全国名校高考专题训练8-圆锥曲线解答题3（数学）

2008届高考全国名校数学模拟试题分类汇编 全国名校高考专题训练08圆锥曲线 三、解答题(第三部分) 51、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知直线 过椭圆E: 的右焦点 ，且与E相交于 两点. (1)设 （ 为原点），求点 的轨迹方程； (2)若直线 的倾斜角为60°，求 的值. 解：(1)设 由 ，易得右焦点 ----------（2分） 当直线 轴时，直线 的方程是： ，根据对称性可知 当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 代入E有 ; ----（5分） 于是 　 ;　 消去参数 得 而 也适上式，故R的轨迹方程是 -（8分） (2)设椭圆另一个焦点为 ， 在 中 设 ，则 由余弦定理得 同理，在 ，设 ，则 也由余弦定理得 于是 ---------（12分） 52、(河南省开封市2008届高三年级第一次质量检)双曲线 的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，点A在双曲线的右支上，点B在双曲线左准线上， （1）求双曲线的离心率e； （2）若此双曲线过C（2， ），求双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线M、N， 的方程。 解：（1） 四边形F2ABO是平行四边形 ∴四边 形F2ABO是菱形. ∴ 由双曲线定义得 （2） ，双曲线方程为 把点C 代入有 ∴双曲线方程 （3）D1（0，－3），D2（0，3），设l的方程为 则由 因l与与双曲线有两个交点， 故所求直线l方程为 53、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)直线AB过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点． (1)求 · 的取值范围； (2)过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点． 求证： · ＝0， ∥ ． 54、设圆满足:（1）截直线y=x所得弦长为2;（2）被直线y=－x分成的一段劣弧所在的扇形面积是圆面积的倍．在满足条件（1）、（2）的所有圆中,求圆心到直线x+3y=0的距离最小的圆的的方程． 解：设所求圆的圆心为P（a,b）,半径为r, 则P到直线y=x、直线y=－x的距离分别为 、 ．………（2分） 由题设知圆P截直线y=－x所得劣弧所对圆心角为90°, 圆P截直线y=－x所得弦长为 r,故r2= （ ）2， 即r2=（a+b）2，……………………（4分） 又圆P截直线y=x所得弦长为2，所以有r2=1+ , 从而有 ．……………………（6分） 又点P到直线x+3y=0的距离为d= , 所以10d2=|a+3b|2=a2+6ab+9b2=8b2+2≥2……………………（8分） 当且仅当b=0时上式等号成立, 此时5d2=1,从而d取得最小值,由此有a=± ,r= ．…………（10分） 于是所求圆的方程为（x－ ）2+y2=2或（x－ ）2+y2=2…………（12分） 55、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知椭圆 ＋y2＝l的左焦点为F，O为坐标原点． ( I )求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； (Ⅱ)设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x＋y＝0上，求直线AB的方程． 56、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知 ,点 在 轴上，点 在 的正半轴上，点 在直线 上，且 . （1）当 在 轴上移动时，求 点轨迹C； （2）若曲线 的准线交 轴于 ，过 的直线交曲线 于两点 ，又 的中垂线交 轴于点 ，求 横坐标取值范围； （3）在（2）中， 能否为正三角形. 解：(1)设 得 又由 得 即 …………………………4分 (2)由(1)知N（－1，0）设得： 由 由 设 对 ∴AB的中点为 ∴AB的中点为 令 即x0＞3. 57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知A,B是抛物线 上的两个动点， 为坐标原点，非零向量 满足 ． （Ⅰ）求证：直线 经过一定点； （Ⅱ）当 的中点到直线 的距离的最小值为 时，求 的值． 解： , .设A,B两点的坐标为（ ），（ ）则 . （1）经过A，B两点的直线方程为 由 ，得 . 令 ，得 , . 从而 . (否则, 有一个为零向量), . 代入①，得 ， 始终经过定点 . ……………（6分） （2）设AB中点的坐标为( )，则 . 又 , ， 即 .……………① AB的中点到直线 的距离 . 将①代入，得 . 因为d的最小值为 . ……………（12分） （若用导数求切线的斜率为2的切点坐标，参考给分.） 58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)已知半圆 ，动圆 与此半圆相切且与 轴相切。 （1）求动圆圆心 的轨迹方程。 （2）是否存在斜率为 的直线 ，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四个不同的点，且满足|AD|=2|BC|？若存在，求出 的方程，若不存在，说明理由。 （1）设动圆圆心 ，作 ⊥ 轴于点 ①若两圆外切： ，则 化简得： ……………3分 ②若两圆内切： ，则 ……………5分 综上，动圆圆心的轨迹方程是 及 ………6分 其图象为两条抛物线位于 轴上方的部分，如图所示。 （2）假设直线 存在，可设 的方程为 。 依题意得，它与曲线 交于点 ，与曲线 交于点 。 即 ① ② ， 2 =2 即 + =4 － 得 ……………11分 将其代入方程①得 因为曲线 的横坐标范围为 ，所以这样的直线 不存在。……………13分 59、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)已知椭圆 的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足 点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （Ⅰ）设 为点P的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程； （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S= 若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由． 解 （Ⅰ）设点P的坐标为（x,y）,由P（x,y）在椭圆上，得 又由 知 ， 所以 （Ⅱ） 当 时，点（ ，0）和点（－ ，0）在轨迹上． 当 且 时，由 ，得 ． 又 ，所以T为线段F2Q的中点． 在△QF1F2中， ，所以有 综上所述，点T的轨迹C的方程是 （Ⅲ） C上存在点M（ ）使S= 的充要条件是 由③得 ，由④得 所以，当 时，存在点M，使S= ； 当 时，不存在满足条件的点M． 当 时， ， 由 ， ， ，得 【 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 点评】平面向量与椭圆的综合问题是《考试大纲》所 强调的问题，应熟练掌握其解题技巧，一般地，在这类问题 种，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会 在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几 何的基本方法和基本思想，比如本题（Ⅰ）本质是焦半径公 式，核心内容还是椭圆的第二定义的转化思想．（Ⅱ） 由 “PT其实为线段QF2的垂直平分线”可联想到下面的题目：如右图，Q为长轴为2a椭圆上一动点，QP是∠F1QF2的外角平分线，且F1P⊥QP，延长F2Q，使F2Q与F1P交于点M，则|QF1|=|QM|，所以点M的轨迹是以F2为圆心2a为半径的圆，进一步可得到P的轨迹是以O为圆心a为半径的圆． 60、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)已知直线 相交于A、B两点，M是线段AB上的一点， ，且点M在直线 上. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）若椭圆的焦点关于直线l的对称点在单位圆 上，求椭圆的方程. 解：（Ⅰ）由 知M是AB的中点， 设A、B两点的坐标分别为 由 ， ∴M点的坐标为 4分 又M点的直线l上： 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，不妨设椭圆的一个焦点坐标为 关于直线l： 上的对称点为 ， 则有 10分 由已知 ，∴所求的椭圆的方程为 12分 61、(湖北省黄冈市2007年秋季高三年级期末考试)在△ABC中 ，B是椭圆 在x轴上方的顶点， 是双曲线 位于x轴下方的准线，当AC在直线 上运动时。 (1)求△ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程； (2)过定点 作互相垂直的直线 ，分别交轨迹E于M、N和R、Q，求四边形MRNQ面积的最小值。 解：（1）由椭圆方程 及双曲线方程 可得点 直线 方程是 且 在直线 上运动。 可设 则 的垂直平分线方程为 ① 的垂直平分线方程为 ② P是△ABC的外接圆圆心， 点P的坐标 满足方程①和② 由①和②联立消去 得 故圆心P的轨迹E的方程为 (2)由图可知，直线 和 的斜率存在且不为零，设 的方程为 ， ， 的方程为 由 得 △= 直线 与轨迹E交于两点。 设 ，则 。 同理可得： 四边形MRNQ的面积 当且仅当 ，即 时，等号成立。 故四边形MNRQ的面积的最小值为72。（13分） 62、(湖北省荆门市2008届上期末)已知F1、F2为双曲线C： 的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足： ， （λ＞0） （1）求此双曲线的离心率； （2）若过点N（ ， ）的双曲线C的虚轴端点分别为B1、B2（B1在y轴正半轴上），点A、B在双曲线上，且 ， ，求双曲线C和直线AB的方程. 解：（1）法一：依题意四边形OF1PM为菱形，设P（x，y）则F1（－c，0），M（ ，y） 代入 得 化简得e＝2 ……………4分 法二： OF1PM为平行四边形， 又 （λ＞0）知P在 的角平分线上 ∴四边形OF1PM为菱形，且边长为 ，∴ ………4分 由第二定义知 即 又 （2） ∴双曲线C的方程为 ……………8分 ∵ ∴过B2的直线交曲线C于A、B两点，且 设直线AB： 代入 得 设A（x1，y1），B（x2，y2）由 ∴直线AB的方程为 63、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检测)如图，已知 为平面上的两个定点， 为动点， ， 且 ， （ 是 和 的交点） ⑴建立适当的平面直角坐标系求出点 的轨迹方程； ⑵若点 的轨迹上存在两个不同的点 ，且线段 的中垂线与 （或 的延长线）相交于一点 ，证明： （ 为 的中点） 解：⑴如图1，以 所在的直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系 由题设 ，而 点 是以 为焦点、长轴长为 的椭圆，故点 的轨迹方程为 （6分） ⑵如图2，设 ， ，且 ， 即 ，又 在轨迹上， 即 代入整理得： ， （10分） ≤ ≤ ， ≤ ≤ ， ≤ ≤ ， ，即 。 64、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)已知方向向量为 的直线 过点 和椭圆 的焦点，且椭圆 的中心 和椭圆的右准线上的点 满足： 。 ⑴求椭圆 的方程； ⑵设 为椭圆 上任一点，过焦点 的弦分别为 ,设 ，求 的值。 65、(湖北省武汉市武昌区2008届高中毕业生元月调研测试)已知圆A： ，圆B： ，动圆P与圆A、圆B均外切，直线 的方程为x＝a(a≤). （Ⅰ） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程； （Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，（1）求｜MN｜的最小值；（2）若MN的中点R在 上的射影Q满足MQ⊥NQ，求 的取值范围. 解：（Ⅰ）设动圆P的半径为 ，则│PA│＝ ，│PB│= , ∴│PA│－│PB│=2. 故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 其方程为 （ ≥1）. ………………………………………3分 （Ⅱ）(1)设MN的方程为 ，代入双曲线方程，得 . 由 ，解得 . ………………………………………5分 设 ,则 . 当 时, . ………………………………………7分 (2)由（1）知 ， . 由 ,知 . 所以 ，从而 . 由 ,得 . ………………………………………13分 另解： (1)若MN的斜率存在，设斜率为 ，则直线MN的方程为 ，代入双曲线方程,得 . 由 解得 . …………………………………5分 设 ,则 ＝ │ │＝6＋ . 当直线斜率不存在时， ＝2，得 ＝3， ＝－3.此时 ＝6. 所以 ＝6. ……………………………………………7分 (2)当MQ⊥NQ时，│RQ│＝ ＝ .① 又 ＝ ＝2，即 ＝2 ， 所以│MN│＝ ， 故 . ② 将②代入①，得│MN│＝2－ . 由│MN│＝2－ ,得 ≤－1. ………………………………………13分 66、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)已知抛物线x2＝4y上的点P(非原点)处切线与x、y轴分别交于Q、R点，F为抛物线的焦点。 （Ⅰ） （Ⅱ）若抛物线上的点 面积的最小值，并写出此时过P点的切线方程。 解：（Ⅰ）设 令 。 （Ⅱ） 知 = 显然只需考查函数 时，也取得最小值 。 故此时过P点的切线PR的方程为： 67、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为 ；折痕 与AB交于点E，点M满足关系式 。若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）： （Ⅰ）．求点M的轨迹方程； （Ⅱ）．若曲线S是由点M的轨迹及其关于边AB对称的曲线组成的，等腰梯形 的三边 分别与曲线S切于点 .求梯形 面积的最小值. 解：（1）如图，设M（x,y）， ，又E（0，b） 显然直线l的斜率存在，故不妨设直线l的方程为y=kx+b,,则 而 的中点 在直线l上， 故 ，① 由于 代入①即得 ，又 点M的轨迹方程 （ ）-------------6分 （2）易知曲线S的方程为 设梯形 的面积为 ，点P的坐标为 . 由题意得，点 的坐标为 ，直线 的方程为 . 直线 的方程为 即： 令 得， 令 得， 当且仅当 ，即 时，取“=”且 ， 时， 有最小值为 . 梯形 的面积的最小值为 ----------13分 68、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)已知圆M：（x+ ）2+y2=36及定点N（ ，0），点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足 . （1）求点G的轨迹C的方程. （2）过点K（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设 ，是否存在这样的直线 ，使四边形OASB的对角线相等？若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由. 解：（1） 为PN的中点，且GQ 是PN的中垂线. ∴ 又 ∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆， ∴ 的轨迹方程是 ……………………………………（5分） （2） 四边形OASB为平行四边形，假设存在直线 ，使 ；则四边形OASB为矩形. 若直线 的斜率不存在，则 的方程为 . ，这与 =0矛盾，故 的斜率存在.………………………（7分） 设直线 的方程为 、 . ………………………（9分） 又 ………………………（12分） ∴存在直线 满足条件. ……………………（13分） 69、(湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考)在平面直角坐标系中，已知 ，若实数 使得 （ 为坐标原点） （I）求 点的轨迹方程，并讨论 点的轨迹类型； （Ⅱ）当 时，若过点 的直线 （斜率不等于零）与（I）中 点的轨迹交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围. 解：（I）由已知可得 ． 5分 即P点的轨迹方程是 7分． 当 P点的轨迹是两个点 ． 9分 ，即 时，方程为 P点的轨迹是双曲线． 11分 ，即 时，方程为 , P点的轨迹是两条射线． 13分 70、(湖南省岳阳市2008届高三第一次模拟)已知直线l: y＝2x－与椭圆C:＋y2＝ 1 (a＞1)交于P、Q两点, 以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A. (1) 设PQ中点M(x0,y0), 求证: x0＜ (2)求椭圆C的方程. 解: (1)设直线l: y＝2x－与椭圆C: ＋y2＝ 1 (a＞1)交于P(x1,y1),Q(x2,y2), 右顶点A(a,0), 将y＝2x－代入x2＋a2y2－a2＝0中整理得(4a2＋1)x2－4a2x＋2a2＝0 ∵M(x0,y0)为PQ中点 ∴x0＝ ＝ ＝ － 故x0＜ (2)依题意: ·＝0, 则(x1－a)(x2－a)＋y1y2＝0 又y1＝2x1－, y2＝2x2－ 故 (x1－a)(x2－a)＋(2x1－)(2x2－)＝0 由①②代入③ 得: 4a4－4a3－a2＋3＝0 ∴(a－)(4a2－a－)＝0 ∵a＞1, 则4a2－a－＞0 故a＝ 故所椭圆方程为 ＋ y2＝1 71、(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知椭圆 的左焦点为F，O为坐标原点。过点F的直线 交椭圆于A、B两点． （1）若直线 的倾斜角 ，求 ； （2）求弦AB的中点M的轨迹； （3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点， 线段AB的垂直平分线与 轴交于点G，求点G横坐标的取值范围． 解：（1）直线 方程为 与 联立得 …………………4分 （2）设弦AB的中点M的坐标为 依题意有 所以弦AB的中点M的轨迹是以 为中心，焦点在 轴上，长轴长为1，短轴长为 的椭圆。 …………………8分 （3）设直线AB的方程为 代入 整理得 直线AB过椭圆的左焦点F， 方程有两个不等实根。 记 中点 则 的垂直平分线NG的方程为 令 得 点G横坐标的取值范围为 …………………13分 72、(吉林省吉林市2008届上期末)抛物线C的方程为 ，作斜率为 的两条直线，分别交抛物线C于A 两点（P、A、B三点互不相同），且满足 （1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程； （2）设直线AB上一点M满足 证明：线段PM的中点在y轴上； （3）当 时，若点P的坐标为（1，—1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取 值范围. 解：（1）由抛物线C的方程 得， 焦点坐标为 ……………………………………2分 （2）设直线PA的方程为 点 的解 将②式代入①式，得 ， 于是 ③…………………………………………4分 又点 的解 将⑤式代入④式，得 ， 于是 …………………………………………4分 由已知得， ⑥ 设点M的坐标为 将③式和⑥式代入上式，得 所以线段PM的中点在y轴上 ……………………………………………………8分 （3）因为点P（1，－1）在抛物线 由③式知 将 代入⑥式得 因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为 故当 即 ………………………………………………………12分 73、(吉林省实验中学2008届高三年级第五次模拟考试)设 分别是椭圆的 左，右焦点。 （Ⅰ）若 是第一象限内该椭圆上的一点，且 ， 求点 的坐标。 （Ⅱ）设过定点 的直线与椭圆交于不同的两点 ，且 为锐角（其中O为坐标原点），求直线 的斜率 的取值范围。 解：（Ⅰ）易知 。 ， ………………………………3分 联立 ，解得 ， ………………5分 （Ⅱ）显然 …………………………………………6分 可设 联立 ……………………………………7分 由 得 …………………………………………8分 又 ， ………………………………………………9分 又 ……………………………………11分 综可知 …………12分 74、(江苏省常州市北郊中学2008届高三第一次模拟检测)在 中，已知 ， ， 、 两边所在的直线分别与 轴交于原点同侧的点 、 ，且满足 。 (1)求点 的轨迹方程 ； (2)若 是 上任一点，动点 在线段 上，求 的最小值。 解：（1）设点 ， ． 当 时， 轴，当 时， 轴，与题意不符，所以 ; 由 ． ． 三点共线有 ，解得 ．同理由 ． ． 三点共线，解得 ． ， ， 化简得点 的轨迹方程为 （2）解略。最小值为－2 75、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知椭圆 的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）． （Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围； （Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论． 解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线分别为 ， ．………………………………………………………………2分 联立方程组，解出 ……………………………………………………………4分 ，即 ，即（1＋b）（b－c）>0， ∴ b>c． ……………………………………………………………………………………6分 从而 即有 ，∴ ．……………………………………………………7分 又 ，∴ ． …………………………………………………………………8分 （Ⅱ）直线AB与⊙P不能相切．…………………………………………………………………9分 由 ， ＝ ． ………………………………………………10分 如果直线AB与⊙P相切，则 · ＝－1． ………………………………………12分 解出c＝0或2，与0＜c＜1矛盾，………………………………………………………14分 所以直线AB与⊙P不能相切． …………………………………………………………15分 评讲 建议 关于小区增设电动车充电建议给教师的建议PDF智慧城市建议书pdf给教师的36条建议下载税则修订调整建议表下载 ： 此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识，要求学生理解三角形外接圆圆心是三边中垂线的交点，从而大胆求出交点坐标，构造关于椭圆中a，b，c的齐次等式得离心率的范围．第二小题亦可以用平几的知识：圆的切割线定理，假设直线AB与⊙P相切，则有AB2＝AF×AC，易由椭圆中a，b，c的关系推出矛盾． 76、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)已知直线 与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线 上. （Ⅰ）求此椭圆的离心率； （Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆 上，求此椭圆的方程. 解：（1）设A、B两点的坐标分别为 得 , 根据韦达定理，得 ∴线段AB的中点坐标为（ ）. 由已知得 故椭圆的离心率为 （2）由（1）知 从而椭圆的右焦点坐标为 设 关于直线 的对称点为 解得 。由已知得 ，故所求的椭圆方程为 . 77、(江苏省前黄高级中学2008届高三调研)在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线 相交于不同的 两点. （Ⅰ）如果直线 过抛物线的焦点，求 的值； （Ⅱ）如果 证明直线 必过一定点，并求出该定点. 解：（Ⅰ）由题意：抛物线焦点为（1，0） 设 消去x得 则 ， = （Ⅱ）设 消去x，得 ，则y1+y2=4t ，y1y2=－4b。 = 。 令 ，∴直线l过定点（2，0）。 78、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)倾斜角为60°的一束平行光线，将一个半径为 的球投影在水平地面上，形成一个椭圆．若以该椭圆的中心为原点，较长的对称轴为x轴，建立平面直角坐标系． （1）求椭圆的标准方程； （2）若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A、B两点上，且已知C（－4，0），求·的取值范围． 解：（1）设椭圆方程是，由题知b= ，2a= ，a=2 所求椭圆的标准方程是． 6′ （2）设A（x1,y1），B（x2,y2），A、B关于坐标原点O对称， =（x1＋4,y1），=（x2＋4,y2）， ·=（x1＋4,y1）·（x2＋4,y2）=x1x2＋4(x1＋x2)＋16＋y1y2 = x1x2＋16＋y1y2 9′ AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程是y=kx，代入椭圆方程得： ·= 12′ 由于k可以取任意实数，故·∈[12，13）， 14′ AB与x轴垂直时，||=||= ，cos∠ACB= = ·=13 ∴·∈[12，13]． 16′ 79、(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)设A、B是抛物线y=2x2上两点，求证：AB的垂直平分线 经过抛物线焦点的充要条件是线段AB的中点落在y 轴上。 证明：设A（x1,y1）,B(x2,y2)，AB的中点落在y 轴上即x1＋x2=0； ∵抛物线y=2x2的焦点 3′ 充分性：当AB的中点落在y 轴上即x1＋x2=0时，y1=y2，A、B关于y轴对称，直线 即为y轴，经过抛物线的焦点。 6′ 必要性： （1）直线 的斜率不存在且经过 时，直线 即为y轴，A、B关于y轴对称，AB的中点落在y 轴上。 （2）直线 经过 且斜率存在，设斜率为k（显然k≠0），截距为 ， 即直线 ：y=kx+ 由已知得： ≠0 即 的斜率存在时，AB的中点不可能落在y 轴上即题设A、B点不存在。 9′ 综上所述， 经过抛物线焦点的充要条件是线段AB的中点落在y 轴上。 10′ 80、(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)椭圆C： 的两个焦点分别为 , 是椭圆上一点，且满足 。 （1）求离心率e的取值范围 （2）当离心率e取得最小值时，点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为5 (i)求此时椭圆C的方程 (ii)设斜率为k(k0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P（0，- ）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由。 解：(1)、由几何性质知的取值范围为：≤e＜1………………3分 (2)、(i) 当离心率e取最小值时，椭圆方程可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为+ = 1 。设H( x , y )是椭圆上的一点，则| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ，其中 - b≤y≤b 若0＜b＜3 ，则当y = - b时，| NH |2有最大值b2+6b+9 ，所以由b2+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) …………………5分 若b≥3，则当y = -3时，| NH |2有最大值2b2+18 ，所以由2b2+18=50解得b2=16 ∴所求椭圆方程为+ = 1………………7分 (ii) 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，则由 eq \b\lc\{(\a\al(+ = 1,+ = 1)) 两式相减得x0+2ky0=0；………①　　……………………8分 又直线PQ⊥直线l，∴直线PQ的方程为y= - x - ，将点Q( x0 , y0 )坐标代入得y0= - x0- ………②　　……………………9分 由①②解得Q( - k , )，而点Q必在椭圆的内部 ∴ + < 1，…………… 10分 由此得k2 < ，又k≠0 ∴ - < k < 0或0 < k < 故当( - , 0 ) ∪( 0 , )时，A、B两点关于过点P、Q、的直线对称。…………12分 81、(宁夏区银川一中2008届第六次月考)如图，直线y=kx+b与椭圆 交于A、B两点，记△AOB的面积为S． （I）求在k=0，0