nn n nn ++=∑∞ = − )()(] 1)1[( 0 1 xJxJi i n n n n n ++−=∑∞ = ∑∑ ∞ = + + ∞ = ⋅++⋅= 1 12 120 1 2 2 2)()(2)( m m m m m m ixJxJixJ ∑∑ ∞ = + ∞ = −+−+= 1 12 1 20 )()1(2)()1(2)( m m m m m m xJixJxJ xix sincos += 一、贝塞尔函数的有关性质 知识点：贝赛尔函 数，母函数关系 *例题分析 ∑∞ = −+= 1 20 )()1(2)(cos m m m xJxJx ∑∞ = +−= 1 12 )()1(2sin m m m xJx Wuhan University 展开。上按在将 )(],0[.4 1 1 ρρ a xJa m ,)( 1 1 1∑∞ = = m mm kJc ρρ ρρρ dkJakJa c a m m m ∫= 0 112 12 2 2 )( )( 2 1 )()()( )( 1)( 1 0 1 1 21 310 1 1 2 ρρρρρρ ma mm m a m kdkJkk dkJ ∫∫ = dxxJx dx d k ak m m ])([ )( 1 1 0 2 2 31 ∫= )()()( 1 122131 akJakk mmm= )( 2)( )( 2 1 2 11 1 2 2 12 2 2 mmm m m m xJx a k akJa akJa c =⋅= 一、贝塞尔函数的有关性质 ∑∞ = = 1 1 2 1 1 1 )( )(12 m m m m xJ a xJ x a ρ ρ 知识点：贝赛尔函数展开公式，递推公式 *例题分析 Wuhan University 二、在柱坐标中 的解0=+Δ uu λ 1. 圆柱型空腔内电磁振荡的定解问题为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ∂ = ==+Δ = = )3(0 )2(0 )1(,0 ,0 lz ar z u u c uu ωλλ 试证电磁振荡的固有频率为 22 0 )()( l n a xcc mnm πλω +== *例题分析 Wuhan University 证明： )()(),( zZRzu ρρ =令 ⎩⎨ ⎧ =−−+′+′′ =+′′→ )5(0]0)[( )4(0 )1( 22 RRR ZZ ρμλρρ μ )7( 0)( 0)0( )3();6(0)()2( ⎩⎨ ⎧ =′ =′→=→ lZ Z aR 求解(5),(6)： L,2,1,)( 2 0 2 ===− m a xk mμλ 二、在柱坐标中 的解0=+Δ uu λ *例题分析 Wuhan University 求解(4)，(7)： L,2,1,0,2 22 == n l n πμ :λ求 L,2,1,)()( 2 22 2 0 2 0 =+=+= m l n a x a x mm πμλ LQ ,2,1,)( 2 0 2 ===− m a xk mμλ λω cnm = 22 0 )()( l n a xc m π+= 二、在柱坐标中 的解0=+Δ uu λ 知识点：本征值问题 *例题分析 Wuhan University 2.一半径为a高为h的均匀圆柱体，其下底和侧面保持 温度为零度，上端温度为 ，求柱内的稳定温度分 布。 0u *例题分析二、在柱坐标中 的解0=+Δ uu λ （课堂上已讲） ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = = ≤≤=Δ )4(),( )3(0)0,( )2(0),( )1(,0,0 0uhu u zau au ρ ρ ρ X Z Y h a *例题分析 Wuhan University 二、在柱坐标中 的解0=+Δ uu λ 3.一半径为a高为h的均匀圆柱体，其上、下底面保持 温度为零度，而侧面温度为 ，试求柱内的稳定温度 分布。 0u X Z Y h a ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = = ≤≤=Δ )4(0),( )3(0)0,( )2(),( )1(,0,0 0 hu u uzau au ρ ρ ρ （课堂上已讲） *例题分析 Wuhan University 三、在球坐标中 的解0=+Δ uu λ 的变化。持为零度，求球内温度冰水中，使球面温度保 ，将它放在来的温度为的均匀导热介质球，原、半径为 01 ua ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = → =Δ−∂ ∂ = = = )4( )3(0 )2( )1(0 00 0 uu u u uD t u t ar r 有限 a 0u o0 （课堂上已讲） *例题分析 Wuhan University Good-by! *例题分析