小学奥数-等积变形与一半模型习题集

等积变形与一半模型习题集【例1】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．（1）求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？（2）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ABCD【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等．于是：三角形ABD的面积12高26高三角形ABC的面积（124）高28高三角形ADC的面积4高22高4所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍．【例2】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是（）平方厘米．ABEFDC【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326(平方厘米)．【例3】如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米．【例4】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．ABFEDC【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为120121202．【例5】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH、CH．∵AEEB，SS∴△AEH△BEH．SSS=S同理，△BFH△CFH，CGHDGH，11S阴影S长方形ABCD5628∴22【例6】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．【解析】特殊点法．由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形11的面积分别占正方形面积的4和6，所以阴影部分的面积为1162()1546平方厘米．【例7】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．AFEBCD【解析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24212，三角形ADE又是三角形ADC面积的一半1226．三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积623．【例8】如图所示，A、B、C都是正方形边的中点，△COD比△AOB大15平方厘米。△AOB的面积为()平方厘米。CAOEBDSSSSS15cm2S7.5cm2【解析】CODABOBCDABDABD，所以，ABO。【例9】如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2ANBN.那么，阴影部分的面积是多少？1【解析】连接BM，因为M是中点所以△ABM的面积为4又因为2ANBN，所1111以△BDC的面积为4312，又因为△BDC面积为2，所以阴影部分1151的面积为：12212.【例10】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．121AB【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则12364，241CD24483，11111MN(12243648)5(cm2)所以3412，阴影部分面积为212。【例11】如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE的面积是．SSS8928117【解析】根据题意可知，ADCADEDCE，BD:ADS:S26:1172:9所以BDCADC，S:SBD:AD2:9那么DBEADE，2227SDBE89(901)2019故9999。【例12】如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分．三角形BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD的面积．ADBC【解析】如右图，作AB的平行线DE．三角形BDE的面积与三角形ABD的面积相等，三角形DEC的面积就是三角形BDC与三角形ABD的面积差(10平方分米)．从而，可求出梯形高(三角形DEC的高)是：21054(分米)，梯形面积是：154230(平方分米)。2【例13】图中AOB的面积为15cm，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积．ADOBC22SAOB15cmOB3ODSAODSAOB35cm【解析】在ABD中，因为，且，所以有．ACDSABDSACD因为ABD和等底等高，所以有．S15cm2S3S45cm2从而OCD，在BCD中，BOCOCD，所以梯形面积：215515458（0cm）。【例14】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的215%，黄色三角形面积是21cm．问：长方形的面积是多少平方厘米？黄红红绿【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形2面积的50%15%35%．已知黄色三角形面积是21cm，所以长方形面2积等于2135%60（cm）。【例15】有如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形BPC的面积是15，求阴影BPD的面积．【解析】连接AC交BD于O点，并连接PO．如下图所示，可得PO//DC，所以DPO与CPO面积相等(同底等高)，所以有：SSSSSBPOCPOBPOPDOBPD，11SS205BOCABCDS15510因为44，所以BPD。【例16】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD12厘米，DE3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？AEBCD【解析】因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高，于是：三角形ABC的面积BC122BC6三角形EBC的面积BC32BC1.5所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍．【例17】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？AFDEBC【解析】△AEC、△AFC、△ABF．【例18】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？SBD1ABDSBC2【解析】ABD，ABC等高，所以面积的比为底的比，有ABC,11S18090SABC所以ABD=22(平方厘米)．同理有AE1FE3SABESABD9030SAFESABEAD3(平方厘米)，BE43022.5(平方厘米)．即三角形AEF的面积是22.5平方厘米．【例19】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB24厘米，BC8厘米，求三角形ZCY的面积．DCZYAB111ZYDBSZCYSDCB【解析】∵Y是BD的中点，Z是DY的中点，∴22，4，111SZCYSDCBSABCD24又∵ABCD是长方形，∴442(平方厘米)．【例20】如图，在三角形ABC中，BC8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？AFEBC【解析】∵F是AC的中点S2S∴ABCABFS2S同理ABFBEFSS486246∴BEFABC(平方厘米)．【例21】图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米。连接BE交AD于P，再连接PC。则图中阴影部分的面积是()平方厘米。FEAPDBCSS【解析】如图,连接AE，BD。因为AD∥BC，则：△PDC△PDB,又AB∥ED，则：SS△EAD△EBD,所以，11S阴影S△EPDS△PDCS△EPDS△PDBS△EDAS△ADEF6.363.1822（平方厘米）FEAPDBC说明： 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 和直角梯形形状无关，可以让BC边趋近AD边，直到和AD边重合，此时，P与A重合，PE是ADEF的对角线，所以，阴影部分的面积是ADEF面积的一半，等于3.18平方厘米。【例22】平行四边形ABCD如图，面积为30，求ΔABC的面积。DBCA【解析】15.【例23】大正方形边长为8，小正方形边长为6，求ΔABC的面积。CEBFDA【解析】18（等积变形，小正方形面积的一半）【例24】大正方形边长为8，小正方形边长为6，求ΔABC的面积。EACBDF【解析】32（大正方形面积的一半）【例25】ΔABC的面积为8，小正方形ABDE的边长。CBDEA【解析】4（小正方形面积为16，边长为4）【例26】简单说一下等积变形的原理。【解析】平行线间距离处处相等，构造相等面积的图形【例27】ΔABC的面积为8，D为BC中点，E，F分别为BD，DC中点求ΔAEF的面积ABEDFC【解析】4（两个一半模型，线AD两边的阴影各为一半，8÷2=4）【例28】ΔABC的面积为8，D为AB中点，E为AD中点，求阴影部分的面积。AECBD【解析】4（ΔBED为ΔABD的一半，ΔDEC为ΔADC的一半，总面积的一半为4）。【例29】已知平行四边形ABCD，EFGH。阴影部分的面积和为20，求空白部分的面积ADBC【解析】20（空白部分面积为一半，阴影部分面积相等20）【例30】已知空白部分的面积是10，求阴影部分的面积【解析】10（阴影部分面积也为一半，与空白部分面积相等）【例31】长方形的长为4，宽为6，D为AB中点，E为BC边上任意一点，求ΔADE的面积ECFADB【解析】6（阴影部分面积为四分之一，长方形面积为24）【例32】长方形ABCD面积为20.D，E分别为AB，CF的中点。求阴影部分的面积DBACFE【解析】5（面积为四分之一）【例33】长方形面积为30，求空白部分的面积【解析】15【例34】长方形中，三部分的面积为，11，37，22求阴影部分的面积。371122【解析】70（11+37+22）。【例35】梯形ABCD，面积为16，求阴影部分的面积。ABE中中CD【解析】8（阴影部分面积为一半）【例36】阴影部分的面积为15，求四边形ABCD的面积。E中中ABCF中中D【解析】30（连接对角线做辅助线，知阴影部分面积为四边形面积的）。【例37】已知长方形ABCD的长AB=8，宽AD=5，则阴影部分的面积是多少？【解析】连接BC，由于AB和CD平行，所以三角形BCD和三角形CDE的面积相等。所以阴影部分的面积为：8×5÷2=20【例38】如图所示，D是△ABC上的一点，E为BD的中点，F为CD的中点。三角形ABE的面积是17，三角形AFC的面积是13.求阴影部分的面积是多少.【解析】由于E、F分别为中点，所以ABE和AED面积相等，ACF和ADF面积相等。那么阴影部分的面积为：17＋13＝30.【例39】大正方形ABCD边长为8，小正方形CEFG边长为6，连接BG、BF,请求出三角形BGF的面积。【解析】连接CF，由于GB和CF平行，可得三角形BGF和CGF面积相等，所以阴影部分的面积为：6×6÷2＝18【例40】如图，在梯形ABCD中，三角形ABO的面积是6平方厘米，且CD的长是AB的2倍，梯形ABCD的面积是多少？【解析】由题意可知：AD边长比为2：1，所以面积比为4:1所以OBC面积为：6×4＝24【例41】如图，正方形ABCD的边长是18，DE=8，求三角形AEF的面积。DCEFAB【解析】连接BD可得阴影部分的面积和三角形DBF面积相等。则阴影部分的面积：8×18÷2=72【例42】如图，正方形ABCD与正方形CEFG并排放置，B、C、E在同一条直线上，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？AD【解析】连接CF可得三角形DBC和DBF相等GF所以面积为：10×10÷2＝50BCE【例43】如图，在梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，S1和S2的面积分别是5和15，求梯形ABCD的面积。AD【解析】S1和S2分别都是S1S2EFS3OS4BCAOB和COD面积的一半。AOB和COD又是ABCD的一半所以ABCD面积为：（5＋15）×2×2=80【例44】如图，已知四边形ABCD中，E为AD边的中点，F为BC边的中点，三角形ABE的面积为12，阴影四边形EDFB的面积为28,三角形DFC的面积是多少？EDA【解析】与上一题类似，连接BD可得面积的求法为：28－12=16BFC【例45】如图，长方形ABCD的面积是72平方厘米，点E、F分别是长方形ABCD边上的中点，则阴影部分的面积是多少？A【解析】用ABCD面积减去空白即可D所以面积为：72－18－18－9＝27FBCE【例46】如图，正方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是正方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，已知三角形HDG的面积为9平方厘米，求四边形HEBF的面积。【解析】连接HB和HC.HAD可得阴影部分和空白部分的面积EG都是ABCD的一半。所以面积和为：56÷2＝28BCF所以面积为：28－9＝19【例47】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽是几厘米？【解析】连接AG则三角形ABG是ABCD和BEFG面积的一半。所以可得面积为：8×8÷10＝6.4【例48】如图所示，长方形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积是多少？【解析】PMON和DMP与CNP面积和是ABCD的1/4，即为9.又阴影部分和DMP与CNP面积的和是ABCD的一半。所以阴影部分的面积为：36÷2－（9－3）＝12【例49】已知长方形ABCD，AB=8，BC=5，求三角形ABE的面积。CDEAB【解析】DE//AB三角形ABE面积：5×8÷2=20【例50】如图，已知正方形ABCD边长为18，BE为8，求三角形AEF的面积。DCFAEB【解析】三角形DAEF转换为三角形DBE=8×18÷2=72【例51】如图，正方形ABCD的边长为18，AE为4，求阴影部分的总面积(三角形EDF和三角形CFB)。DCFAEB【解析】把阴影部分转换为三角形CAB的面积=（18-4）×18÷2=126【例52】在平行四边形中ABCD中，DC平行于FG，连接CE、CG、DE、DG、FE、FG，那么与三角形CEG面积相等的三角形一共有哪些？DCABGE【解析】三角形DGE和三角形FDE【例53】如图：长方形的面积均为40，则S1=(),S2=()。中点S1S2中点【解析】S2是长方形面积的一半为20，S1是一半的一半为10【例54】如图，除长方形的四个顶点外，每个点都是所在边的中点，已知长方形的面积为80平方厘米，则下图中阴影部分的面积为（）【解析】80÷2÷2÷2÷2=5（平方厘米），每一个小正方形都是上一个大正方形的一半。【例55】正方形面积为80，三角形AEF面积为7，求四边形EGCH面积AEDFHBGC【解析】图中图中一样的说明面积相同，利用一半模型原理，所以四边形EGCH面积为80÷2-7=33【例56】如图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积【解析】连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5【例57】如图，在梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，S1和S2的面积分别是5和15，求梯形ABCD的面积。ADS1S2EFS3OS4BC【解析】S1和S2分别为三角形AOB和三角形COD面积的一半。三角形AOB和三角形COD的面积又是梯形ABCD的一半，则梯形ABCD面积为（5＋15）×2×2=80【例58】如图，长方形ABCD的面积是72平方厘米，点E、F分别是长方形ABCD边上的中点，则三角形AEF的面积是多少？ADFBCE【解析】作如图辅助线，利用一半模型，用ABCD面积减去多余三角形余下即为三角形AEF的面积为：72－18－18－9＝27【例59】如图，有三个正方形的顶点D,G,K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为16厘米，求三角形DEK的面积。【解析】三角形DGQ面积等于三角形BEG,三角形EKG等于三角形EFG，三角形DEK的面积为为正方形BEFG的面积，为16×16=256【例60】如图，长方形ABCD的边上有两点E、F，线段AF、BF、CE、BE把长方形分成若干块，其中三个小块的面积标注在图上，求S1面积。AEPS1QD【解析】重叠=未覆盖，F所以S1=25+40=65C【例61】用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．【解析】先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．【例62】如图，正方形ABCD的边长为12，正方形CEFG的边长为5，求阴影部分的面积。【解析】阴影部分可等积变形为两个直角三角形DCG与BCE，面积为12×5=60.【例63】三个正方形如图所示放置，AB=9厘米，BE=21厘米，FM=6厘米，求阴影四边形的面积。【解析】连接DB、GE、FH，根据等积变形可知阴影部分的面积等于中间大正方形的面积，为21×21=441平方厘米。【例64】四边形ABCD是直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF,其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P,再连接PC，则图中阴影部分的面积为多少？【解析】如图，连接AE,BD.因为AD//BC,则SΔPDC=SΔPDB,则:SΔEAD=SΔEBD,所以，S阴影=SΔEPD+SΔPDC=SΔEPD+SΔPDB=SΔEDA=6.36÷2=3.18(平方厘米)。【例65】如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．【解析】证明：∵△ABC与△DBC等底等高，∴S△ABC=S△DBC又∵S△AOB=S△ABC—S△BOCS△DOC=S△DBC—S△BOC∴S△AOB=S△COD．【例66】如图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积【解析】连结BD，在△ABD中∵BE=3AE，∴S△ABD=4S△ADE=4(平方厘米)．在△ABC中，∵CD=2AD，∴S△ABC=3S△ABD=3×4=12(平方厘米)．【例67】如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．【解析】连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；∴S△ADE=S△CDF=4(平方厘米)．【例68】如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．【解析】连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．同理S△AEH=2S2，因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2(S1+S2)=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5(平方单位)．【例69】9、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．【解析】连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF而S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF∴S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．1【例70】如下图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=3BC,求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几？【解析】连结BG，在△ABG中，　　　　∴S△ADG+S△BDE+S△CFG　　　　　【例71】如图，有三个正方形的顶点D,G,K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为16厘米，求阴影部分的面积。【解析】如图，三角形DGQ面积等于三角形BEG,三角形EKG等于三角形EFG，阴影部分面积为为正方形BEFG的面积，为16×16=256【例72】三个正方形如图放置，AB为9厘米，BE为21厘米，FM为6厘米，求阴影部分面积。【解析】连接BD,GB,FH,根据等积变形可知阴影部分面积等于中间大正方形的面积【例73】如图，正方形ABCD面积为12，正方形CEFG面积为5，求阴影部分面积。【解析】阴影部分可等积变形为两个直角三角形DCG与BCE，面积为12×5=60【例74】已知长方形ABCD中，AB=8，BC=5，求三角形ABE的面积。1【解析】2×8×5=20【例75】如图，正方形ABCD的边长为18，BE=8，求三角形AEF的面积。【解析】连接BDAD∥BCA→D1S阴影=S∆DBE=2×8×18=72【例76】四边形ABCD是直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米。连接BE交AD于P，再连接PC。则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？【解析】连接AE,BD∵AD∥BC∴三角形PDC面积等于三角形PDB阴影部分面积就等于三角形EDB∵AE∥BD∴三角形EDB面积就等于三角形AED∴S阴影=6.36÷2=3.18【例77】如图，正方形ABCD与正方形CEFG并排放置。B、C、E在同一条直线上，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解析】连接DE,AE∵AD∥BC∴B→A∵DC∥EF∴F→E1∴S△BDF=S△ADE=2×10×10=50【例78】如图，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置，BF与CD相交于点H，已知AB=6厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？【解析】连接AH∵AD∥BC∴B→A1S阴影=S△ADG=2×6×6=18【例79】如图所示，小长方形ABCD的长比宽多2厘米，用四个同样的小长方形拼成大正方形AEFG，已知大正方形的面积为70平方厘米，求图中阴影部分的面积。【解析】设宽为a则长为a+2a×(a+2)×47066a×(a+2)=41S阴影=2a×(a+2)×4=33【例80】如图所示，长方形的面积均为40，则S1=10S2=20S3=5；S4=20【例81】11.如图，在梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，S1和S2的面积分别是5和15，求梯形ABCD的面积。【解析】（S1+S2）×2×2=(15+5)×2×2=80【例82】如图，已知四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接DF、BE。四边形BEDF的面积为6，则四边形ABCD的面积为多少？【解析】连接BD三角形AEB面积等于三角形BED三角形BFD面积等于三角形CFD6×2=12【例83】如图，长方形ABCD的边上有两点E、F，线段AF、BF、CE、BE把长方形分成若干块，其中三个小块的面积标注在图上，求图中阴影部分的面积。【解析】S△ECB+S△ABF=S四边形ABCDS阴影为重叠部分S四边形ABCD-36-46-15=0.5S四边形ABCD+0.5S四边形ABCD-S阴影S四边形ABCD-97=S四边形ABCD-S阴影∴S阴影=97【例84】如图所示，长方形ABCD中，三角形APD的面积为25平方厘米，三角形BQC的面积为40平方厘米，求阴影部分的面积。【解析】连接EFS△APD=S△EFPS△BCQ=S△EFQS阴影=25+40=65