x2_2矩阵运算

nullnull§2.2 矩阵的运算一.矩阵的加法和减法定义 两个m行n列矩阵A＝（aij）m×n, B＝（ bij ）m×n对应位置元素相加得到的 m行n列矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A＋B。即 如果只有一个个孤立的矩阵,其作用是不大的,充其量起着各种 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 格的作用.引进矩阵的目的是为了探讨它们的相互关系.实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中提出的矩阵相互之间存在着密切的关系,其中最主要的是在它们之间可以进行代数运算,这些运算正是实际存在的客观事物相互关系的一种抽象.本节介绍的基本运算有加法、减法、数乘、乘法(包括乘方)、转置.这些运算有些与通常的数字运算相似,有的则有很大的不同,务请予以注意. 注意：只有两个同类型的矩阵才能相加。上页 下页null 例1．有某种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 分别为矩阵A与矩阵B，则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）共为Ex1.上页 下页null负矩阵 把矩阵A=(aij) m×n中的每一个元素改变符号作成一个矩阵 (–aij) m×n　　　叫做A的负矩阵,记成 –A, 即 –A=(–aij) m×n例.写出矩阵的负矩阵.矩阵的加法适合下列运算法则:(1)交换律； (2)结合律； (3)O+A=A+O=A; (4) A+(–A)=O。 这些规则都可以根据定义给予验证. 还可有性质: 在一个矩阵等式的两端同加或同减一同型矩阵,等号仍然成立.减法定义为若A=B,则A–B=O.(这里的矩阵O是几行几列的矩阵)上页 下页null例2.设3个产地与4个销地之间的里程（单位：公里）为矩阵A已知货物每吨公里的运费为1.5元，则各产地与各销地之间每吨货物的运费（单位：元/吨）可以记为矩阵：二.矩阵的数乘上页 下页null （1）k(A＋B)＝kA+kb; （2）（k+l)A=kA+lA; （3）(kl)A=k(lA); （4）1·A=A; (5) 0·A=O. 注意 (5) 0·A=O中,左边的“0”是数零,而右边的“O”则表示一个与A的行数列数都相同的零矩阵。负矩阵 –A可以看成为 –1与A的数乘,即 –A = (–1)A.矩阵的数乘适合下列运算规则:上页 下页null注意： 矩阵的相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。上页 下页nullEx2上页 下页null例4．已知且A＋2X＝B，求X。上页 下页null三.矩阵的乘法例5．某地区有4个工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，生产甲、乙丙3种产品，矩阵A表示一年中各工厂生产各种产品的数量，矩阵B表示各种产品的单位价格（元）及单位利润（元），矩阵C表示各工厂的总收入及总利润。Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 单价 单利 总收入 总利润 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 讨论C与A，B间的关系：例如上页 下页null则矩阵A，B，C的元素之间有下列关系： 定义3 设有矩阵A=(aij)m×k以及矩阵B=(bij) k×n,定义A和B的乘积AB是一个m×n矩阵,且AB的第(i , j)元素为为了看得更清楚,我们进一步写出乘积矩阵的表达式:上页 下页null对定义需要注意把握住以下两个要点:1.当且只当A的列数等于B行数时,A与B才可以相乘这时的积写为AB(不能写成BA),所得矩阵AB的行数等于A的行数,列数等于B的列数.可用下式来记忆:上页 下页null2.乘积AB的第(i, j)元素cij为A的第i行元素与B的第j列对应元素乘积之和,即我们可以用下列式子来记忆:上页 下页null注：上页 下页例7 若例7 若解 求AB和BA.（p56)显然上页 下页BA没有意义。解 BA没有意义。例8. (P57)计算乘积 AB, 其中上页 下页例9 若例9 若解 求AB和BA.（p57)由例7、例8和例9知，一般情况下，AB有意义，BA不一定有意义，即使BA有意义，也不一定有BA=BA ，即矩阵的乘法不满足交换律。上页 下页例10 若例10 若解 求AB和BA.（p58) 如果两矩阵A与B相乘，有AB =BA，则称矩阵A与矩阵B可交换。上页 下页P58例11 求与矩阵P58例11 求与矩阵解： 可交换的所有矩阵。设B与A可交换，则上页 下页由AB＝BA，有由AB＝BA，有于是可得其中a，b，c为任意常数。上页 下页P59例12 若则有即AC=BC，但A≠BP59例12 若这表明，由AC =BC不能推出A =B，并且AB =0也不能 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 A=0或B=0，即矩阵的乘法不满足消去律。上页 下页null矩阵乘法的用途举例例13 试将线性方程组表示成矩阵方程的形式.在中,令则AX是一个m×1矩阵,不难求出,它的各个元素正好就是上述各方程的左端，和b的各对应元素相等,即有AX= b这种表示不仅节约了篇幅,更重要的是可用矩阵的方法来处理线性方程组.上页 下页nullP60例14、解矩阵方程X为二阶矩阵。解：设由题设有即解得上页 下页null矩阵的乘法满足下列运算性质:(1) 结合律 (AB)C=A(BC)(2) 分配律 (A+B)C=AC+BC 　　 C(A+B)=CA+CB(3) k(AB)=(kA)B=A(kB), k是一个数 （A,B为同阶方阵）上页 下页null 一要指出 (AB)C , A(BC) 均可乘且它们的行数与列数分别都相等; 二要指出(AB)C 的第 (i, j) 元素与A(BC)的第 (i, j) 元素都相等.验证 (AB)是m×p矩阵,由C 是p×q矩阵,所以(AB)与C可乘且(AB)C 为m×q矩阵; 又A是m×n矩阵,(BC)是n×q矩阵,所以A与(BC)可乘且A(BC)为m×q矩阵; 所以(AB)C , A(BC) 均可乘且它们的行数与列数分别都相等;验证结合律 设有矩阵A=(ai j)m×n , B =(bi j) n×p , C =(ci j) p ×q , 验证:(AB)C = A(BC) 上页 下页null2. (AB)C 的第 (i, j) 元素为(AB) 的第i行、C的第j列所有对应元素乘积之和.而它的第i行为上页 下页null(AB)的第i行为C的第j列为因此(AB)C 的 第 (i, j) 元素为上页 下页 A( BC )的第 (i, j) 元素为A的第i行、 (B C) 的第j列所有对应元素乘积之和. A( BC )的第 (i, j) 元素为A的第i行、 (B C) 的第j列所有对应元素乘积之和. 由双层和号的可交换性质知 所以,(AB)C 的第 (i, j) 元素与A(BC)的第 (i, j) 元素都相等. 又(i, j) 是任意的.所以(AB)C = A(BC) .上页 下页P65例11 证明：若C与A，C与B可交换，则有这个定理可以推广, |ABC|=|A |·|B|·|C| , ··· 注意：Ａ、B、C 必须是同阶方阵。P65例11 证明：若C与A，C与B可交换，则有证： (A+B)C=C(A+B), (AB)C=C(AB)因为CA=AC, CB=BC, 故有(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB) (A+B)C=AC+BC= CA+CB=C(A+B), 上页 下页矩阵的转置及其运算规律 定义2.6 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作AT或A’ 。矩阵的转置及其运算规律矩阵转置满足以下运算规律：上页 下页null我们只证明(4)。于是按定义有因此上页 下页Ex8Ex8解法1 因为所以已知上页 下页null解法2 因为所以上页 下页n 阶方阵的乘幂由于矩阵乘法不满足交换律，所以一般来说n 阶方阵的乘幂定义其中 k 是整数。称为A的k次幂。注意：只有方阵才有乘幂的概念。乘幂满足下列运算规律：其中 k ,l 为正整数。例如上页 下页Ex9Ex9解Ex10解上页 下页方阵的行列式及其运算规律 定义6 由 n 阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵A的行列式，记作|A|或 det A。 方阵的行列式及其运算规律 由 A 确定的|A|这个运算满足下列运算法则（设A、B为 n 阶方阵，λ为数）：证 ( 略 )。上页 下页null设A,B都是n方阵,则 |AB|=|A|·|B|对n=2的情形证明于下:上页 下页null另一方面由上页 下页null例15．设A＝ 为三阶矩阵，若已知上页 下页.,2AAA求-=nullEx12解上页 下页null练习1练习2解解上页 下页