相似三角形经典习题

相似三角形的典型例题八 相似三角形经典习题 例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似 例2 已知：如图， ABCD中， ，求 与 的周长的比，如果 ，求 ． 解 是平行四边形， ∴ ，∴ ∽ ， 又 ， ∴ ，∴ 与 的周长的比是1：3． 又 ， ∴ ． 例3 如图，已知 ∽ ，求证： ∽ ． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 由于 ∽ ，则 ，因此 ，如果再进一步证明 ，则问题得证． 证明 ∵ ∽ ，∴ ． 又 ，∴ ， ∴ ． ∵ ∽ ，∴ ． 在 和 中，∵ ，∴ ∽ ． 例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？ （1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似． 分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同． （2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC和 ，其中 ， 则 ， 设 的三边为a、b、c， 的边为 ， 则 ， ∴ ，∴ ∽ ． （4）也正确，如 与 都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此 ∽ ． 答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5 如图，D点是 的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在 的边上，并且点D、点E和 的一个顶点组成的小三角形与 相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法． 解： 画法略． 例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高． 分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即 厘米 米， 厘米 米， 米，求BC．由于 ∽ ，又 ∽ ，∴ ，从而可以求出BC的长． 解 ，∴ ， ∴ ∽ ．∴ ． 又 ，∴ ， ∴ ∽ ，∴ ，∴ ． 又 厘米 米， 厘米 米， 米， ∴ 米． 即电线杆的高为6米． 例7 如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若 m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）． 分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样， 与 的相似关系就明确了． 解 因为 ，所以 ∽ ． 所以 ，即 ． 所以 （m）． 说明 这是一个实际应用问题， 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦． 例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由． 分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度． 解 在格点中 ，所以 ， 又 ．所以 ．所以 ∽ ． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏． 例9 根据下列各组条件，判定 和 是否相似，并说明理由： （1） ． （2） ． （3） ． 解 （1）因为 ， 所以 ∽ ； （2）因为 ，两个三角形中只有 ，另外两个角都不相等，所以 与 不相似； （3）因为 ，所以 相似于 ． 例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来，并简要说明识别的根据． 解 （1） ∽ 两角相等； （2） ∽ 两角相等； （3） ∽ 两角相等； （4） ∽ 两边成比例夹角相等； （5） ∽ 两边成比例夹角相等； （6） ∽ 两边成比例夹角相等． 例11 已知：如图，在 中， 是角平分线，试利用三角形相似的关系说明 ． 分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD是底角的平分线，∴ ，则可推出 ∽ ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系． 证明 ，∴ ． 又 平分 ，∴ ． ∴ ，且 ∽ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边． （2）要说明线段的乘积式 ，或平方式 ，一般都是证明比例式， ，或 ，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式． 例12 已知 的三边长分别为5、12、13，与其相似的 的最大边长为26，求 的面积S． 分析 由 的三边长可以判断出 为直角三角形，又因为 ∽ ，所以 也是直角三角形，那么由 的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出 的两条直角边长，再求得 的面积． 解 设 的三边依次为， ， 则 ，∴ ． 又∵ ∽ ，∴ ． ， 又 ，∴ ． ∴ ． 例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高． 你认为这种测量方法是否可行？请说明理由． 分析 判断这种方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作 于G，交CE于H，可知 ∽ ，且GF、HF、EH可求，这样可求得AG，故旗杆AB可求． 解 这种测量方法可行．理由如下： 设旗杆高 ．过F作 于G，交CE于H（如图）．所以 ∽ ． 因为 ，所以 ． 由 ∽ ，得 ，即 ， 所以 ，解得 （米） 所以旗杆的高为21.5米． 说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使 ，然后再选点E，使 ，确定BC与AE的交点为D，测得 米， 米， 米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？ 解： ， ∴ ∽ ， （米）， 答：两岸间AB大致相距100米． 例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题） 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ： 米， 步，（注意： ．） 例16 如图，已知△ABC的边AB＝ ，AC＝2，BC边上的高AD＝ ． （1）求BC的长； （2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积． 分析：要求BC的长，需画图来解，因AB、AC都大于高AD，那么有两种情况存在，即点D在BC上或点D在BC的延长线上，所以求BC的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD⊥BC，由勾股定理得BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD＋DC＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD＝3，DC＝1，所以BC＝BD－CD＝3－1＝2． （2）如下图，由题目中的图知BC＝4，且 ， ，∴ ．所以△ABC是直角三角形． 由AEGF是正方形，设GF＝x，则FC＝2－x， ∵GF∥AB，∴ ，即 ． ∴ ，∴ ． 如下图，当BC＝2，AC＝2，△ABC是等腰三角形，作CP⊥AB于P，∴AP＝ ， 在Rt△APC中，由勾股定理得CP＝1， ∵GH∥AB，∴△CGH∽△CBA，∵ ， ∴ 因此，正方形的面积为 或 ．