2007年高考四川卷数学理科试卷含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 一．选择题： (1)复数 的值是 （A）0 (B)1 (C)-1 (D)1 (2) 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是 (3) （A）0 (B)1 (C) (D) (4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是 （A）BD∥平面CB1D1 （B）AC1⊥BD （C）AC1⊥平面CB1D1 （D）异面直线AD与CB1角为60° （5）如果双曲线 上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是 （A） （B） （C） （D） （6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是 ，且三面角B-OA-C的大小为 ，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是 （A） （B） （C） （D） （7）设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若 上的投影相同，则a与b满足的关系式为 (A) (B) (C) (D) （8）已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点A、B，则|AB|等于 （A）3 （B）4 （C） （D） （9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为 （A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元 （10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 （A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个 （11）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是 （A） （B） （C） （D） （12）已知一组抛物线 ，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是 （A） （B） （C） （D） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上. （13）若函数f(x)=e-(m-u)2 (c是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，则m+u= . (14)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为 ，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 . (15)已知⊙O的方程是x2+y2-2=0, ⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 . (16)下面有五个命题： ①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是 . ②终边在y轴上的角的集合是{a|a= |. ③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点. ④把函数 ⑤函数 其中真命题的序号是 （写出所言 ） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知 < < < , (Ⅰ)求 的值. （Ⅱ）求 . （18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品. （Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率; （Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数 的分布列及期望 ，并求该商家拒收这批产品的概率. （19）（本小题满分12分）如图， 是直角梯形，∠ ＝90°， ∥ ， ＝1， ＝2，又 ＝1，∠ ＝120°， ⊥ ，直线 与直线 所成的角为60°. （Ⅰ）求证：平面 ⊥平面 ; （Ⅱ）求二面角 的大小; （Ⅲ）求三棱锥 的体积. （20）（本小题满分12分）设 、 分别是椭圆 的左、右焦点. （Ⅰ）若 是该椭圆上的一个动点，求 · 的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，且∠ 为锐角（其中 为坐标原点），求直线 的斜率 的取值范围. 已知函数 ,设曲线 在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数 （21）（本小题满分12分） 已知函数 ,设曲线 在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数 (Ⅰ)用表示 (Ⅱ) (22)(本小题满分14分) 设函数 . (Ⅰ)当x=6时,求 的展开式中二项式系数最大的项; (Ⅱ)对任意的实数x,证明 ＞ (Ⅲ)是否存在 ,使得an＜ ＜ 恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由. 2007年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 理科数学参考答案 一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分 （1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C （7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B 二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分 （13） （14） （15） （16）① ④ 三．解答题： （17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。 解：（Ⅰ）由 ，得 ∴ ，于是 （Ⅱ）由 ，得 又∵ ，∴ 由 得： 所以 （18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A来算，有 （Ⅱ） 可能的取值为 ， ， 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率 所以商家拒收这批产品的概率为 （19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。 解法一： （Ⅰ）∵ ∴ ， 又∵ ∴ （Ⅱ）取 的中点 ，则 ，连结 ， ∵ ，∴ ，从而 作 ，交 的延长线于 ，连结 ，则由三垂线定理知， ， 从而 为二面角 的平面角 直线 与直线 所成的角为 ∴ 在 中，由余弦定理得 在 中， 在 中， 在 中， 故二面角 的平面角大小为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， 为正方形 ∴ 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）在平面 内，过 作 ，建立空间直角坐标系 （如图） 由题意有 ，设 ， 则 由直线 与直线 所成的解为 ，得 ，即 ，解得 ∴ ，设平面 的一个法向量为 ， 则 ，取 ，得 平面 的法向量取为 设 与 所成的角为 ，则 显然，二面角 的平面角为锐角， 故二面角 的平面角大小为 （Ⅲ）取平面 的法向量取为 ，则点A到平面 的距离 ∵ ，∴ （20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。 解：（Ⅰ）解法一：易知 所以 ，设 ，则 因为 ，故当 ，即点 为椭圆短轴端点时， 有最小值 当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值 解法二：易知 ，所以 ，设 ，则 （以下同解法一） （Ⅱ）显然直线 不满足题设条件，可设直线 ， 联立 ，消去 ，整理得： ∴ 由 得： 或 又 ∴ 又 ∵ ，即 ∴ 故由①、②得 或 （21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。 解：（Ⅰ）由题可得 所以过曲线上点 的切线方程为 ， 即 令 ，得 ，即 显然 ∴ （Ⅱ）证明：（必要性） 若对一切正整数 ，则 ，即 ，而 ，∴ ，即有 （充分性）若 ，由 用数学归纳法易得 ，从而 ，即 又 ∴ 于是 ， 即 对一切正整数 成立 （Ⅲ）由 ，知 ，同理， 故 从而 ，即 所以，数列 成等比数列，故 ， 即 ，从而 所以 （22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。 （Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是 （Ⅱ）证法一：因 证法二：因 而 故只需对 和 进行比较。 令 ，有 由 ，得 因为当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以在 处 有极小值 故当 时， ， 从而有 ，亦即 故有 恒成立。 所以 ，原不等式成立。 （Ⅲ）对 ，且 有 又因 ，故 ∵ ，从而有 成立， 即存在 ，使得 恒成立。