n维正态分布的定义及性质

z 概率论 y x n 维正态分布的定义及性质 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Reproduction Forbidden Page 1 of 4 z 概率论 y x n 维正态分布的定义及性质（概率论基础（李贤平） ，Page234） 定义 称 n 维随机变量 X   X 1 , X 2 ,..., X n  服从参数为 N a , B  的 n 维正态分布，记为 X ~ N a , B  ， 如果他有密度 p x   f  x1 , x2 ,..., xn   2  n/2 1  1  T exp  X  a  B 1  X  a  1/ 2 det B   2  1 ， 其中， B  bij n 是 n  n 阶正定对称矩阵， det B 是它的行列式，而 B -1 是它的逆矩阵，记作 B -1  bij n   n   n a 为任意实值列向量，即如果我们用黑体的小写字母记列向量，以黑体的大写字母记矩阵，则有  a1   x1   x1  a1         b11 b12  a2   x2   x2  a2    .   .   .  b b  ， B   21 22 a  ， X  ， X -a   ... ...  .   .   .         b . . .  n1 bn 2       a  x  x a  2  n  n  n ... b1n   ... b2 n  ... ...   ... bnn   称矩阵 B 为对称的，如果 B  B T ，即 bij  b ji ； 称对称矩阵 B 为正定的，如果对于任意列向量 a  a1 , a 2 ,..., a n   R n ，有 a T Ba  0 ，其中等号成 T 立，当且仅当 a 是 0 向量。如果 B 正定，则 det B 存在，且 det B  0 ，且 B -1 也是正定矩阵（小写代数， 居于马，Page272） 。 定理 4.6.2 X 的任一子向量 X k1 , X k2 ,..., X km  ~ ~, B  m  n 也服从正态分布，分布为 N a  ，其中 T ~  a , a ,..., a a k1 k2 km   T ~ ， B 为保留 B 的第 k1 , k 2 ,..., k m 行及第 k1 , k 2 ,..., k m 列所得的 m 阶矩阵。如 b13 b23 b33 ... ... bn 3 ... b1m ... b2 m ... b3m ... ... ... b1n   ... b2 n  ... b3n   ... ...   ... bmn  ... ...   ... bnn   a1     b11 b12   a2   b21 b22 a  3 b   b32 31 .   ~  ~ a    ， B   ... ...   .   bm1 bm 2  am   ... ...   .     bn1 bn 2 a   n bm3 ... bmm ... ... ... bnm 特别地， X j 服从一维正态分布 N a j , b jj  。 定理 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明，多维正态分布的边缘分布还是正态分布。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Reproduction Forbidden Page 2 of 4 z 概率论 y x 定理 4.6.3 a j  E X j , a 及 B 分别是随机向量 X 的数学期望及协方差矩阵，即 1  j  n ； b jk  CovX j , X k   E X j  a j  X k  ak  , 1  j, k  n   由定理可知， n 维正态分布完全由它的前面二阶矩确定。 定理 4.6.4 X 1 , X 2 ,..., X n 独立的充要条件是它们两两不相关。 X   X 1 , X 2 ,..., X n  服 从 n 维 正 态 分 布 N a , B  的 充 要 条 件 是 它 的 任 何 一 个 线 性 组 合 定 理 4.6.6 n n  n  2  Y   l j X j 服从一维正态分布 N  l a ,   j j  l j b jj  j 1 j 1  j 1  利用定理 4.6.6 可以通过一维正态随机变量来研究多维正态变量， 在有些场合这提供了很大的方便。 定理 4.6.7 若 X   X 1 , X 2 ,..., X n  服从 n 维正态分布 N a , B  ， 而 C 为任意的 m  n 阵， 则 Y  CX 服从 m 维正态分布， N Ca , CBC T . 定理 4.6.7 表明正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称为正态变量的线性变换不变 性。 推论一 若 X   X 1 , X 2 ,..., X n  服从 n 维正态分布 N a , B  ， 则存在一个正交变换 U ， 使得 Y  UX 是   一个具有独立正态分布分量的随机向量，它的数学期望为 Ua ，而它的方差分量是 B 的特征值。 证明 从矩阵论知道，对于实对称矩阵 B ，存在正交阵 U ，使 UBU T  D ，其中，  d1  0 D ...  0  0 d2 ... 0 0  0 ... ...   ... d n   ... ... 这里， d1 , d 2 ,...d 3 是 B 的特征值。若 B 得秩为 r ，则有 r 个特征值不为零。此处的 U 是以特征向量 为列构成的正交阵。 把这里的 U 作为定理 4.6.7 中的变换矩阵，即可证明该推论。 从推论一看出，若 B 得秩为 r  n ，则正态分布退化到一个 r 维子空间上。 推论一说明，对于多维正态变量，可以进行正交变换，使其既保持正态性不变又让各分量独立， 这种方法在数理统计中十分有用。 因为变换后得到的正态分布的各随机变量之间的协方差为 0，即 b jk  CovX j , X k   0, j  k ，这    说明两两相关，即得 X 1 , X 2 ,..., X n 独立（定理 4.64）. 例8 （概率论基础（李贤平） ，Page161） 若  X 1 , X 2  服从二维正态分布，其密度函数为 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Reproduction Forbidden Page 3 of 4 z 概率论 y x f  x, y   1 2 1 2 2  x  a1  y  a2    y  a2 2     1   x  a1   exp 2      2 2 2  1 2  2   1 2 2 1    1     a1   0  其中 a1  0 ， a2  0 ，即有 a      ，令 a    2   0  Y1   X 1   cos      U  Y  X    2  2    sin  sin   X 1   X 1 cos   X 2 sin          ， 0    2  cos    X 2    X 1 sin   X 2 cos   则 Y1 , Y2  的联合密度函数为： f  y1 , y 2   其中， 1 2 1 2  1 2  exp  Ay12  2 By1 y 2  Cy 2  2 1    21    2 A cos 2   12   12  2 cos  sin   1 2  sin 2  2 2 B cos sin  2 1  sin 2   cos 2   1 2  1 2   cos sin   22 C sin 2   2 cos sin  cos 2   22 由上式看出，二维正态随机变量  X 1 , X 2  经过坐标旋转而得到的随机变量 Y1 , Y2  仍然服从正态分 布。进一步，若选  使得 tan 2  2  1 2 ，则 B  0 ，因此 Y1 , Y2 独立。这说明二元正态分布可经适当 2  12   2 的坐标旋转化为两个相互独立的正态分布之积。 推论二 在正交变换下， 多维正态变量保持其独立、 同方差性不变。 （证明见概率论与数理统计(周 概容)，Page358） --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Reproduction Forbidden Page 4 of 4