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(完整版)(完整版)2018年(第59届)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题及答案图片版第五十九届国际数学奥林匹克(2018年)岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天«1.设I、赴眦用三角砒的外44圈■点D和E4线役人〃,人"上・«t/3f/ID=4E,HD^CE的•克羊分线和「上劣弧ABAC分別文于点F.G.itmzkVi.DE*>FG1合載半ft•題2・求所有的整软“23.便俗存在实软■…・・5+2・滿足"“仪=1・使碍对每个^Kr>.V.«i.02.,Q*l“,«H—+—+・••+・■■■・+—。2°35<1|杯聂怙粒・证明:存在正蟄软M.使碍a炳二对所有整软汝上M杯艮止・&6・在凸wriJfMBCDt.A...

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第五十九届国际数学奥林匹克(2018年)岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天«1.设I、赴眦用三角砒的外44圈■点D和E4线役人〃,人"上・«t/3f/ID=4E,HD^CE的•克羊分线和「上劣弧ABAC分別文于点F.G.itmzkVi.DE*>FG1合載半ft•題2・求所有的整软“23.便俗存在实软■…・・5+2・滿足"“仪=1・使碍对每个^Kr>.V.«i.02.,Q*l“,«H—+—+・••+・■■■・+—。2°35<1|杯聂怙粒・证明:存在正蟄软M.使碍a炳二对所有整软汝上M杯艮止・&6・在凸wriJfMBCDt.A13CD-liCDA•点X/1旧边刑力〃CD内邹.且爲足ZXAB=£XCD・£X13C=Z.YD4证明:ZB.Y.4・£DXC180°.第五十九届国际數学奥林匹克(2018年)岁马尼亚克卢a纳波卡第一天&1・itr曼規角三佝刑的外按圖•点。如E庄上,it^AD-AE.RD^CE的金A丰分圾和「上劣弧分別支于点F.O诵明:丘傀DE和FG宜合我平行・«&<)迄明:HFG分刖文AD.AC于工¥・TOC\o"1-5"\h\zDE||FGiX=AYo£AXY=£AYXq応+鋅=伸+&(1)A知图仪FS||A",GT||AC9尺中S.TAO上.(D^AG-CG^AF-BF^GT'^F^(2)由于F"・FD.4FS||AI39比ZFDHhZFBD・ZSAB.it*>fc>FD||AS.^FS||AD.it^ADFS是平片B边财.^H^^AEGT・于是GT=片£=/!"=FS.即七亍=昂・i£毕.&2・求所育的整敷“23・ftflf实ftg<12•…4n+2・A足"n+l二二Q.(1卄2■“2<*冋2*1-df>3(D对■1,2■…m2・(44M)W:所求的"为3|儿所以TOC\o"1-5"\h\znvbit£+为心1=12叫l«>4J•»l•*>t«l炜合©■③如itIt=0imlftJ2(at•=0所以nt=Qf0na.=❼卄“>3{n=^at=O|4.|=>Gg»矛盾.故3|〃・«3.反忖斯卡三倉彩是由微加成的一个正三血彫阵•满足除了最下方一疔.*个敘足它下方柏邻两个铁之&的纶対值・例如.下而是一个四忡的反柏斯卡三鳥由H1«10俎贞.42657183109请问走否存庄2()18忖的反袖斯卡三角前.包含1纠1+2+・・・+2018所有的蹩典?(F炜〉M:蹩/糾1]it刃行反帕噺卡三角的中的做为囂■丿「=I•…•“;j=1.・・・「・尺逼推方悝为xm=1才・和丿-d令(1]»析为“一疔的呛一的软.递推定义血血.2<1.Vn>rwn+皿盹“+・・・+叫>1+2+••・+〃可舫爭号必热战立.fi合前面的传计.<6i=moaf=sA/t剂且有关于的仕计力七0臥刀41)/2-(1+2+・・・+几一0=(2“一i+l”/2(1)Sn={】・2•…・”},Be={n{n+1)/2-jj=(k1•…・“}Sw<*小的川个做.B小“的”+1金4U巳舫等疔有一介S.中的欽(即®人齐机(AV")行有两个“歼中的仏例如-T*.-Tfcj€Bn.i<}•中絞大MATfti.絞小做*于S「“+1小現“”1申統大做属于久.较小ft属于*•体合M面*片只有一个S■中的It.必有<+188>•珂札・・€Bn.班+1』+1€Szxfc>i,.^3€B“就是说it腐个“n中的waft中位耳必黒恂伟.>XH*A+1ft也出观腐卜〃八中做.梧标冋隔为1.若要不与剛刚汪刖的相4M1矛鹰・只忆是A=”一h齐第"挣有腐俎相邻的“科中的做•例如“小“小」“"“.1・时xn-l.t—I^R.itl—XR.||€S”•才n-2=ktij"—€S"与徽“1侑不絶有的个S.中缴#盾・卜案.&几疔不徒有两値相籽的B”中毀.根擔轴屈原別•可知第H疔至多有”/2+l金乩.中铁•总的来说.^k(kK.W.LiliandT・C・Shk・h.“ExactDiflerence1Yiangl<<\BulkiinofthebuaituteofMathematicsAcademiaSinica.Volume5.Number1.Junr1977第二天JU4.典们短谓一个1・使再対毎个蹩隸〃2"・諒是弘做・>£明:存庄正蹩做".便得%・=心卄|廿所有蹩软皿2対那此立.适明:将时应于外和”+1的两个人于相电可以埒別.M所有『(2N・«n.如・1「7+——€厶Ofi-^t<>i5<»n414.1-«n)N议(1)的療囚子鼻合为P.殆—为%貴大的与<1]互索的园于.即g的不息P中的余软*次因子翼帜.显朋(此・如)=1由(J.°«41InawfiIaw砂此jV)4AtttATtft.il/>€P%(aJ.%3卄J>M(Ol)»(如.1)=丄Vp(nn>i)=l>(«n)<>(0*41)-<>(«!)哎种卅砒才絶文他发土.対〃2・\'・弄卅砒(3甘经发生.则以后的骨砒(J迥寸许等价.达时t>(oJ>ltMTi>(ai):苦悄射10不*发土.时于另外三什悄外.饨对卩(叭)|不增.凶此枚效于非家倉整ft楼证当°("“])-<>(0|)与作(各)一作("1)异号时.何中*并不成.立因此—(%)-%((!')枚比即片(g)收放十常软片卩中的有F*个fttp.Man)tf4tM于*软・园比g申P的索HI子<次来奴邯分<1八/必收效.处合前面所证“:的枚敛It.可收鉄.丹存在足的大>Al.<%"=l«l)%H/BXOZXBY.W/?X?|Oi42+血+2■o?+j所以IBRVI刀<1上・.2++52*2-爲<3>««1i«ltwl
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